利用分块矩阵求逆_第1页
利用分块矩阵求逆_第2页
利用分块矩阵求逆_第3页
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文档简介

1、利用分块矩阵求逆求解矩阵的逆的时候,我们可以采用初等变换,伴随矩阵等方法解决,然而 对于较高阶矩阵,此类运算方法的运算量较大,因此,对于某类矩阵可以适当地 将其分块,再进行运算,大大减少了运算工作.以下我们以 2X2分块矩阵为例.A 0引理1:0是一个分块矩阵,其中A, D分别为n阶可逆矩阵,那么0 Di1A 0 A 101.0 D 0 D 1引理2: A B是一个分块矩阵,其中A, B, D分别为n阶可逆矩阵,0D而 A B 1 A 1 A 1BD 1那么d .0 D 0 D引理3:是一个分块矩阵,其中A, C, D分别为n阶可逆矩阵,A0C AD 0 1 A 10那么八111.C DD 1

2、CA 1 D 1AB命题：将2n阶万阵T分块为,其中A, B, C, D分别为n阶万阵.CD(1)当A可逆时,丁-1_I 一(2)当B可逆时,T-1 =A-1+A-1B D-CA-1B -1CA1 -A-1B D-CA1B -1f -1 f -1 -1f -1- 1?-D-CA 1B CA 1D-CA 1B-C-DB-1A -1 DB-1C-DB-1A -11-111-1；B 1 B 1A C-DB-1A DB 1 -BA C-DB-1A-1-1-C-1D B-AC-1DC-1 C-1D B-AC-1DAC-1(3)当C可逆时,T-1 =1-11-11B-AC-1D- B-AC-1D AC-1

3、1-11-11A-BD 1C- A-BD 1C BD 1(4)当D可逆时,T-1=11-D 1C A-BD-1C -1 D 1 D 1C A-BD-1C -1 BD证实:A0C D-CA-1B(1)分块矩阵T及方阵A可逆, A B En A 1BC D 0 En -1且上式右端可逆,故 D-CA -1B 存在,由上引理3可得A 01A-10-1_i-1-1C D-CA B - D-CA 1B CA 1 D-CA 1B因此T-11ABCDEnA 1B0 EnEnA 1BA-1-10En- D-CA 1B CA1A0C D-CA-1B01-1D-CA -1B-1-1-1-1-1-1A +A B D

4、-CA B CA -A B D-CA B-D-CA-1B -1CA-1D-CA -1B(2) (3) (4)同理可得证.例3：矩阵A= (aj)称为上(下)三角形矩阵,如果ij (ij)时有aij =0.证 明可逆的上(下)三角形矩阵的逆仍是上(下)三角形矩阵.证实：用分块矩阵及归纳法.又tn作归纳法,n=1,显然.设n-1阶上三角阵的逆矩阵是上三角阵.对 A是n 阶上三角阵来证实它的逆也是上三角的.将 A写成如下的分块矩阵A= a11,其中加0, A1是n-1阶上三角可逆阵.O A1 1 一由归纳假设,Ai仍是上三角的.作如下乘积a1-11OOA 1-1a11O A11a1-11O En-11-a1- 1O En

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