2021年上海市杨浦区控江中学高考数学三模试卷

1、第1页（共 15页）2021 年上海市杨浦区控江中学高考数学三模试卷一、填空题1函数12( )f xx的定义域为2若一个圆锥的轴截面是面积为4 3 的等边三角形，则该圆锥的表面积为3已知各项为正的等差数列na的前 n 项和为ns ，若25760aaa，则11s4幂函数223()mmyxmn 在区间 (0,) 上是减函数，则m5已知abc的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于6若复数 (1)(2)aii 在复平面上所对应的点在直线yx上，则实数a7若 x、y满足 |1xy，且1y，则3xy 的最大值为8 设 函 数( )f x是 定 义 在r上 的 奇 函 数 ， 当0 x时 ，2

2、( )5f xxx， 则 不 等 式( )(1)0f xf x的解集为9 若 数 列 na的 通 项 公 式 是32( 1) (32 )2nnnnnna，1n， 2 ， 则12lim()nnaaa10甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为 c 则掷出的点数满足a bc的概率为.（用最简分数表示）11已知 a是实数， 在8(1)ax的二项展开式中，第1k项的系数为18kkkcc a， (0k，1，2，3， 8) ，若1239cccc ，则 a 的取值范围为12设正四面体p1p2p3p4在空间直角坐标系中点pi的坐标为（ xi，yi，zi） （i1，2，

3、3，4） ，集合 a y|存在 i 1 ， 2，3，4，使得 yyi，则集合 a 的元素个数可能为种（写出所有可能的值）二、选择题13方程 2sin(2)16x在区间 2， 2 ) 上的解的个数是()a4b6c8d914已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面的位置关系的表述，正确的是()al与垂直第2页（共 15页）bl与无公共点cl与至少有一个公共点d在内，l与平行，l与相交都有可能15设三角形abc是位于平面直角坐标系xoy 的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点p满足：222222|papbpcoaoboc，已知动点p的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形a

4、bc的 ()a内心b外心c重心d垂心16已知( )yf x 与( )yg x 皆是定义域、 值域均为r的函数， 若对任意xr，( )( )f xg x恒成立，且( )yf x 与( )yg x 的反函数1( )yfx、1( )ygx均存在，命题p： “对任意xr，11( )( )fxgx恒成立”，命题 q ： “函数( )( )yf xg x 的反函数一定存在” ，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是()a命题p真，命题 q 真b命题p真，命题 q 假c命题p假，命题 q 真d命题p假，命题 q 假三、解答题17如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为 2 的圆锥，下部是一

5、个底面半径为1，高为 2 的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点p是圆锥的顶点，ab是圆柱下底面的一条直径，1aa 、1bb 是圆柱的两条母线，c是弧 ab 的中点（1）求异面直线1pa 与bc所成的角的大小；（2）求点1b 到平面pac的距离第3页（共 15页）18已知、是实常数，cossin()( )sin()cosxxfxxx（1）当1，3时，求函数( )yf x 的最小正周期、单调增区间与最大值；（2）是否存在，使得( )fx 是与有关的常数函数（即( )f x 的值与 x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由19已知常数ar，*k

6、n ，函数1( )1kfxaxx，(0,)x（1）当1a，2k时，判断函数( )f x 在区间 2 ，) 的单调性并证明；（2）当1k时，若关于x的方程1( )(34)()34f xlgxlgx恰有两个相异实根，求实数a的取值范围20已知常数0p，抛物线2:2ypx的焦点为f（1）若直线2x被截得的弦长为4，求p的值：（2）设e为点f关于原点o的对称点，p为上的动点，求|pepf的取值范围；（3）设2p，直线1l 、2l 均过点f，且12ll ，1l 与相交于a、b两点，2l 与相交于c、d两点，若acbc，求四边形acbd的面积21设各项均为整数的无穷数列na满足11a，且对所有*nn ，1

