极坐标系中曲线的旋转伸缩技巧研究(20210929193207)

1、极坐标系中曲线的旋转伸缩技巧研究极坐标系中曲线的旋转伸缩技巧研究新课标中要求选修4-4的学生掌握极坐标的根本概念，事实上极坐标作为解决数学问 题的一个工具，在曲线旋转伸缩问题研究上有它独有的优势，本文试图从这两个方面对极 坐标中曲线的旋转伸缩变换进行研究。中学数学中有关曲线旋转的问题如果在直角坐标系中研究，将会有较大的计算量，且 不易掌握，本人根据以前在直角坐标系中的平移伸缩的有关规律在极坐标中总结出一个简 单易用的结论供大家参考。极坐标中曲线旋转和伸缩可以根据以下结论处理：所有曲线的旋转和伸缩变换都是解 析式中的，在变，且变化的规律与习惯相反。其中所谓的“习惯就是比方说极径 变为原来的2倍，

2、 变为2;极角 逆时针变大，顺时针变小。在极坐标系中曲线伸缩变换只要按照与这个“习惯相反的规律处理：即曲线 f( , ) 0上所有点的极径 变 为原来的A倍，那么伸缩变换后的曲线方程变为f(A,)0,可以简单的理解为A；假设曲线f( , ) 0逆时针旋转 ，那么旋转后的曲线的方程为 f( ,) 0,可以简单的理解为。这个规律在具体解题时比拟实用，下面举几例说明，供大家参考O一、伸缩变换OP2，求点Q的例1 从极点O引定圆2cos的弦OP,延长OP到Q,使PQ3轨迹方程.解析：按照传统的思路，此题可以用相关点法解。设点 Q( ,), P( 0,0)，那么，所以 0,0 2cos 0，贝V035有

3、2变成原来的2cos ，所以 5cos .5仔细分析题目，此题的实质就是定圆2cos上的点的极径5倍，2这样按照我们给出的规律可以快速找到答案。解：由题意OQ552，即 变为原来的倍，那么，在所求曲线为OP22522cos ，化简为 5cos 。5二、旋转例2.极坐标系中，直线6和直线 cos(6)2的位置关系为 ()A .平行B.垂直C .相交但不垂直 D .不能确定 解析：此题研究两条直线位置关系,直角坐标方程，然后用它们斜率或方向向量来判断。事实上用本文介绍的极坐标中的旋转理论可以快速的找到答案。如图6为一条与极轴成的直线，6cos( )2可以看成由一条与极轴6垂直的直线 cos 2逆时

4、针旋转所6得，从而可以得到两条直线互相垂直，应选Bo例3点A在直线x 5上移动，等腰 OPA的顶角 OPA为120 (0, P, A按顺时针 方向排列)，求点 P的轨迹方程.解析一：此题假设放在直角坐标系中处理，假设设A (5, t )，即引入变量t，利用两个等量关系：(1)P0 = PA ; (2) APO= 120 设法求出点P的轨迹方程.10x尝试着这样解：设 A (5 ,2t y 25 t 0t ), P (x, y) PO PA x2 y2 整理得2x52y t2tanAPO tan120APO 120,kAP kOPkAP kOPkAP5y t xy ty2 , kOP，代入上式，

5、得2x y 5x t yx 5x由，消去t，可得点P的轨迹方程此时发现：消去 t显得多么繁杂，甚至不可 能因此此法应放弃，该选择新的方法.解析二：假设建立极坐标系，也许求点P的轨迹的极坐标方程更简明些.只需以O作为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线x 5的极坐标方程为cos 5.解：取0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，那么直线 x 5的极坐标方程为 cos 5。由题意，点A到点P的变换过程中相当于将极径变为原来的倍，且极角逆时针3旋转了，这样只要把原来直线极坐标方程cos 5中的,变为 ，66即点Pcos5。从以上三个例题可以看出在涉及到定点(极点)距离的伸缩变换和绕定点(极点

6、)旋 转问题的处理上，用本文总结的技巧是非常的准确快捷，关键要能挖掘题目中的变换，认 清适用的前提。在变换的每一步只要抓住变的实质，可以轻松解决平面内的类似问题。另 外，这个变换只适用极坐标平面内曲线的的变换，对于点的变换就是您的“习惯，比方 点P(,)的极径变为原来的 A倍，且绕极点逆时针旋转后，变为点P'(A ,),这在具体解题中要注意区别。在极坐标系中，求适合以下条件的直线或圆的极坐标方程1.圆心在A (1,n /4 ),半径为1的圆。2.圆心在(a , n /2)，半径为a的圆。两种坐标互化公式：(1) x= p cos 0, y= p sin 0;(2)p 2=x2+y2, tan 0 =y/x.1 先将圆心的极坐标化为直角坐标，得圆心坐标为(V 2/2 , V2/2 )，半径为1,圆的直角坐标方程为 (x- V2/2)2+(y - V2/2)2=1 ,即 x2+y2- V2x- V2y=0,再将此方程化为极坐标方程，得p2-V2p cos 0 - V2p sin 0 =0,p =V2(sin 0 +cos 0 )=2cos( n /4 - 0 ) 圆的极坐标方程为 p =2cos( n /4 - 0);2 先将圆心的极坐标化为直角坐标，得圆心坐标为(0, a),半径为a, 圆的直角坐标方程为 x2+(y-a)2=a2, 即 x2+y2-2ay