初中常考二次函数的动点问题应试技巧详解

1、函数解题思路方法总结1 .求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；2 .求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点 式；3 .根据图象的位置判断二次函数ax?+bx+c=0中a, b, c的符号，或由二次函数 中a, b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；4 .二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点 坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.5 .与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax?+bx+c «/0）本身就是 所含字母x的二次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项

2、式和 一元二次方程之间的内在联系： >0,抛物线与;r轴有 两个交点？一次二项式的值可正、 可零、可负Q一后防程葩个不相A = 0 1抛物线与工轴只二次三项式的值为非负一无二次方程有两个相等的卖魁艮、， <0,抛物线与工轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根。动点问题题型方法归纳总结动态几何特点一一问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好 一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的 性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角 三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、

3、线段或面积的 最值。动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形 三边上移动抛物线中特殊直角梯 形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析 式四边形面积 的表示动三角形面 积函数矩形 性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积 是定值探究等腰三角形存 在性特点菱形是含60°的特 殊菱形；A0B是底角为30°的 等腰三角形。一个动点速度是参 数字母。探究相似三角形时， 按对应角不同分类讨 论；先画图，再探究。 通过相似三角形过 度，转化相似比得出方 程。

4、利用a、t范围，运 用不等式求出a、t的 值。观察图形构 造特征适当割 补表示面积 动点按到拐 点时间分段分 类画出矩形必 备条件的图形 探究其存在性直角梯形是特殊的 （一底角是45° ）点动带动线动线动中的特殊性（两 个交点D、E是定点； 动线段PF长度是定值， PF=0A）通过相似三角形过 度，转化相似比得出方 程。探究等腰三角形时， 先画图，再探究（按边 相等分类讨论）共同点：特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式)；求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题(动点)1.如

5、图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是力(-40), 8(-2,0),阳0,8).(1)求抛物线q关于原点对称的抛物线G的解析 式；(2)设抛物线(1的顶点为M，抛物线g与x轴分别交于C，。两点(点C'在点。的左侧),顶点为N , 四边形"£双4的面积为S.若点，点。同时以每 秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动; 与此同时，点点N同时以每秒2个单位的速 度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点4与点 。重合为止.求出四边形仞)乂4的面积S与运动时 间/之间的关系式，并写出自变量，的取值范围；(3)当/为何值时，四边形的面积S有最大 值，并求出此最大值；(4)在运

6、动过程中，四边形附能否形成矩形？若能，求出此时/的值；若 不能，请说明理由.解(D点4-40)，点以-2,0),点"(0,8)关于原点的对称点分别为。(4,0),设抛物线C的解析式是y = ax' +bx + c(a 0),16q + 48 + c = 0,贝 I , 4q + 2入 + c = 0,c = -8.a = -b解得 < 方=6, c = -8.所以所求抛物线的解析式是少=-V + 6x-8 .(2)由(1)可计算得点N(34).过点N作N”_L4Q,垂足为.当运动到时刻/时，AD = 2()D = S-2t, N" = l + 2/.根据中心对

7、称的性质= OM = ON ,所以四边形是平行四边形.所以 5 = 2sADN , 所以，四边形MQM4的面积S = (8 2/)(l + 2/) = 4广+14/ + 8.因为运动至点4与点。重合为止，据题意可知0Wf<4.所以，所求关系式是S = -4+14/ + 8 , I的取值范围是0W/<4.(3) 8 = 一4。-21 +巴(0/<4).1 4J 4所以时，S有最大值旦. 44提示：也可用顶点坐标公式来求.(4)在运动过程中四边形MZ)NN能形成矩形.由(2)知四边形仞)N/是平行四边形，对角线是MN ,所以当4)=MN时四边形MQN4是矩形.所以。/)= ON,