7、|nnaan 均成立（1）求123aaa 的所有可能值；（2）若数列 na使得无穷数列1a 、3a 、5a 、21na、是公差为1 的等差数列，求数列 na的通项公式；（3）求证：存在满足条件的数列na，使得在该数列中有无穷多项为2021第4页（共 15页）2021 年上海市杨浦区控江中学高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题1函数12( )f xx的定义域为(0,)【解答】 解：121yxx，使函数有意义只要满足0 x即可，故函数12yx的定义域为：(0,) ；故答案为：(0,)2若一个圆锥的轴截面是面积为4 3 的等边三角形，则该圆锥的表面积为12【解答】 解：设等边三角形的边长为a

8、，则等边三角形的面积为2213sin604 324aa，解得4a，所以该圆锥的底面圆半径为2r，母线长为4l，所以圆锥的表面积为2222412sssrrl侧底面故答案为：123已知各项为正的等差数列na的前 n 项和为ns ，若25760aaa，则11s22【解答】 解：由25760aaa可得：26620aa，0na，62a，11111611()11222aasa，故答案为： 224幂函数223()mmyxmn 在区间 (0,) 上是减函数，则m0【解答】 解：由幂函数223mmyx在 (0,) 为减函数，则2230mm，解得31m由于mn，则0m第5页（共 15页）故答案为： 05已知abc

9、的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于733【解答】 解：可设abc的三边分别为3a，5b，7c，由余弦定理可得，222925491cos22352abccab，可得213sin1142ccos c，可得该三角形的外接圆半径为7732sin3322cc故答案为：7336若复数 (1)(2)aii 在复平面上所对应的点在直线yx上，则实数a3【解答】 解：(1)(2)22(2)(21)aiiiaiaaai ，复数 (1)(2)aii 在复平面上所对应的点的坐标为(2,21)aa，则212aa，即3a故答案为： 37若 x、y满足 |1xy，且1y，则3xy 的最大值为5【解答】 解

10、：由 x 、y满足 |1xy，且1y，画出可行域如图所示，11yxy可得(2,1)a，则目标函数3zxy 在点(2,1)a取得最大值，代入得35xy，故3xy 的最大值为5故答案为： 58 设 函 数( )f x是 定 义 在r上 的 奇 函 数 ， 当0 x时 ，2( )5f xxx， 则 不 等 式第6页（共 15页）( )(1)0f xf x的解集为( 2,3)【解答】 解：根据题意，设0 x，则0 x，所以2()5fxxx因为( )f x 是定义在r上的奇函数，所以2()5( )fxxxf x，所以2( )5f xxx，所以当0 x时，2( )5f xxx，当0 x时，2( )5f x

11、xx，则( )f x 的图象如图：在区间5(2，5)2上为减函数，若( )(1)0f xf x即(1)( )f xf x ，又由1xx，必有133xx，解可得：23x，即不等式的解集为( 2,3) ；故答案为：( 2,3) 9 若 数 列 na的 通 项 公 式 是32( 1) (32 )2nnnnnna，1n， 2 ， 则12lim()nnaaa1924【解答】 解：32( 1) (32)2nnnnnna， (1,2)n即23nnnnan为奇数为偶数，13524612(222)(333)naaa第7页（共 15页）12122211231992lim()111213241149nnaaa，故答

12、案为：192410甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为 c 则掷出的点数满足a bc的概率为7108.（用最简分数表示）【解答】 解：甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，基本事件的个数为666216，满足a bc的基本事件有：1 11，122，133，144，155，166，212，313，4 14，515，616，224，236，326，共有 14 个，所以掷出的点数满足a bc的概率为7108故答案为：710811已知 a是实数， 在8(1)ax的二项展开式中，第1k项的系数为18kkkcc a， (0k，1，2，3， 8) ，若1239cccc

13、 ，则 a 的取值范围为1(0,)8【解答】 解：由已知可得1kkcc 在0k， 1，2，.8恒成立，所以1188kkkkc aca，即1889kkckack， (0k，1，2， .8)，又当1k时，11()9918minkk，所以108a，故答案为：1(0,)812设正四面体p1p2p3p4在空间直角坐标系中点pi的坐标为（ xi，yi，zi） （i1，2，3，4） ，集合 a y|存在 i 1 ，2，3，4，使得 yyi，则集合 a 的元素个数可能为2、3 或 4种（写出所有可能的值）【解答】 解：正四面体p1p2p3p4在空间直角坐标系中的纵坐标最多有四个不同的值，若集合 a 中只有一个

