自动控制系统的代数稳定判据PPT课件

1、MODULE_3_UNIT_6_PPT东北大学自动控制原理课程组2 一个线性系统正常工作的首要条件，就是一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是它必须是稳定稳定的。的。 用代数的方法判断线性系统的稳定性，分用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响，是本节要介析系统参数变化对稳定性的影响，是本节要介绍的内容。绍的内容。 东北大学自动控制原理课程组3稳定的充分必要条件稳定的充分必要条件系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就是所有的闭环特征根就是所有

2、的闭环特征根 分布分布在在s s平面平面虚轴的左虚轴的左侧侧 ，即即Re 0jpjp东北大学自动控制原理课程组4 不需要求不需要求“根根”，直接利用特征方程的系数，直接利用特征方程的系数就可以判断系统的稳定性的方法。就可以判断系统的稳定性的方法。 劳斯判据是其中的一种。劳斯判据是其中的一种。代数判据代数判据东北大学自动控制原理课程组5（1 1）列劳斯表的建立列劳斯表的建立1011000nnnna sa sasaa，劳斯表：劳斯表：2131111bbaabc3151121bbaabc3120111aaaaab5140121aaaaab特征方程式：特征方程式：原始数据原始数据计算数据计算数据024

3、61135721234312342121101nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccseesfsg 系统特征方程的全部根都在系统特征方程的全部根都在 s s 左半平面（左半平面（）的充分必要条件是劳斯表的第）的充分必要条件是劳斯表的第1 1列列元素全部是元素全部是数数（或不变号）。（或不变号）。 若劳斯表中第若劳斯表中第1 1列元素改变符号（不全为列元素改变符号（不全为正），则系统不稳定。方程在正），则系统不稳定。方程在 s s 右半平面根的右半平面根的个数等于元素个数等于元素变号的次数变号的次数。（2 2）劳斯判据）劳斯判据注意：注意：a00东北大学自动控制原理课程组7例例3-4

4、系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性。统的稳定性。07146435223456ssssss711515897181151171875257144576320123456sssssss解：列劳斯表解：列劳斯表该系统不稳定，有该系统不稳定，有2个个根在根在S右半平面右半平面 东北大学自动控制原理课程组8例例3 3-5 -5 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。处理方法：可以用一个小的正数 代替它，而继续计算其余各元，完成劳斯表。0122234ssss432101112201221ss

5、sss解：列劳斯表解：列劳斯表第一列元素有为零项，系统必不稳定；变号两次，有两个第一列元素有为零项，系统必不稳定；变号两次，有两个右半右半S S平面的根。平面的根。系统闭环极点：系统闭环极点：-1.8832 -1.8832 0.2071 + 0.9783i0.2071 + 0.9783i 0.2071 - 0.9783i 0.2071 - 0.9783i -0.5310 -0.5310 例例3 3-6 -6 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, , 判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。解：列劳斯表解：列劳斯表第第1 1列各元中的上面和下面的系数符号列各元中的上面和下面的系数符号不变，故有一对

6、虚轴上的根。不变，故有一对虚轴上的根。将特征方程式分解，有将特征方程式分解，有解得根为解得根为 02223sss222110123ssss2(1)20ss2,132, 1pjp东北大学自动控制原理课程组10处理方法：处理方法：利用全利用全 0 0 行的上一行各元构造一个行的上一行各元构造一个辅辅助方程助方程，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表中的这个全系数代替劳斯表中的这个全 0 0 行，然后继续计算行，然后继续计算下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程得出。过求解这个辅助方程得出

7、。 这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。 例如例如 显然，系统是显然，系统是的。的。, , ppjpj 3.5自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据 解：列劳斯表解：列劳斯表例例3-7 3-7 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。0161620128223456ssssss0008610161221620813456ssss由上表可以看出，由上表可以看出，s3行的各项全部为零。为了求出行的各项全部为零。为了求出s3s0各项，各项，用用s4行的各元构成辅助方程式行的各元

8、构成辅助方程式 86)(24sssp3.5自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据 它的导函数为它的导函数为用导函数的系数用导函数的系数4 4和和1212代替行相应的元继续算下去，得代替行相应的元继续算下去，得劳斯表为劳斯表为 ssdssdp1243834831248610161221620810123456sssssss结论：在新得到的劳斯表中第结论：在新得到的劳斯表中第1 1列没列没有变号，因此可以确定在有变号，因此可以确定在S S右半平面右半平面没有特征根。另外，由于行的各元均没有特征根。另外，由于行的各元均为零，这表示有共轭虚根。系统处于为零，这表示有共轭虚根。系统处于临界稳定状态临界稳定状态。 3.5自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据 这些虚根可由辅助方程式求出。本例的