8、所以。/户=ON? = OH1 + NH?.所以+4/一2 = 0.9翠之得/二&一2, q = 一后一2 (舍),所以在运动过程中四边形MQN力可以形成矩形，此时/=心-2.点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道 较传统的压轴题，能力要求较高。2.如图，已知抛物线尸-士r+ + c与坐标轴交于4 b, C三点，点4的横坐 4标为-1,过点（'（0,3）的直线=-上X+ 3与x轴交于点。，点，是线段上的 4/一个动点，PH LOB干前H ,若/少= 5/,且（1）确定 b, c 的值：b , c =；（2）写出点/，。，/）的坐标（其中。，用含/的

9、式子表示）： 伏，_），0（_，），P（一，）；所有，的值；若不存在，说明理由.（3）依点P的变化，是否存在/的值，使P03为等腰三角形？若存在，求出9解b = - 4c = 3(2) 8(4,0)“(4 一 4/,3/)(3)存在/的值，有以下三种情况当PQ = PB时/ PH 1OB ,则 GH =A4-4/-4/ = 4/3当PB = OB时得 4 4/ = 5/4/=一9当0 =。时，如图解法一：过。作0/）_LP,又PQ = QB则8。=竺=2/ 22又丛BDQ s XBOC.BD BQ,.丽一灰52Z _4-4/彳一 532: / =575解法二：作RtAQBC斜边中线OE则(用=

10、BE = 2此时BE 0135.2.4-4-4/ 5/32?7解法三：在RtAPH。中有。. (8-4)2+(3/)2= (4-4/ 57/2 -32/ = 0（舍去）.当T或E或II时，为等腰三角形.解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独 立思考，有时需要综合运用。代数讨论：计算出aPOB三边长度，均用t表示，再讨论分析RtZkPHQ中用勾股 定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可 计算。点评此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难, 第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并 且得出结论

11、后应当检验，在本题中若求出的七值与题目中的01矛盾，应舍 去3.如图1,已知直线y =与抛物线歹=-'/+6交于4，两点.24(1)求4 8两点的坐标；(2)求线段48的垂直平分线的解析式；(3)如图2,取与线段N6等长的一根橡皮筋，端点分别固定在4 B两处.用 铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A, B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在, 求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由.图I图2解y =（1）解：依题意得,y =-lx1 2+ 64解之得再=6-X 2x7=-4k（2）作/，的垂直平分线

12、交a轴，y轴于C, Z）两点，交力3于河（如图1）第26题由(1)可知：()A = 3出 ()B = 2MAB = 5也22过A作用?J_x轴，E为垂足由 ABEOsAOCM ,得：= OB OE 45(5 、(S A同理：OD = 3,:.C 二,0 , D 0,-|2U Jk2；设CD的解析式为y = kx-i h(k W 0)2_5-20 = -k-ib4- = b2.4?的垂直平分线的解析式为：jj = 2x-.2（3）若存在点，使力PA的面积最大，则点，在与直线平行且和抛物线只 有一个交点的直线y二-gx + 加上，并设该直线与x轴，J，轴交于G，两点（如图2).1一一x + m21

13、 ,JT +64抛物线与直线只有一个交点,(1V1：. -4x (772-6) = 0 ,I 2)425 /. m - 4175图2在直线GH：7= ? +亍中,25H 0,k 4 )<25:.G ,0 , 12GH = y/54设。到G"的距离为d,:.>GHd = LOGOH 221 25亚 7 1 25 25xa = x x 242 2 4J = -V5 AB / GH,.P到AB的距离等于。到GH的距离d.另解：过P做PCy轴，PC交AB于C,当PC最大时4PBA在AB边上的高h最 大(h与PC夹角固定)，则Sa最大T问题转化为求PC最大值，设P(X, -?+62

14、x-24) ,C (x,2),从而可以表示PC长度，进行极值求取。最后，以PC为底边，分别计算Sapbc和S.3AC即可。点评这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要 求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图,正方形Z8CD的顶点4 5的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点G D在 第一象限.点”从点Z出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点0从点 月（4,0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点“到达点C时，P,。两点同 时停止运动，设运动的时间为/秒.（1）求正方形4BCO的边长.（2）当点P在4?边上运动时，OP0的