14、元素，则p1p2p3p4在同一个垂直于y 轴的平面内，故不可能，当正四面体p1p2p3p4的底面在坐标平面xoz 内时，集合a 中有 2 个元素，改变正四面体p1p2p3p4在空间直角坐标系放置，可知集合a 中也可能有3 或 4 个元素，第8页（共 15页）故答案为： 2、3 或 4二、选择题13方程 2sin(2)16x在区间 2， 2 ) 上的解的个数是()a4b6c8d9【解答】 解：求方程2sin(2)16x在区间 2， 2 ) 上的解；则有：1sin(2)62x，即： 2266xk，kz，或52266xk，kz，所以：xk，kz，或3xk，kz，当 x在区间 2， 2 ) 上时讨论k

15、z的值即可：x为：2，53，23，0，3，43，共 8 个，故选：c14已知直线l平行于平面，平面垂直于平面，则以下关于直线l与平面的位置关系的表述，正确的是()al与垂直bl与无公共点cl与至少有一个公共点d在内，l与平行，l与相交都有可能【解答】 解：如图，且a ，当/ /la时，/ /l或 l，l与也可能相交， 故直线l与平面的位置关系是在内，l与平行，l与相交都有可能故选：d第9页（共 15页）15设三角形abc是位于平面直角坐标系xoy 的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点p满足：222222|papbpcoaoboc，已知动点p的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形abc

16、的 ()a内心b外心c重心d垂心【解答】 解：设( , )p x y ，1(a x ，1)y，2(b x ，2)y，3(c x ，3)y，由222222|papbpcoaoboc，得222222222222112233112233()()()()()()xxyyxxyyxxyyxyxyxy，展开整理，则22123123332()2()0 xyxxx xyyyy2222123123123123111()()()() 339xxxxyyyyxxxyyy圆的圆心坐标为1231()3xxx，1231()3yyy，位于三角形abc的重心故选：c16已知( )yf x 与( )yg x 皆是定义域、 值域

17、均为r的函数， 若对任意xr，( )( )f xg x恒成立，且( )yf x 与( )yg x 的反函数1( )yfx、1( )ygx均存在，命题p： “对任意xr，11( )( )fxgx恒成立”，命题 q ： “函数( )( )yf xg x 的反函数一定存在” ，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是()a命题p真，命题 q 真b命题p真，命题 q 假c命题p假，命题 q 真d命题p假，命题 q 假【解答】 解：已知( )yf x 与( )yg x 皆是定义域、值域均为r的函数，若对任意xr，( )( )f xg x 恒成立， 且( )yf x 与( )yg x 的反函数1( )yfx

18、、1( )ygx均存在，则函数设( )yf x 的图象在( )yg x 图象的下方，由图象均关于yx直线对称，其反函数1( )yfx、1( )ygx均存在，命题p： 对任意xr， ( )( )f xg x 恒成立，11( )( )fxgx不一定恒成立” 由图象关于yx直线对称可知p是错误的第10页（共 15页）命题 q ：因为对任意xr，( )( )f xg x 恒成立，所以( )( )2 ( )f xg xg x ，因为( )yg x 的反函数1( )ygx存在，2 ( )yg x 的反函数也存在，其图象存在，“函数( )( )yf xg x 的反函数一定存在”q 正确的故选：c三、解答题1

19、7如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为 2 的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为 2 的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点p是圆锥的顶点，ab是圆柱下底面的一条直径，1aa 、1bb 是圆柱的两条母线，c是弧 ab 的中点（1）求异面直线1pa 与bc所成的角的大小；（2）求点1b 到平面pac的距离【解答】 解： （1）由题意以o为原点，oc为 x轴，ob为y轴，op为 z 轴，建立空间直角坐标系，则(0p，0， 4) ，1(0a，1， 2) ，(0b，1， 0) ，(1c， 0， 0) ，1(0pa，1，2)，(1bc，1， 0) ，

