六年级下册奥数讲义-分数裂项巧求和全国通用含答案

1、六年级奥数讲义：分数裂项巧求和教学目标：理解和掌握分数裂项巧求和的解题思路和方法， 正确解答较复杂的相关的求和问 题。教学重点：熟练掌握常用的分数裂项求和的方法。教学难点：能够根据具体条件选用合适的方法解答相关问题。【专题解析】细心观察、善于总结的同学，在学习中可能发现了这样一个有趣的现象：如果分数的分子是自然数1,分母是相邻两个自然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写成的两个分数的分子是自然数 1,分母分别是相邻的两个自然数。（这 种方法称为“裂项法”）如:11111 - - , - -344 545111111 - , - -, 122 3233 4我们可以利用分数的这一性质

2、，使看似复杂的题目简单化。【精讲精练】例1 .计算:1 + 1+1 + +1+11 2 2 3 3 448 49 49 50分析与解：这道题如果按照常规方法先通分再求和，计算起来很繁杂，甚至难以做到。但 是如果巧妙地对算式变形，就可以使繁杂的计算简便。L+J1+,1X 2148 49 49 501)2+ (121) 3+48491 _ 1 4950= 11 + 1 1 + 1+，12 23 344849 4950（去掉括号）11 -15049（中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0)50【举一反三训练1】计算:(1)1 2 2 3 3 418 19 19 20(2)11114X 5 5

3、X6 6X739X401+ - -2X 31+ - 3X4+199 X 100例 2. 计算：+ + - +, + -6 12 202450分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1,但分母并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢?仔细观察这些分数的分母就会发现：6=2X3,12 =3X4,20 =4X5 ,，2450=49X50。这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自然数乘积的形式。+工6 12 2024501+49 501-1+1-1+1-1+.+A-J23 34 4549501124 12 25050 25【举一反三训练2】计算：（1）1 + 1+ + +-. + 2 6 12

4、2090（2）1+工+，+， 20 30 42132 156111111 2 + 6 +乃 + 20 + 30 + 42（4） 1+ + + 4）16 42 56 72例3.计算：+ + 1 5 5 9 9 13+2001 2005分析与解：这道题中每一个分数的分母都可以写成不相邻的两个自然数乘积的形式，分子是这两个 自然数的差。这样每一个分数也都可以写成两个分数差的形式，写成的两个分数的分子是自然数1,分母分别是原分数中分母上的两个自然数。如:41141 11 5155 9594444+1 5 5 9 9 132001 2005= 11+1 1+1+，15 59 91320012005_ 1

5、_ 1 - 12005=20042005【举一反三训练3】计算：(1) _+5+5+.+52 7 7 12 12 1797 1023 + 3 + 3 + +3(3)2 5 5 8 8 1132 3597 99例 4. 计算： -+- + + +11 5 5 9 9 132001 2005分析与解：是不是觉得本题和例 3有些相似，但又不完全一样？例3中每一个分数的分子都是4 (两个自然数的差)，而这道题中每一个分数的分子都是1,可以直接将每一个分数写成两个分数相减的形式吗？该怎么计算呢？这就启发我们思考，能否将每一个分数的分子也变成两个自然数的差呢？利用分数的基本性质是完全可以的。所以给原题乘4

6、,为了使原题的值不变，然后再除以4.即:1 + 1 + 11 5 5 9 9 131 + 1 + 1+2001 200511 5 5 9 9 134 + 4+4+2001 20054+1+1+1+15 10 10 15 15 2040 451 33 55 797 991 5 5 9 9 132001 20051 1 + 1 1 + 1，- +，二9 132001200512004200520055012005【举一反三训练4】 计算：(1) , + +11+(3)2 7 7 12 12 1797 102148 50(4)1111+ + +-+ 111例5.计算:+ +12 12 3 12 3

7、412 3 4. 501111分析与解：先算出每一个分数中的分母，再仔细观察每一个分数，找出规律然后计算。+ +1 2 1 2 3 1 2 3 41 2 3 4. 503+6+10 + +12752+2+2 + + 26 12 202550(1- + 1 + 1- + +2 3 3 4 4 5（分子分母同时乘以 2）1)X 250 51（利用乘法分配律，把分子的2同时2491、-)*251提到括号外面）X2 =49102【举一反三训练5】1计算：（1）511 2 1 2 3 1 2 3 4+1 2 3 4 . 20(2),+1 2 1 2 3 1 2 3 41 2 3 4.100111 + 1 +1+ +13 353 5 73 5 7 . 21(3)【课后作业】(1) 1-+211+ 史竺31220304256(2) - + - + + 11 J 1X 5 5X 9 9X 1333X 371111111i 3 2 612203042561172 - 90(4)1 1 1+ _- + + + 1x3 3x5 5x7(5)222+ + + + +10x9 9x85x44x3(6)199x10111132456712x?*777- 7x11 11x16 - 16x22 * 22x29 * 29(8)3