线性代数知识点全归纳

1、线性代数知识点1、行列式1 . 行列式共有“2个元素，展开后有!项，可分解为2"行列式；2 .代数余子式的性质：、&和旬的大小无关：、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0:、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为|A|;W 代数余子式和余子式的关系：M" =(-1产AA =(T产/4 .设行列式。：WIW-i>将。上、下翻转或左右翻转，所得行列式为R,则R=(T)-0;将O顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为七，则R=(T)=0：将。主对角线翻转后(转置)，所得行列式为则R=0：将。主副角线翻转后，所得行列式为则2=。：5 .行列式

2、的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积x(T)一；、上、下三角行列式(ni=|k|)：主对角元素的乘积：、|，|和|/|：副对角元素的乘积x(T)一: M、拉普拉斯展开式：;=固叫、;:=(-产|同四、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6 .对于阶行列式|A|,恒有：根£-4| =/+£(-球与/11 ,其中S*.为女阶主子式:7 .证明同=0的方法：、|A| = -|A|；、反证法；、构造齐次方程组Ar = 0,证明其有非零解；、利用秩，证明r(A)：、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是阶可逆矩阵：O |同工0 (是

3、非奇异矩阵)： (= r(A) = (是满秩矩阵)。A的行(列)向量组线性无关；O齐次方程组Ar=0有非零解；<=> V/> g R", Ar =方总有唯一解：O A与E等价：=A可表示成若干个初等矩阵的乘积：O A的特征值全不为0；o Ma是正定矩阵；o a的行(列)向量组是R"的一组基：o A是R"中某两组基的过渡矩阵；2 .对于阶矩阵A ： AA'=A'A=AE无条件恒成立：3 . (A-y=(A，Yl(A-')r =(Ar)-'(A，)T=(ATY(AB)T = BtAt(AB)' = B'

4、A*= BlAl4 .矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和:5 .关于分块矩阵的重要结论，其中均A、可逆：'A、若4=4 .,则：* <I、|周=闻闽;II、A-'= A'.；、A 7,、(o国；(主对角分块)* (b2心，J；(副对角分块)、c n =.:(拉普拉斯)o B) o 5TQ (A 6>Y*A-1 O 此一出、c b)=.”"；出普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组工 一个，“X"矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F="°。儿冗等价类：所有与A等价的矩阵组

5、成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵4、B ,若r(A) = r(5) = A 6 ：4 .行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1:、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;$5 .初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)、 若(A.E)二(E.X),则 4 可逆，且 X=A，、对矩阵(A.8)做初等行变化，当A变为E时，5就变成A-勿，即：(A.5)；及4-小)：、求解线形方程组：对于个未知数个方程Ar=b,如果(A0)二(及x),则A可逆，且丫=4-5；6 .初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还

6、是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵：'4、A= .，左乘矩阵A, 4乘A的各行元素；右乘，4乘A的各列元素:.(11 1、对调两行或两列，符号且E(i,j)T=E(iJ),例如：1= 1:-(AwO)： k1z1 *'1 他 wO):1,、倍乘某行或某列，符号E(i仅)，且£(泯)尸=£(4)，例如： 卜 b1A1、倍加某行或某列，符号爪双力),且E(4(A)t =国。(-左)，如： 1 b7 .矩阵秩的基本性质：、r(AT)=r(A)：、若A-5,则r(A)=r(b)：、若P、。可逆，则r(A)=r(%) = NAQ) = r(P4

7、0)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(，(A),r(3) <r(A.B) <r(A)r(B):()、r(A + B) <r(A)+r(B) ； (X)、r(AB)< min(r(A),r(B) ： ( X )、如果A是小x 矩阵，8是 xs矩阵，且AB = O,贝IJ：()AI、5的列向量全部是齐次方程组AX=O解(转置运算后的结论)：H、r(A)r(B)<n、若A、均为阶方阵，贝。(A3)»(A)+r(3)-；8 .三种特殊矩阵的方事：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;1 a c'、型如0 1

8、 b的矩阵：利用二项展开式； 、0 0 ">二项展开式:m+b)" =C” +C*-方 + +C；W + +C：T苏尸 +c»" =AM-0注：I、(。+4展开后有+1项：II C" = "'I)(，L7+1)= 加 CO =Cn =1、“1.2<3 ”(一】)!“ 一山、组合的性质：c：=C：f C3=C：+C；I 火G=2rc； = nCn：；r-0、利用特征值和相似对角化：9.(10伴随矩阵:n、伴随矩阵的秩：r(A-) = <!l0*r(A) = nr(A) = w-1 ： r(A) <n-I、

9、伴随矩阵的特征值：14 (AX =AX.A' =AA-'>A'X = X)x、T 训AT、W| = |Ari11 .关于A矩阵秩的描述：、r(A) = ，A中有”阶子式不为0, + 1阶子式全部为0；(两句话)、r(A)<n , A中有阶子式全部为0：、r(A)>n , 4中有阶子式不为0：12 .线性方程组：其中A为帆X”矩阵，贝IJ：、胆与方程的个数相同，即方程组Ar=b有加个方程；、与方程组得未知数个数相同，方程组Ar =力为元方程：13 .线性方程组Ar =)的求解：、对增广矩阵8进行初等行变换(只能使用初等行变换)；、齐次解为对应齐次方程组的

