数学第一讲圆的相关概念及对称性

1、第讲圆的相关概念及对称性知识概要1. 圆的基本概念圆，半径，直径，弦，弧（优弧、劣弧、半圆、等弧），弦心距，弓形，圆心角，圆周角 等概念.圆是屮心对称图形，也是轴对称图形.2. 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并目平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是肓径）的肓径，垂肓于弦，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； 弦的垂直平分线必过圆心，并口平分弦所对的两条弧； 圆的两条平行弦所夹的弧相等.【注】垂径定理及其推论可以理解为：一条直线如果它具有：经过圆心；垂直于弦； 平分弦；平分弦所対的优弧；平分弦所対的劣弧，这五条性质中的任何两条性质

2、，那么 它就具有具余的三条性质.3. 弦，弧，圆心角关系定理定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相 等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量 相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆心角的度数等于它所对弧的度数.4. 圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角和等，都等丁这条弧所对的圆心角的一 半.推论：在同圆或等圆屮，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弦，弧也 相等. 半圆（或总径）所对的圆周角是总角；90"的圆周角所对的弦是总径，所对的弧 是半圆. 如果三角形一边上的屮

3、线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.例题精讲【例1】已知：ab是90的直径，cd是oo的弦，ab, cd的延长线交于e,如果ab=2de,ze=18°,求zc及zaoc的度数.ab【例2 （2010宣武）如图，正方形abcd的边长为2,将长为2的线段0f的两端放在正方形和邻的两边上同时滑动.如果点0从点a出发，沿图中所示方向按atbtctdta滑动到点4为止，同时点f从点b出发，沿图屮所示方向按btctdtatb滑动到点3为止，那么在这个过程中，线段0f的中点m所经过的路线围成的图形的面积为（）a. 2b- 4 71c. 71d- 71【巩固练习】1. （2008芜湖）如图

4、，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2, 则该半鬪的半径为.2. （2011 h照）如图，在以为直径的半圆屮，有一个边长为1的内接正方形cdef, 则以ac和bc的长为两根的一元二次方程是.板块二【例3】如图，ab是的直径，点c,d,e都在（do上，若zc = zp = ze ,贝ljza + zb= 【例4】如图，aabc内接于0o, za=50° , zabc=60° , bd是（do的直径, bd交ac于点e,连结dc,则zaeb等于（）.a. 70° b. 90°c.110 d. 120°【例5】如图，o0是aab

5、c外接圆，ad丄bc于d,交。0于n, ae平分zbac 交（do于e,求证：ae平分zoad【巩固练习】1.ab是oo的直径，cd是oo的弦，连接ac,ad,若zcab = 35°,则zadc的 度数为.b2己知：如图，是。o的总径，cd为弦,且4b丄cd于e, f为dc延长线上一点, 连结af交o0于m.求证：zamd=zfmc.m/tvif (°7ad3. 已知，如图：为。0的直径，ab = ac , bc交于点d, ac交于点e,zbac = 45°.给出以下五个结论：zebc = 22.5° ； ®bd = dc ；ae = 2ec；

6、劣弧ae 是劣呱de的2倍；ae = bc .其中正确结论的序号是.板块二的基本性质则om的长为cm【例6过oo内一点m的最长弦为8cm,最矩弦长为4cm, 如图，ab是半圆的直径，0是圆心，c是半圆上一点，e是弧ac的中点，0e交弦ac于 d.若 ac=8cm, de=2cm,则 0d 的长为cm如图，已知ab是半圆。的直径，c为半圆周上一点，m是ac的屮点，mna.ab于n,则mn与ac的关系是【例7】如图所示，已知的直径ab和弦cd相交于点e, ae=6cm, eb=2cm, abed = 30° ,求 cd 的长.王后雄敦肓whx study mall【例8】已知，如图0为圆

7、心，zaob=120°,弓形高nd=2cm,矩形efgh的两顶点e, f在弦ab上，h, g在弦ab ±,且ef=4he,求he的长.n【例9】已知：如图，a, 3是半阴|0上的两点，cd是oo的直径，zao£>=80°, b是能的 匚点、(1)在cd上求作一点p,使得ap+pb最短；a若cd=4cm,求ap+pb的最小值./一厂【例10】如图，oo中，直径4b=15cm,有一条长为9cm的动弦cd在丽上滑动(点c与 a,点d与3不重合)，cf丄cd交ab于f,丄cd交a3于e.(1) 求证：ae=bf；(2) 在动弦cd滑动的过程中，四边形cde

8、f的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并 求这个定值；若不是，请说明理由.【巩固练习】1如图，矩形abcd与圆心在ab上的q0交于点g、b、f、e ,gb = 8cm, ag = cm. de = 2cm，则 ef=cb2如图，已知ab是半圆o的直径,c为半圆周上一点，m是ac的中点mn丄ab于m则有（）c. mn =-ac5d- w=tacb. mnac3已知：如图，mn是oo的肓径，点a是半圆上一个三等分点，点3是4n的中点，p是mn上一动点，（do的半径为1,则pa + pb的最小值是4. 如图，ab为的一固定直径，它把oo分成上、下两个半圆，自上半圆上一点c作 弦cd丄ab, zocd的平分线交oo于点p,当点c在上半圆（不包括- a、b两点）上移 动时，点p （）a.到cd的距离保持不变b.位置不变c.等分qbd.随c点移动而移动/|0 a b课后作业1.如图,00 中，za0b = 70°, zobc=35。,则 zoac 等于()a. 20°b. 35°c. 60°d. 70°2.如图，是30 的直径，点 c, d 在30 上，zbac = 30° f 则 zadc =.3.在平而直角坐标系中，半径为5的0m与