非线性规划模型

1、Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作数学建模数学建模（Mathematical Modeling）Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教

2、研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作 记队员人数记队员人数 x, 失火时刻失火时刻 t=0 , 开始救火时刻开始救火时刻 t1 , 灭火时刻灭火时刻 t2, 时时刻刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积 B(t)。 损失费损失费 f1(x) 是是 x 的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积 B(t2) 决定决定 救援费救援费 f2(x)

3、 是是 x 的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作 关键是对关键是对 B(t) 作出合理的简化假设作出合理的简化假设失火时刻失火时刻 t=0 , 开始救火时刻开始救火时刻 t1 , 灭火时刻灭火时刻 t2 , 画出时刻画出时刻 t 森林森林烧毁面积烧毁面积 B(t) 的大致图形的大致图形分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速

4、度dB/dt.t1t20tBB(t2)Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t 成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度） 2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度） 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3Mathematical Modeli

5、ngMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作火势以失火点为中心，均匀向火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径四周呈圆形蔓延，半径 r r 与与 t t 成正比成正比面积面积 B 与与 t2 成正比，成正比， dB/dtdB/dt 与与 t t 成正比成正比. .rB22( )()2rvtB tvtdBv tdt Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作dtdBb0t1tt2x假设假设1）假设假设2）xbtt12202)()(tdt

6、tBtB,1tbxttt112)(222212212xttbtMathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作xcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作森林救

7、火模型：森林救火模型：Min C(x)s.t. x0其中其中xcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作0dxdC231221122ctctcx结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2txMathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作 c2 x c1, t1, x c3 , x 2312211

8、22ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ?Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作231221122ctctcxc c1 1, ,c c2 2, ,c c3 3已知已知, , t t1 1可估计可估计, , , , 可可设置一系列数值，设置一系列数值，由模型决定队员

9、数量由模型决定队员数量xMathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作21min ( ; )niiizf x ty Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作泵站泵站 A A1 1泵站泵站 A A2 2泵站泵站 A A3 3灌溉地灌溉地 B B1 1灌溉地灌溉地 B

10、B2 2灌溉地灌溉地 B B3 3灌溉地灌溉地 B B4 4( (抽水能力）抽水能力）（抽水费（抽水费) )（流量限制，同时会出现渗透和蒸发）（流量限制，同时会出现渗透和蒸发）Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作3411( )()iijijzf xfx41,1,2,3ijijxQi 31,1,2,3,4ijijjic xbj 0 ,1,2,3;1,2,3,4ijxijMathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2

11、006年 制作34114131min( )(). .,1,2,3,1,2,3,40 ,1,2,3;1,2,3,4iijijijijijijjiijzf xfxs txQ ic xbjxij Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作n增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。n现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚举法确定合理切

12、割模式，过于复杂。更合理的处理办法更合理的处理办法n对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作nxi 按第按第 i 种模式切割的原料钢管根数种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)nr1i, r2i, r3i, r4i 第第 i 种切割模式下，每根原料钢管种切割模式下，每根原料钢管生产生产4米、米、5米、米、6米和米和8米长的钢管的数量米长的钢管的数量整数约束：整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数为整数Mat

13、hematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作1011 112213350r xr xr x 21122223310r xr xr x31132233320r xr xr x 41142243315r xr xr x1121314116456819rrrr 1222324216 456819rrrr 1323334316456819rrrr Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作整整数数非非线线性性规规划划

14、模模型型1231111221332112222333113223334114224331121314112223242132333431234m in. .50102015164568191645681916456819,1, 2, 3iiiiizxxxs trxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrxrrrrrrrrrrrrxrrrrI i Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作min( ). .( )0, i=1,2,.,p ,( )0,1,.,.iinf xs tg xh xipmx

15、XR 可分为无约束非线性规划问题和约束非线性规划问题。可分为无约束非线性规划问题和约束非线性规划问题。其理论求解方法一般比较复杂，这里介绍利用数学软件其理论求解方法一般比较复杂，这里介绍利用数学软件Lingo和和Matlab进行求解的方法。进行求解的方法。Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematica

16、l Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Mathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作4米米50根，根，5米米10根，根，6米米20根，根，8米米15根以及每根原料钢管长根以及每根原料钢管长19米，可得米，可得2619158206105504Mathematical ModelingMathematical Modeling西南

17、交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作 特殊生产计划：对每根原料钢管模式1：切割成4根4米钢管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根；模式3：切割成2根8米钢管，需8根。原料钢管总根数上界：13+10+8=31n总钢管数的约束n模式排列顺序可任定，因此指定1232631xxx 123xxxMathematical ModelingMathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作model:model:min=x1+x2+x3;min=x1+x2+x3;x1x1* *r11+x2r11+x2* *r12+x3r1

18、2+x3* *r13=50;r13=50;x1x1* *r21+x2r21+x2* *r22+x3r22+x3* *r23=10;r23=10;x1x1* *r31+x2r31+x2* *r32+x3r32+x3* *r33=20;r33=20;x1x1* *r41+x2r41+x2* *r42+x3r42+x3* *r43=15;r43=15;4 4* *r11+5r11+5* *r21+6r21+6* *r31+8r31+8* *r41=19;r41=19;4 4* *r12+5r12+5* *r22+6r22+6* *r32+8r32+8* *r42=19;r42=19;4 4* *r1

19、3+5r13+5* *r23+6r23+6* *r33+8r33+8* *r43=19;r43=16;r41=16;4 4* *r12+5r12+5* *r22+6r22+6* *r32+8r32+8* *r42=16;r42=16;4 4* *r13+5r13+5* *r23+6r23+6* *r33+8r33+8* *r43=16;r43=16;x1+x2+x3=26;x1+x2+x3=26;x1+x2+x3=31;x1+x2+x3=x2;x1=x2;x2=x3;x2=x3;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gingin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(r11

20、);gin(r12);gin(r13);gin(r(r11);gin(r12);gin(r13);gin(r21);gin(r22);gin(r23);gin(r321);gin(r22);gin(r23);gin(r31);gin(r32);gin(r33);gin(r41);1);gin(r32);gin(r33);gin(r41);gin(r42);gin(r43);gin(r42);gin(r43);endendObjective value: 28.00000Variable Value Reduced CostX1 10.00000 0.000000X2 10.00000 2.00

21、0000X3 8.000000 1.000000R11 2.000000 0.000000R12 3.000000 0.000000R13 0.000000 0.000000R21 1.000000 0.000000R22 0.000000 0.000000R23 0.000000 0.000000R31 1.000000 0.000000R32 1.000000 0.000000R33 0.000000 0.000000R41 0.000000 0.000000R42 0.000000 0.000000R43 2.000000 0.000000Mathematical ModelingMat

22、hematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年 制作Local optimal solution found at iteration: 12211 Objective value: 28.00000Variable Value Reduced CostX1 10.00000 0.000000X2 10.00000 2.000000X3 8.000000 1.000000R11 3.000000 0.000000R12 2.000000 0.000000R13 0.000000 0.000000R21 0.000000 0.000000R22 1.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.000000 0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.