15、面积S （平方单位）与时间/ （秒）之 间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示），求P, 0两点的运动速度.（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间/ （秒）的函数关系式及面积S取最 大值时点尸的坐标.（4）若点R。保持（2）中的速度不变，则点沿着23边运动时，NOP0的 大小随着时间/的增大而增大；沿着8c边运动时，NOP0的大小随着时间,的增 大而减小.当点。沿着这两边运动时，使NQ0 = 9（r的点P有 个.（抛物线八法+ c （a=0）的顶点坐标是,喔2'.解(1)作轴于F.4(0,10), 5(8,4), ，FB = 8, FA = 6.:.AB = 10.(2)由图可知，

16、点从点N运动到点6用了 10秒.又.力3 = 10,10 + 10 = 1./. A。两点的运动速度均为每秒1个单位.(3)方法一：作尸G«Ly轴于G,则LG跖.GA AP 门口 GZ IFA AB 6103/. (jA = /.53 OG = 0t.51(3、.5 = -xf；f；xW；=-(/ + 4)p0-/I.3 IQ即 S =-，/+±z + 20.10519v-±= = 12,且0<120。， 2a /31332x - I lojIO.当/ 二 V时，S有最大值.3此时G/)= ±Z =女，()G = 0-t = ,(8分)51555点

17、P的坐标为.U5 5)方法二：当/ = 5 时，()G = 7,。0 = 9, S = 设所求函数关系式为S = at2 +协+ 20.,抛物线过点(10,28*5,f100tz + 10A + 20 = 28,25a + 5h + 20 = .219且0W 10,3b _ C 92q - " 3 V 32xI ioj.当/=I2时，s有最大值.3此时 GP =无，()G = , 155<76 31 A.点的坐标为.(4) 2.点评本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试 题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。5.如图，/B

18、C中，= 90 , ZCJB = 30°.它的顶点力的坐标为(10,0), 顶点3的坐标为(5,5百)，43 = 10,点尸从点/出发，沿C的方向匀速 运动，同时点。从点。(0,2)出发，沿p轴正方向以相同速度运动，当点P到达点 (时，两点同时停止运动，设运动的时间为，秒.(1)求N氏4。的度数.(2)当点/)在44上运动时，的面积S (平方单位)与时间/ (秒)之间 的函数图象为抛物线的一部分，(如图)，求点的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间/之间的函数关系式及面积S取最大值时点？的坐标.(4)如果点P, 0保持(2)中的速度不变，那么点P沿48边运动时，NOP。的 大小随着

19、时间/的增大而增大；沿着8C边运动时，NQ。的大小随着时间/的增 大而减小，当点/，沿这两边运动时，使NOP0 = 9(T的点P有几个？请说明理由.解：(1) ZBAO = 60 .(2)点尸的运动速度为2个单位/秒.(3)(0W/W5)v 5 = -(2/+ 2)(10-/)(9? 121=/H.I 2)4o191.当/ = 2时，S有最大值为上1, 24(4)当点，沿这两边运动时，NO2 = 90的点P有2个.当点P与点力重合时，当点运动到与点/，重合时，。的长是12单位长度，作NOP" = 90。交y轴于点M ,作P” ± y轴于点H ,由得： = - = 11.5,

20、 3所以 O0>OM,从而/。0>90=所以当点，在4,边上运动时，/。0 = 90。的点/,有1个.同理当点P在3C边上运动时，可算得OQ = 12 + 可 = 17.8.而构成直角时交"轴于。,空后,叁目=20.2>17.8,I 3 J 3所以/OC0v9(T,从而/。，0 = 90的点也有1个.所以当点P沿这两边运动时，ZOPQ = 90。的点。有2个.6.(本题满分14分)如图12,直线y = -；x + 4与x轴交于点4,与j，轴交于点 c,已知二次函数的图象经过点力、。和点”(-i,o).(D求该二次函数的关系式；(2)设该二次函数的图象的顶点为M,求四