20、1cospa ，1111010| |52pa bcbcpabc异面直线1pa 与bc所成的角的大小为10arccos10（2）1(0b，1， 2) ，(0a，1， 0) ，第11页（共 15页）1(0pb，1，2)，(0pa，1，4)，(1pc， 0，4)，设平面pac的法向量(mx，y，)z ，则4040m payzm pcxz，取1z，得(4m，4， 1) ，点1b 到平面pac的距离为：1|62 33|1133pb mdm18已知、是实常数，cossin()( )sin()cosxxfxxx（1）当1，3时，求函数( )yf x 的最小正周期、单调增区间与最大值；（2）是否存在，使得(

21、)fx 是与有关的常数函数（即( )f x 的值与 x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由【解答】 解：cossin()( )|sin()cosxxf xxx22222cos(sincoscossin)xxx2222(sin)coscossinxx221sincoscos222x，（1）当1，3时，3( )cos24f xx，( )f x 的周期t，当从cos 21x时，最大值为74，第12页（共 15页）由222()kxkkz ，得()2kxkkz ，( )f x 的单调增区间为,()2kkkz ，（2）221sincos( )cos222f xx，显然当102，即1

22、时，( )f x 的值与 x的取值无关，存在1，使得( )f x 是与有关的常数函数19已知常数ar，*kn ，函数1( )1kfxaxx，(0,)x（1）当1a，2k时，判断函数( )f x 在区间 2 ，) 的单调性并证明；（2）当1k时，若关于x的方程1( )(34)()34f xlgxlgx恰有两个相异实根，求实数a的取值范围【解答】 解： （1）当1a，2k时，21( )1f xxx，2x，) ，( )f x 在区间 2 ，) 上单调递增，证明如下：32( )1fxx，当2x时，( )0fx，所以函数( )f x 在区间 2 ，) 上是单调递增的（2）当1k时，211( )1axxf

23、 xaxxx，11(34)()(34)()103434lgxlglgxlgxx，所以1( )(34)()034f xlgxlgx，即210axx，43x，所以由题意可得210axx在4(3，) 上有两个相异实根，所以2014044()10331423aaaa，解得31164a即实数 a的取值范围是31(,)16 420已知常数0p，抛物线2:2ypx的焦点为f（1）若直线2x被截得的弦长为4，求p的值：第13页（共 15页）（2）设e为点f关于原点o的对称点，p为上的动点，求|pepf的取值范围；（3）设2p，直线1l 、2l 均过点f，且12ll ，1l 与相交于a、b两点，2l 与相交于c

24、、d两点，若acbc，求四边形acbd的面积【解答】 解： （1）由2x，得2yp ，因为直线2x被截得的弦长为4，所以 224p，解得1p（2）e点是(2pf， 0) 关于原点o对称点，则(2pe， 0) ，设过点e的直线()2pyk x，tan(0)k，联立抛物线方程得22222(2 )04k pk xk pp x，由直线与抛物线相切，得2242(2 )0k ppk p，1k，过点e作 x 轴的垂线，则该垂线为抛物线22ypx的准线，过点p作准线的垂线，垂足为d，由抛物线的对称性，不妨取1k可得切线的倾斜角为4，则取0 ，4，由抛物线的定义，可得|11|sin(90)cospepepfpd，因为0 ，4，所以2cos12，即112cos，所以|pepf的取值范围为1，2 （3）由题知抛物线24yx，焦点(1,0)f，且直线1l ，2l 的斜率都存在且不为0，所以直线1l 的方程可设为(1)yk x，因为12ll ，则直线2l 的方程为1(1)yxk，设1(a x ，1)y，2(b x ，2)y，3(c x ，3)y，4(d x ，4)y，由2(1)4yk xyx，得2222(24)0k xkxk，所以212242kxxk，121x x，第14页（共 15页）所以2222221224244|1|1()4kkabkxxkkk，同