10、解：、特解：自由变量赋初值后求得：14.16由个未知数肌个方程的方程组构成元线性方程:、八5 (向量方程,A为帆X”矩阵，机个方程，个未知数)。丙+%占+。 X = P (线性表出)，其中£ =瓦b、15、有解的充要条件：r(A)=r(4£)W(为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1 . m个“维列向量所组成的向量组A :4弓.,构成“X,"矩阵A =（4弓,4）；小个维行向量所组成的向量组：£6'.必构成机乂矩阵8= P：含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2 .、向量组的线性相关、无关 =Ar = O有、无非零解：（齐次线性方程

11、组）、向量的线性表出是否有解：（线性方程组）<、向量组的相互线性表示="=3是否有解：（矩阵方程）3 .矩阵，也与5.行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组4r = 0和Br = O同解：（尸刈例14）4 . r（A'A） = r（A）：（尸例 15）5 . 维向量线性相关的几何意义：、a线性相关oa = 0：、a.尸线性相关Q 名尸坐标成比例或共线（平行）；、a.尸,线性相关0 aA.7共面；6 .线性相关与无关的两套定理：若a,4线性相关，则a必线性相关:若线性无关，则必线性无关：（向量的个数加加减减，二者为对偶）若广维向量组A的每个向量上添上-一个分量，构成维向

12、量组。：若A线性无关，则也线性无关：反之若5线性相关，则A也线性相关：（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7 .向量组A （个数为r）能由向量组8 （个数为s）线性表示，且A线性无关，则，£s：向量组A能由向量组8线性表示，则r（A）分（6）：向量组A能由向量组5线性表示= A¥=3 有解：r(A) =r(A.B)向量组A能由向量组B等价=r(4) = r(B) = r(A.B)8 .方阵A可逆O存在有限个初等矩阵，使A =；、矩阵行等价：屋= 5 (左乘，P可逆)=4r=0与吩=。同解、矩阵列等价：= 6 (右乘，。可逆)：、矩阵等价：A6

13、 = E40 = 3 (尸、。可逆)： 9 .对于矩阵4打与取.：、若A与"行等价，则A与8的行秩相等；、若A与"行等价，则Ar = O与&=0同解，A与8的任何对应的列向量组有相同的线性相关性; 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10 .)11若则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，5为系数矩阵；、C的行向量组能由8的行向量组线性表示，A7'为系数矩阵：(转置)12 .齐次方程组用 = ()的解一定是 =()的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】、ABx=0只有零解=3x=0只有零解：、Kr=0 有非零解=一定存在非零

14、解： (13 .设向量组里“通也可由向量组4Kl:。，处，-% 线性表示为：(4也,也)=(/2,，05)K (5 = AX )其中凝为sxr,且4线性无关，则8组线性无关0r(X)=r： (Z?与K的列向量组具有相同线性相关性) (必要性：*=，(b) =，(AK)Kr(K),(K),.，(K) = 一 充分性：反证法)注：当r = s时，K为方阵，可当作定理使用：14 .15 |U 、对矩阵45，存在。，AQ = Em Qr(A) = /、。的列向量线性无关：、对矩阵存在得皿，PA = En Qr(A) = 、P的行向量线性无关：16 .4生,线性相关O存在一组不全为。的数占,也，,A,使

15、得A0 +公 +=。成立：(定义)距O(Q.a,.a)。=0有非零解，即Ar =。有非零解； *Oa)<s,系数矩阵的秩小于未知数的个数；1820 设MX的矩阵4的秩为,，则元齐次线性方程组4r =0的解集S的秩为：r(S) = H-r；21 .若为的一个解，久费,4T为Ar=0的一个基础解系，则，默蜃,4T线性无关:5、相似矩阵和二次型1 .正交矩阵= A7A = E或aT=A(定义)，性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即。”=：=；(ij = l,2,)；、若A为正交矩阵，则47=火也为正交阵，且|A卜士1;、若从、5正交阵，则A5也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记

16、施密特正交化和单位化：2 .施密特正交化：(4，%，a=6：一些&L-5心-"必-心；. . bM如外 也也 也I93 .对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关：对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4 .、A与6等价 。A经过初等变换得到5：= 240 = 8 , P、2 可逆：r(A)=r(B) , A、6 同型； $、A与合同 =C7AC = 8,其中可逆；=/心与所有相同的正、负惯性指数；、A 与相似 <=>P 1AP = B ：5.相似一定合同、合同未必相似；若c为正交矩阵，则c7c = 8nA-，(合同、相似的约束:条件不同，相似的更严格)：A为对称阵，则A为二次型矩阵:8. 元二次型Ax为正定：=A的正惯性指数为=A与E合同，即存在可逆矩阵C,使ClC = E;=A的所有特征值均为正数：04的各阶顺序主子式均大于0：n% > o.|a|> o ：（必要条件）第一章随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清； 全概逆概百分比，二项分布是核心； 必然事件随便用，选择先试不可能。 第一、二早一维、二维随机变量条件概率定联合，独立试矩阵密度