21、边形力OCW的面积；(3)有两动点/人”同时从点。出发，其中点以每秒之个单位长度的速度沿 2折线按。-A -0的路线运动，点月以每秒4个单位长度的速度沿折 线。C4按。TCTA的路线运动，当。、E两点相遇时，它们都停止运动. 设。、E同时从点。出发/秒时，的面积为S.请问。、£两点在运动过程中，是否存在若存在，请求出此时 /的值；若不存在，请说明理由；请求出S关于/的函数关系式，并写出自变量/的取值范围；设S。是中函数S的最大值，那么品= .图128解：(1 )令X = 0,则 y = 4；令y = 0贝ljx = 3.力(3,0). C(0,4)二次函数的图象过点。(0,4),可设

22、二次函数的关系式为y = ax2 +bx +4又该函数图象过点力(3,0). /?(-1,0)0 = 9q + 3 + 4, 0 = a-Z> + 4.解之，得仁一,仁|，所求二次函数的关系式为欧-#+2442(2) *.* y =x2 + 戈 + 433二(工可+333顶点"的坐标为1心、I 3 J过点，作和Lx轴于尸 S四边形/OCM = S力EW十、桥形/OCM4x(3-1)xt4xl = 10.四边形足跑的面积为10（3）不存在。与7%:若DE/OC、则点。，E应分别在线段如，"上，此时1</<2,在RtA4OC中, AC = 5.设点£

23、的坐标为（西，弘）闻二牝T ,.|占| = 上丑 DE / OC,.12/-12 38.=Z . . / =-523QV/ =->2,不满足1</<2.3不存在QEOC.根据题意得。，£两点相遇的时间为3 + 4+524 （秒）3+4 H2现分情况讨论如下：i ）当0</Wl 时，5 = -x-/.4/ = 3/2;2 2ii）当1</2时，设点£的坐标为（超，）36 16/-5-12, 27广+/55iii ）当2 < / <打时，设点E的坐标为伍，为）.类似ii可得闪二军设点D的坐标为（ , y4）.M=也,45 ' =

24、 '&AOE - 'S1 . 36-16/ 1 r 6r-12=x3xx3x25253372=f + 55So =2437.关于x的二次函数> =-/+（攵2_4以+ 2左-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点 在x轴上方.（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设4是歹轴右侧抛物线上的一个动点，过点4作48垂直于x轴于点3,再 过点力作x轴的平行线交抛物线于点。，过点。作。垂直于x轴于点（，得到 矩形44CZ）.设矩形力坎7）的周长为/，点力的横坐标为盯 试求/关于x的函数 关系式；（3）当点力在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形力灰7）能

25、否成为正方形.若能, 请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由.A 一片、参考资料：抛物线尸依2+云+地工0）的顶点坐标是-2,竺上，对称轴I 2。 4a J是直线=-2. 2a解：（1）据题意得：公4 = 0,女=±2.当左=2时，2左一2 = 2>0.当上二一2 时，2% 2 = 6<0.又抛物线与歹轴的交点在x轴上方，/ = 2.抛物线的解析式为：=-V+2.函数的草图如图所示.（只要与坐标轴的三个交 点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令一/+2 = 0,得x = ±VL不。<x</5时，AL = 2x , AB = -x2 4-2

26、,（第26题）. / = 2（4 4 + 42）= -2x2 +4x + 4.当x>血时，AJ)2 = 2x ,42 = -(-x2 + 2) = x2-2.:.l = 2(A2D2 + 4员)=2x- +4x-4 ./关于x的函数关系是：当 0<xvV 时，1 = -2x? + 4x + 4 ；当x> 近时，I = 2x +4x-4 .(3)解法一：当0<xv及时,令44=4,得 x + 2x 2 = 0.解得 x = - 1 - 也(舍)，或 x = 1 + x/3 .将x = -I + a/5 代入/ = 一2/ +4x + 4 ,得/=8百-8.当x>也时

