期权定价公式的推导

1、Black-Scholes 期权定价公式的推导1n1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black和Myron Scholes发表期权定价与公司负债一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。这个公式的出现也被称为是华尔街第二次革命。 234 三个数学概念:n随机游走n布朗运动n鞅 5n证券交易价格是随机的。n虽然证券的当前价值一般并不等于其未来价值的数学期望，实际上，长期以来，金融学术界一直认为在一定条件下，证券的当前价值应该等于其未来价值的数学期望。金融学中的“学院派”的最根本的观点

2、。n这一观点的修正和发展在金融学上称为是有效市场假设：如果由于金融市场的充分发展，使得它对证券价格的调整效率非常高，那么证券的市场价格已经充分反映了证券的真实价值。即使它的未来价格还会有一定的随机波动，但这种波动并不是一种价格趋势，其平均值还是与当前价格一样。n所以，我们可以认为证券的未来价格与当前价格之间只相差一项随机干扰。6n假定某证券的当前价格为p0，p1，p2，pn，其中p0是证券的当前价格，它是一个定常数，p1，p2，pn等都是证券的未来价格，从当前来看都是随机变量。于是它们之间就有这样的关系： 其中“随机干扰”是一些均值为0的随机变量。如果我们认为这些“随机干扰”互相独立且同分布，

3、就可以引出随机游走和布朗运动的概念。,1212101nnnpppppp7n由上面这些关系式，我们可以引出 n由此得到的反映证券价格变化的随机序列 称为随机游走。这个名称最初是对以相同概率取的随机变量而言的。在这种情况下，这个随机序列可形象地解释为一个醉汉在路上横行。在每一时刻，他既可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所谓的“随机游走”。尽管醉汉总围绕原点徘徊，但时间越长，他就可能离原点越远。, 2 , 1,210nppnn, 2 , 1 , 0,210nppWnnn8n令 t 代表一个小的时间间隔，z代表随机变量z在t时间内的变化，则标准的布朗运动z具有下述两个特征：n特征特征1： ，其

4、中是服从标准正态分布的随机变量。n特征特征2：对于任意两个不同的时间间隔t，z相互独立。 由特征1可知，z也服从正态分布，其均值为0，标准差为 。由特征2可知，标准布朗运动是马尔可夫过程的一种特殊形式。ztt9n“证券的未来的未来价格的平均值等于其未来价格”的明确数学定义 n鞅鞅 一一个随机序列称为鞅，就是指它满足上述式子。 0111|,nnnE ppppp10 对于证券来说，它并不是证券价格的直接增量形成随机游走，而是证券价格的比例增量形成随机游走。 其中 是均值为1的独立同分布随机变量。 令 。对上式的两端取对数，就得到 即 （1） 是随机游走序列。 012,1,2,nnppn 12,n

5、ln,1,2,nnn01lnln,1,2,nnppn01lnln,0,1,2,nnnWppn11 不再成立。 这里在一段时期内是常数。把这一离散的价格变化的关系式连续化，就得到 这里zt是标准布朗运动。1lnln,1,2,nnnppn11ln(/)lnln,1,2,nnnnnppppnlnttttdpdpdtdzp12n由于dzt是标准布朗运动，因此，在一个较短的时间间隔t以后，证券价格的变化为：n可见 也服从正态分布，其均值为t，标准差为 。也就是ttpttp ttppt(,)ttpNttp13 风险对冲 随机过程 偏微分方程 f为期权价格rfSfSSfrStf222221Black-Sch

6、oles期权定价公式14资产定价基本原理 只要市场没有套利机会，那么一定存在一种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都有“未来价值的均值等于其当前价值”的“鞅性质”。 证券折现价格的证券折现价格的“鞅性质鞅性质” 证券折现价格的水平始终不变，或者说，在任何时候，证券折现价格的期望净收益率期望净收益率都是0，毛收益率都是1。 15实际贴现率（实际贴现率（effective rate of discount）n实际贴现率：一定时期内的利息与期末累积值的比率，通常用字母d表示。n贴现因子：期末的1元在期初的现值，一般用v来表示，那么16利息力利息力（force of interest）n利

