2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

1、2.3.2双曲线的简单几何性质（1）思考回顾椭圆的简单几何性质？范居；对称性；顶点;离心率等 双曲线是否具有类似的性质呢?琨曲钱的简草甩何锻质离心率(1)概念:憊距与实轴范围：e>(c>a>0)双曲线的形状与£的关系吠話=血虫_ =厶2一1 a a即“越大，渐近线 严土沪 斜率 的绝对值越大，其开口越阔双曲钱的简卑尽何強质双曲线标准方程：丄匚一芋=i双曲线性质：°"1、范围：y <-a y >a2、对称性：关于x轴，丿轴，原点对称. 3> 顶点：Ax (0, -a ) , A2 (0, a ) 线段A/?叫实轴.线段“2叫虚轴.

2、 实轴长凶淤二加,虚轴B,B2b4、渐近线方程：y= 土穿即艺士手=()a byA:/加、 5、离心率：e = ( > 1)在双曲线方程一孝=丄（写一害=丄）中 a"a"如果a=b9那么双曲线叫$等轴双曲线.此时双曲线方程这x2 j2 =a2 ( y2 x2 =a2 ) 它的渐近线方程关J = ± x ( j = ± x)利用双曲线的渐近线，可以帮助 我们较准确地画出双曲线的草图具体 做法是：画出双曲线的渐近线，先确 定双曲线顶点及第一象限内任意一点的 位置,然后过这两点并根据双曲线在 第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐 近线的特点画出双曲线的一部

3、分，最后 利用双曲线的对称性画出完整的双曲线应用举例:例1 求双曲线勿2_16Z =144的实半轴与虚半轴 长，焦点坐标，离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图.解：原方程可化为疋£ = 1实半轴长r =4,X4232c = Ja2 4-ft2 = V42 + 32 = 5 焦点坐标(0,-5),(0,5). 离心率 = =.a 4渐近线方程为y= 土扌x 例2 求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1) 顶点在x轴上，两顶点间的距离是& e = ；4(2) 焦点在y轴，焦距是16, e =；2 2(3) 以椭圆令+冬=1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点;o 5(4) 一个焦点是

4、竹(6, 0)的等轴双曲线.:.a = 4,c = 5, nb =c" a2 =9.故所求标准方程为：琴-苓=1169X2 y2（3）以椭圆+= 1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点;85（4）一个焦点是Fx （-6, 0）的等轴双曲线.解: 由椭圆 若+ £ = 1的焦点（-岳0）,（亦,0）,o 5得到双曲线的顶点4（-d，o），仏（石,0）,知双曲线的焦点在x轴上，且焦点为歼（-2血,0）；（2血，0）， a = >/3,c = 272, =>=c2 a2 = 5故所求标准方程为：35(4) 一个焦点是尸(-6, 0)的等轴双曲线.解：设双曲线为-4 = 1

5、cT (T则由c2 =a2 +庆故所求标准方程为：書-益=1lo lo【说明】得到双曲线的标准方程需要三个条件：砧及焦点位置;(2)对于双曲线所特有的渐近线，注意正向、反向应用.斗-£ = 1的渐近线为土饮即-± = 0CT Xa a bb_x2 y2渐近线为y = ±-x的双曲线标准方程一定是 飞-書=1?aa问：当渐近线的方程为= ±"x时，双曲线的标准方才22a一定是- = 1吗？ （T tT?答：不一定，例如:双曲线二-占一1它的渐近幻方程是y = ±b*.a注意：以y=±x即兰±产=（）为渐近线的双曲线方

6、程有:X2 V2飞一市=2（兄H°） a d即为以于土务=0为渐近线的双曲线系方程.例3求与双曲线 卷一罟=1共渐近线且过点（2仮-3） 的双曲线方程及离心率.解：设与己知双曲线共渐近线的双曲线方程为 £ =兄（；1 H 0）1 O V点（273,-3）在双曲线上，.1291169422x2v21x21故所求双曲线方程为：=即9 4 = I I A<>d牛3 ./ a = 9 b = 29 c变式1求以椭=1的焦点为焦点，以直线y = 土£兀为渐近线的双曲线方程。解：所求双曲线的渐近线为|± = 0可设所求双曲线方程罗三-尊=兄(兄>0

7、) 41即- = 1(2 >0)2242 A v )它与椭圆各+牛=1共焦点，1334兄+ 兄= 13 3 n 兄=2故所求双曲线方程为：¥-£=丄变式丄求以椭133=1的焦点为焦点，以直线y = 土£兀为渐近线的双曲线方程。解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为工2b13-22-3所求双曲线的渐近线y=±x/. 几一3 =丄二> 兄=513-兄 422故所求双曲线方程为：寻-手=1说明：椭圆4-4 = lW曲线甘芥-22=1 (b2<k<a2)(T ha -k k -b有相同的焦点坐标.变式2已知双曲线与椭圆25，+9b = 225有公共焦点, 它们离心率的和为”，求