27、，令4脱=4",得/一21一2 = 0. ， JC J解得x = 1-V3 (舍)，或X=1 +百.将 = 1 +百代入/ = 2+4一4 ,得/ = 8百+ 8.综上，矩形/以7)能成为正方形，且当八由-1时正方形的周长为86-8；当 %二6+ 1时，正方形的周长为8百+ 8.解法二：当0<x<®时，同"解法一”可得x = 1 +6.正方形的周长/ = 4卬)=8x = 8/3-8 .当x>V5时，同“解法一"可得x = l +百.正方形的周长/ = 44/2=8x = 8百+ 8 .综上，矩形力以力能成为正方形，且当x = K-l时

28、正方形的周长为8百-8；当 x = G + l时，正方形的周长为8百+ 8.解法三：点/在y轴右侧的抛物线上,x> 0,且点4的坐标为3+2）.令AB = AD,贝”一/+2卜2%./. -x2 + 2 = 2% , 或 *+2 = _21由解得x = -l-百（舍），或x = T + W;由解得x=l-百（舍），或x = l + G.又/=8x,.当x = -l +百时/ = 8E一 8；当 x = 1 + a/3 时/ = 8+ 8 .综上，矩形/次7）能成为正方形，且当x = E-1时正方形的周长为86-8；当 %=0+ 1时，正方形的周长为8百+ 8.8.已知抛物线y=/+-+c

29、与x轴交于4、8两点，与y轴交于点C,其中点8 在*轴的正半轴上，点C在卜轴的正半轴上，线段如、0c的长（眼0C）是方程 V10x+16 = 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线*=一2.（1）求人B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接力C、BC,若点万是线段M上的一个动点（与点A点8不重合）， 注点、E作EF AC交BC于点、八 连接明 设命的长为创废厂的面积为S,求 S与力之间的函数关系式，并写出自变量力的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大 值，并求出此时点£的坐标，判断此时夕然的形状；若不存在，请说明理由.第26题图解：

30、（1）解方程/一10*+16=0 得 m = 2, xz=8.点8在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OBVOC 二点8的坐标为（2, 0）,点C的坐标为（0, 8）又.抛物线p=W + 6x+c的对称轴是直线x=-2.由抛物线的对称性可得点力的坐标为（-6, 0）（2） 点C（0, 8）在抛物线y=3F+6x+c的图象上c=8,将力（-6, 0）、B （2, 0）代入表达式，得第26题图（批卷教师用图）0 = 36a66+80=4a+26+8解得2 Q.所求抛物线的表达式为y=一才一个+8(3)依题意，AE=m,则%=8加，0A=6, 00=8,'：EF/ AC :、XBEFs

31、 XBAC.”_些 日产8勿茄即行=8：.EF=405m4过点尸作尸垂足为G,则sinN/TG=sinNO18=E FG 44 405/w万=§ .%= =8勿11:. S= S&BCS -8郎£=2 (8 777) X 8 一 (8 加(8 777)111=-(8-/77)(8-8+/)=-(8勿)m=-fn+4m 自变量力的取值范围是0V/77<8(4)存在.111理由：.S=,+4/77=2(7774)'+8且一,V0,当勿=4时，S有最大值，S最大侦a = 1解得:、b = -2c = -3所以这个二次函数的表达式为：y = x' -2

32、x-3 方法二：由已知得：C (0, 3), A (1, 0) 设该表达式为：j = g(x + 1)(x-3) 将C点的坐标代入得： 二1所以这个二次函数的表达式为：y = -2-3(注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)(2)方法一：存在，F点的坐标为(2, -3)理由：易得D (1, -4),所以直线CD的解析式为：y = -x-3 .E点的坐标为(-3, 0)由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF = 2, AECF 以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 存在点F,坐标为(2, -3)方法二：易得D (1, -4),所以直线CD的解析式为：y = -x-3E点的坐标为(-3, 0).以A、C、E、