医学高等数学：2_2 函数的极限

1、)()()()( )()(aFbFdxxfabfafbfba数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第二章 一元函数的极限一元函数的极限及其连续性及其连续性 第一节 函数函数 第二节 函数的极限函数的极限 第三节 函数的连续性函数的连续性 2021年12月6日星期一数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2第二节 函数的极限 一、数列的极限一、数列的极限二、函数的极限二、函数的极限 三、极限的四则运算三、极限的四则运算四、两个重要的极限及其应用四、两个重要的极限及其应用五、无穷

2、小量及其性质五、无穷小量及其性质数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 3引例：柯赫雪花曲线引例：柯赫雪花曲线n=4n=3n=2n=1nnPP)34(3, 41周长：周长：nnSS)94(1203343,331面积：面积：一、数列的极限数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 4数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 5例例1,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn

3、1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 6Dnn 多次注射情况下体内药物浓度：第次注多次注射情况下体内药物浓度：第次注射后体内药量分布图。如果持续下去体射后体内药量分布图。如果持续下去体内药物量将稳恒在某一水平上内药物量将稳恒在某一水平上数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 7收敛数列的基本性质：数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioi

4、nformatics Group 823baab22abnabax证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx性质性质1. 收敛数列的极限必唯一收敛数列的极限必唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式数学与生物信息学教研室Mathematics &am

5、p; Bioinformatics Group 9性质性质2. 有极限的数列必定为有界数列有极限的数列必定为有界数列.证证: 设,limaxnn取,1,N则当Nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 102、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xx

6、x)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:1、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :二、函数的极限数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 111、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 12数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 13数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformat

7、ics Group 142、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 15数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 16数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 17例例4. 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(li

8、m0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 18三、极限的四则运算数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 19思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解:

9、原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 203. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 211sinlim. 10 xxx四、两个重要的极限及其应用数学与生物信息学教研室Mathematics & Bi

10、oinformatics Group 221sincosxxx圆扇形AOB的面积1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 23例例5. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例6. 求.arc

11、sinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 24nnnRcossinlim2Rn例例7. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例8. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21数学与生物信息学教研室Mathemat

12、ics & Bioinformatics Group 252.exxx)1(lim12000400060008000100002.71702.71752.71802.7185 图图 函数的图形函数的图形. .随随x x的增加函数值单调增的增加函数值单调增加但总的趋势不超过加但总的趋势不超过3 3数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 262.exxx)1(lim1证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limn

13、nn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 27当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时, 令数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 28例例9. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim

14、1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx则 原式111)1 (limexxx数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 29limx例例10. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 30五、无穷小量及其性质数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 31数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 32数学与生物信息