7、息力是在确切时点上的利息强度，可以用累积函数的相对变化率定义如下：n式中 为在时点t的利息力。17n在复利条件下的利息力n可见在复利条件下，利息力是常数，与时间t无关。n将这个式子变形，可以得到复利的实际利率18实际利率实际利率i实际贴现率实际贴现率d贴现因子贴现因子v常数利息力常数利息力实际利率实际利率i实际贴现率实际贴现率1-v贴现因子贴现因子v1-d利息力利息力ln(1+i)-ln(1-d)-lnv19n欧式股票买入期权的定价公式欧式股票买入期权的定价公式 其中T是到期时间，S是当前股价，C（S，T）欧式买入期权的价格。 X是期权的协议价格，r是无风险证券的（瞬时）收益率，称为股价的波动

8、率，N是标准整体分布随机变量的分布函数，它定义为12( , )()()rTC S TSN dXeN d21211log,2SdrTddTXT221( ),2ydN dedy20n这个公式当T=0时，有C(S,0)=(S-X)+，其中(S-X)+表示S-X的正部，即当 时，它等于S-X，当S-X0时，它为0。n除股价的波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。 在严格的意义下，r是无风险瞬时收益率，但是在实际计算中，它直接可以用短期利率带入。0SX21n风险证券t时刻的价格St遵循几何布朗运动，而满足下列随机微分方程： 风险证券的折现价格 就是折现价格。 这说明 仍然遵循几何布朗运动，且只有

9、当 时才是鞅。 股票价格的平均（瞬时）收益率; r无风险（瞬时）收益率。 根据资产定价基本原理，只要市场上没有套利机会，那么就一定存在一种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的折现价格都成为鞅。这时所有证券价格的平均收益率都与无风险收益率一致。 lnttttdSdSdtdzSlnln()lnln()rtrttttttdSde SdedSrdtdtdzr dtdztStS0r22n股票的折现价格对新的等价概率测度就满足 这里 表示在新的等价概率测度下的标准布朗运动。对于时刻T，由此可得 其中 是t=0时的股票价格 考虑到WT是一个均值为0、方差为2T的正态随机变量， 就是一个所谓对数正态分布随机

10、变量。 lnTtdSdWtW0lnlnTTSSW0S0TSS23n欧式买入期权的当前价格就是n这里S是当前的股价，即S=S0，ST是T时刻的股价，e-rT是折现因子，X是期权的协议价格。 *( , )() rTTC S TE eSX24nBlack-Scholes期权定价公式2121log2,SrTKdddTT12( , )()()rTC S TSN dXeN d25n可以证明n其中WT是均值为0、方差为T的正态随机变量，即 ，而x是标准正态随机变量是标准正态随机变量。n该等式涉及几何布朗运动的特殊性质，需联系“伊藤公式”。 在=r时股价St的平均收益率应为=r，但把它写成指数函数形式时，指数

11、是2exp2TTSSrTWTWTx22TrTW26*( , )() )rTTC S TE eSX2(/2)*() TTWrTESeeX222(/2)()2xrTrTx TeSeXedx当22log2SrTKxdT 时2(/2)rTx TSeX272222(/2)( , )()2xrTrTx TdeC S TSeX edx222()221()2yTydrTSeeXedy22222222yyrTdTdSXeedyedy12()()rTSN dXeN dyx yyT28风险中性理论n受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在期权的价值决定公式中： S标的证券当前市价 X执行价格（X） t时

12、间 证券价格的波动率 r无风险利率 均是客观变量，独立于主观变量风险收益偏好。n 既然主观风险偏好对期权价格没有影响，这使得我们 可以作出一个可以大大简化我们工作的简单假设： 对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。所有投资者都是风险中性的。29风险中性定价原理n在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。 注意：风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的