04幂指对函数

1、【知识点归纳】1、哥函数(1)募函数定义：形如(2)由于备函数的指数事指对函数y =xk ( k是常数，k w Q )的函数叫做募函数。k的取值不同，相应募函数的定义域及奇偶性(图像的对称性)可能各不相同，但所有骞函数的一个显著特征是：都经过第一象限；都过点(1,1)。于是我们只考虑哥函数在第象限的图像特征，至于该函数的全部图像可由该函数的定义域及奇偶性来得到。(3)下面是几种情况下的哥函数在第一象限的图像:a为底，N的对数，记作logaN =b。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。通常以10为底N的对数叫做常用对数，记作lg N ；以e为底N的对数叫做自然对数，记作ln N 。(2)对数函数的

2、概念：函数 y=logax (a >0,a 01)叫做对数函数，其中(0,y)。对数函数是指数函数的反函数。(3)对数函数的图像：根据图像，可知对数函数的性质。4.指对运算法则m nm -nm.nm _n,m、na a=a ；a-=a ;(a)mn=am aalOgaN =N ； loga(M N)=logaM +loga N ；,M , lOga lOga M 7OgaNNlogb N =lOga N (换底公式)；logam Nn =nloga N (N > 0)ologabm5.简单的指对方程(不等式)的解法化同底；指对互化；换元法；图像法147【例题讲解】1.(1)已知 l

3、og23 = a, log35=b，试用 a、b表示 log15 20。2 1 .(2)设 3a =4b =36 ,求一+的值。a b解：(1) b =log 3 5 = log2 5 二 log 2 5 = ab ,log 2 3 log15 20log2 20log2152 log 2 5log 2 3 log252 aba aba 一 b(2) . 3 =4 =36, /. alog6 3 =blog6 4 =2 ,. 2,-1, 八 21, c, 二 10g6 3 , = 10g6 2 , 4 = log 6 3 +l0g 6 2 =1 ° aba b2.已知对数函数 f(x

4、)=log2(ax 2x + 3),(1)定义域为R,求实数a的范围；(2)值域为R,求实数a的范围。a 0解：(1)定义域为R a 0 u a/， ：:03a 0 ,、1(2)值域为 Ru 或 a=0u 0WaE。：,033.(1)指数函数y = f(x)的反函数的图象过点(2,1),则此函数为 y=? y=2x(C) y=3x(D) y=10x,-11,(2)在 P(1,1), Q(1,2), M (2,3)和 N(一, 一 )四点中，函数 2 4可能是(A) P(B) Q(C) My =ax的图像与其反函数的图像的公共点只(D )(D) N(3)设 f (x) =|3x -1|,c<

5、;b <a ,且f(b) < f (a)< f (c),则下列关系式一定成立的是c bb a(A) 33(B) 33(4) 在 y=2x , y=log2x , y =x2 ,x x f (x) f (x)f(，2)8恒成立的个数是22(A) 0(B) 1(C) 3a 3c 2(D) 3a 3c :二 2,1.v .一y =(-)这四个函数中，当0<Xi<X2<1时，使2(B )(C) 2(D) 3解：(1)选(A),原函数过点(一1,2);(2)选(D), P、Q显然是不可能的，可代入验证知D答案正确。本题学生有个误解，认为原函数与其反函数的公共点只可能在

6、直线y = x上，实际上还可以有关于直线y = x对称的公共点，本题中的两函数应该有3个公共点。又如：已知函数 y =jaXKb的图像与它的反函数的图像有- 选(D),如图，f(c)=1 S, f (a)=3a 1,于是由 f(c) A f (a)= 1 -3c a3a 1= 3a +3c <2。个交点 M (1,2),则两个函数有 3个交点。4.a为何值时关于x的方程lg 2 + lgx = 2lg(x +a )有一解？两解？无解?解:x 0x a 0一 ,、22x =(x +a)x . 0 j=2x = x a 0x 0a = 2x-x(4)选(B),满足题意的函数在(0,1)上应是

7、凸函数。则a=t-+t。由图像得21 一 ，-，aw(0,)时，有两解；当a =21 ,、，一、1或aW0时，有一解；当a> 2时，无解。5.设方程log3x+x=3的根为为；方程3x+x =3的根为x2,求x +x2的值。解：方法一：由题意，log3x+x1=3;3x2+x2=3,注意到本题并未要求解出X,x2,观察两式特点并发现 x=log33x,于是方程3x2+x2=3 ulog3 3x2+3x2=3。由于函数f(t)=log3t+t在定义域内为单调增函数,且 f 国)="3'2)=3,于是 Xi=3X2 ,所以 x+x2=3。像特征来求横坐标。方法二：注意到指对

8、函数互为反函数，我们可考虑利用它们的图解。方程 log3 x +x = 3即 log3 x = 3 x ;方程 3x +x =3 即 3x =3 x。于是Xi, X2分别为函数y=log3x, y=3x与直线y=3x交点的 :函数y=log3x与函数y=3x互为反函数，.图像关于直线 y=x对称，直线 y = 3-x与直线y=x垂直，于是两交点在直线y =3 -x上，又关于直线 y =x对称，故两交点的中点是两直线的交点，于是6.解下列方程： 2x 5x =(10x)510解：原方程= 10x 1 =105x° = x 1 =5x-10x2logo x(2) x g3 =81解：两边

9、取对数：210g3 x log3x =log381 =4= log32x =2：= x=3二2 10g3(1 10g3(" 一3) =2x1 一xx解：原万程 = 10g3(3x-1) 10g3 (3x1)=2= 10g3(3x-1)1og 3(3x1)1 =23u 10g3(3x1)1og3(3x1)2 =0u 1og3(3x 1)2 1og 3(3x1)+1 = 010g3(3x -1) -2 =0= 3x -1 =32 =9= 3x =10= x =1og31010g3(3x -1) 1=0- 3x -1 =3'二得 4,4，3 =: x = log 3 = -1 70

10、g 3 433(4)9x 4x解:原方程5 X =624 x 52 x:= 1 (一)x = (一)x 匕92 3吟2x 2 =02 x 2 x2(-)x -1(-)x -2 =0 332 x2 x 12(3Tog2 = 0 = x =1og 2 2 o3 x 3x =4解：原方程u 3x=4_x。作函数丫 = 3*与丫=4_*的 图像，其交点的横坐标 x =1即为解。x = 1og2 2|1g |x-1|7.设定义域为 R的函数f(x)=0_ 2f (x) +bf (x) +c =0有7个不同头数解的充要条件是(A) b <0H c>0(C) c =0 且 b <0(B)

11、b >0且 c<0(D) b0且 c=0解：f (x)的图像(如右图)与直线y =a的交点数为：时，无交点；当 a=0时，有3个交点；当a >0时，有4个交点。，x的方程f 2(x)+bf (x)+c=0有7个不同实数解当于t的方程t2 +bt+c =0有1个零解与1个正数解。即有x的方程则关于Cc =0 且 b < 0。当 a ：二 0且仅当关8.已知f (x) =1og2 (x+1),当点(x, y)在函数y = f (x)的图像上运动时，点(x,?)在函数y = g(x)的图3 2像上运动。(1)写出y=g(x)的解析式；(2)求出g(x) > f (x)的

12、x范围;(3)在(2)的范围内，求 y =g(x) f (x)的最大值。解：(1)因为点(x, y)在函数y = f (x)的图像上运动，所以y =1og2 (x+1),又点('，")在函数y = g(x)的3 2图像上运动，所以g(x) ='=11og2 (x+1),3221 1、所以 g(x) = - 1og2(3x+1)(x >-)。2 33x 1 00<x<1o(3) 110g2(3x 1) log2(x 1)：= x 1 . 0 ：三 3x 1 (x 1)211 (x 1)2(4) y = -log2(3x 1) -log2(x 1) =

13、log2 22 3x 1t -1令 3x +1 =t , x =,t W (1,4),再令3t -12h(x 1)2 (可2h(t)=3x 1 tt 2 2(-)23tt24t4一 十一 + _999 ,t 一9当且仅当即 ymaxt 4上=4 ,即t =29 9t181 一此时 x = 3时，h(t)min44c29t 989't 449 9t9log2 - = log2 3 - -o292,29.已知函数 f (x)=x* *(kwZ),且 f (2) < f (3) o求k的值;(2)试判断是否存在正数p ,使函数g(x) =1 pf (x)+(2 p 1)x在区间一1,2

14、上的值域为17.4, o 右存8在,求出这个 p的值，若不存在，说明理由。解:(1) - f(2) < f(3) ,2*2*书 <3*2*= (C),2书 <13-k2 +k +2 >0 =-1 <k <2 ； . k EZ ,，k =0或 k =1。 22(2)当 k=0 或 k=1, f(x)=x。g(x) =1 pf (x)+(2 p 1)x = px +(2p1)x + 1c2p -1- p>0，g(x)=p(x-2p2p -1rr 4p -1<-1,即<0 U I2p2pI 2(2p -1)2-)2 +- +1。4p1 ,，、八，

15、0 < p < 时，g(x)在1,2单调递减,417g(-1)7= 一3P178g(2) = 4-1 <2p- 2p2= 2(2p -1)2一 n 1p ,4-1 一r1M2 ,即p之一4时,2p -1 g(2p)="_ (2pT)2 18 4p1782二9p = 8p -17p 2=0 =(8p1)(p2)=0,p =2。这时，g(x) - -2(x -3)2 -,最小值: 48- p =2为所求的p的值。【巩固练习】f(x)=ax+loga (x + 1)在0,1上的最大值与最小值之和为(A)(C) 2(D) 4ax与loga(x+1)有相同的增减性， f(x)

16、是给定区间上的单调函数，由故选(B)。01a +loga 1+a+loga(1+1) =a 得 loga 2 = 1 , a=一,2(l)x (x _4)2.设函数 f(x)=42，则 f(log23) =f(x 3) (x ：:4)提示:1og2 3 :： 43.若ln 2a =，2(A) a : b:c1提示：a =ln 22所以c<a,又(B) A(C) 48f (log 2 3) = f(3 log 2 3) = f (1og2 24)ln3 ln5 皿9，c=W则(B) c :二 b :二 a11,b =ln33, c=ln55，比较知f (x) = In x为增函数，故选出(

17、D)1241 =(2)10g2 241o24(C) c : a :二 b(2，)6 =8 , (33)6 =9(C)。(D) b :二 a :二 c知 a<b ,而(2攵)10=32, (5写)10=25 ,4.对于函数f (x)定义域中任意的Xi,X2 (Xi #x2),有如下结论:f (Xi+X2)= f (Xi)，f (X2); f(X1X2)= f (Xi) + f (X2)f (Xi)f (x2)>0x1 - x2”2) <f(x1) 2f (x2)。若f(x) = lgx,则正确结论的序号是 。x 15.关于函数f(x)=lg (xWR,x00),有下列命题： 函

18、数y = f (x)的图象关于 y轴对称； 当|x|x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； 函数f(x)的最小值是lg2 ；当1<x<0或x >1时，f(x)是增函数。其中正确命题的序号是(把你认为正确的序号都填上)。16 .求函数y 的定义域和值域，并指出函数在(0,收)上的单倜性。2 -1略解：定义域：D =(3,0) = (0户)，值域是(3,1)=(0严)；函数在(0,收)上是减函数。7 .是否存在实数a ,使函数f (x) =loga(ax2-x)在2,4上是增函数，若存在，求出a的值；若不存在,说明理由。略解：当a >1满足题

19、设条件，当 0<a<1不满足题设条件。8 .设函数 f (x) =|lg x| ,若 0 <a <b ,且 f (a) > f (b),求证：ab <1。证：: f(x) Tlgx住0, f (a) >f (b) y lg2alg2b.、_ _a=(1g a +lg b)(lg a -lg b) >0 ,即(1g ab)，lg >0。 ba. a而 0<a<by 0<一 <1 " lg <0, bba(lg ab) lg - >0 => lg ab <0 ,于是有 ab <1。

20、 b9 .设y = f (x)是函数y =ax -1 (a >0,a =1)的反函数，(1)试比较3 f (x)与f(3x)的大小;(2)若函数y = f(x)在区间1,2上的最大值比最小值大1,求实数a的值。解：(1)求出 f (x) =1oga (x 1) (x . -1)o所以 3f (x) =31oga 仅 + 1)= log x + 1); f (3x) =1oga(3x +1),由于(x+1)3(3x+1)=x2(x+3)20,当且仅当x=0时取等号。于是有：当 a：>1时，3 f (x) 之 f (3x),当且仅当 x=0时取等号；当0ca<1时，3 f (x)

21、Mf(3x),当且仅当x=0时取等号。(2)当a>1时，函数f (x)在1.2上为增函数，所以1oga(2 + 1)loga 2= 1一 3=a=2;当 0<a<1 时，函数 f(x)在1.2上为减函数，所以 loga 21oga(2+1) = 12=a =。 310. (1)在实数范围内解不等式：5x"x+1;(2)利用解上题的方法证明：3x +4x=5x有唯一解。解：(1) 5x 之4x +1 = (f)x +(1)x W1。55' (4)x单调递减；d)x单调递减，f(x) =(-)x Y1)'单调递减。5555而 f(1) =4+1 =1 ,(4)x +(1)x <1 x 之1。不等式的解集：1,y)。5 555(2) 3x+4x=5x=(-)x+(4)x=1,g(x)=(3)x+(