专题3：根与系数的关系(含答案)

1、2017专题3：根与系数的关系（含 答案）专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1 .已知关于X的方程"谭（2/n-l） X+m2=0.（1）当，"取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若八X2为方程的两个不等实数根，且满足打2+必2的必=2,求? 的值.例2.已知关于X的方程工24内+碗29=0.（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为Xi, X2,其中X1<X2.若2x1=12+1,求 m 的值.例3.已知关于无的方程(4-3/«) x+2?/-8=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根；12mf且点B (w, )

2、在x轴上，求z的值.例4.已知关于x的一元二次方程：/2 (任l)x+加2+5=0有两个不相 等的实数根.(1)求，的取值范围；(2)若原方程的两个实数根为XI、X2,且满足X12+X22=M| + M|+2X1X2, 求加的值.12) =0.(1)求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根;(2)能否找到一个实数A,使方程的两实数根互为相反数？若能找到, 求出女的值；若不能，请说明理由.(3)当等腰三角形ABC的边长。=4,另两边的长、c恰好是这个方程的两根时，求AABC的周长.训练1.已知关于x的方程5+2) x+2=0 Q#0).(1)求证：方程总有两个实数根;(2)已知方程有两个不相等

3、的实数根a , B ,满足：+/=1,求小的值.2 .已知一元二次方程x2-2r 4-=0(1)若方程有两个实数根，求小的范围；(2)若方程的两个实数根为孙和X2,且“1+弘2=3,求胆的值.(3)若方程的两个实数根为必和X2,且以2422=0,求勿的值.3 .已知关于 x 的方程"+ (/n-3) xm (2-3) =0(1)证明：无论所为何值方程都有两个实数根;(2)是否存在正数次，使方程的两个实数根的平方和等于26?若存在,求出满足条件的正数，"的值；若不存在，请说明理由.4 .已知关于x的一元二次方程户642=0 (k为常数).(1)求证：方程有两个不相等的实数根;

4、(2)设小、M为方程的两个实数根，且廿1+孙=14,试求出方程的两个实数根和土的值.5 .已知关于x的方程x2(2-3) X+依+1=0有两个不相等的实数根必、X2.(1)求左的取值范围；(2)若XI、X2满足|*1|+闷=2卜1%2卜3,求上的值.6 .已知关于x的一元二次方程52) x+颉3=0(1)求证：无论"，取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根;(2)如果方程的两个实数根为Xi, X2,且2xi+X2=，+1,求机的值.7.已知关于x的一元二次方程(«-1) /5%+文2=0的一个根为x=3.(1)求的值及方程的另一个根;(2)如果一个等腰三角形(底和腰不

5、相等)的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长.8.设X1,刈是关于X的一元二次方程"+2依+”2+*2=0的两实根，当 。为何值时，孙2+42有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：(1) 方程有两个不相等的实数根，/=ft2-4ic=- (2m-l) 2-4/n (zn-2) =4利+1>0,解得：机4 ;二次项系数#0,，加WO,4，当机且机wo时，方程有两个不相等的4实数根；(2) Vxi. *2为方程的两个不等实数根,. 2m-lm-2.Xl+X2=, X1X2=,mm/.X12+X22-X1X2=(X1+X2)2-3XiX2

6、= (迎二) m2 3(m2)=2, m解得：wi=V2+l, W2=-V2+l (舍去)；:.m=y2+l.例2.解：(1)(-4m) 2-4 (4相29) =36>0,.此方程有两个不相等的实数根；(2) .x=2，±3,/.xi=2m-3, X2=2m+39V 2xi=X2+1t /.2 (2m-3) =2机+3+1,，/%=5例3,解：（1）（43机）2必加（2机8）,=m2+8/w+16= （/篦+4） 2又/%（），（相+4） 2。即（）.方程有两个不相等的实数根；（2）:方程的两个根分别为XI、X2（X1X2）,.4-3m2m-8.Xl+X2=， XleX2=,m

7、m1 n=X2-xi-m,且点B (m, n)在x轴上,1 / 1X2-X1-/W=/ (冗 1 + X2)2 4X2Xj-m=I A-3mx9 .2m-8 1-()2 -4 X-m=0,9 mm 2解得：m=-2, m=4, 9m>0, .m=4.例4,解：(1) ,方程/2 (雨+解+0+5=0有 两个不相等的实数根，.*.=-2(7W+1) 2-4 (M+5) =8吵 16>0, 解得：m>2.(2) 原方程的两个实数根为XI、X2, Axi+x2=2 (zn+1), xieX2=m2+5.: m>2,Axi+x2=2 (m+1) >0, xieX2=zw2

8、+5>0,Axi>0> X2>0.VX12+X22=(X1 + x2)2-2xi X2= |xi I +1%21 +2xi eX2, A4(/w+l)2-2 (m2+5) =2 (zn+1) +2 (加+5), 即 6/w-18=0, 解得：m=3.例5.证明：(1) VA= (26+1) 2-16 g) = (2h3) 2川，方程总有实根；解：(2)二两实数根互为相反数， Axi+x2=2A:+1=0,解得 A=-0,5；(3)当)=c时，则=(), 即(2h3) 2=0, #=1 方程可化为“24x+4=0, /.xi=X2=2,而 b=c=2, .b+c=4=a不

9、适合题意舍去；1当 b=a=4,则 42-4 (2%+1) +4 (-) =0,.,.左=|,方程化为/&：+8=0,解得xi=4, X2=2, c=2, Caabc=10,当 c=a=4 时,同理得 b=2, / Caabc=10,综上所述，AABC的周长为10训练1. (1)证明：二方程机工2-(机+2) x+2=0 (mWO) 是一元二次方程，；= (/%+2) 2-8m =m2+4/n+4-8/W =m2-4m+4=Gn-2) 220,，方程总有两个实数根；(2)解：:方程有两个不相等的实数根a , B,A由根与系数的关系可得a + B =, a B =-,-+=1, a Pm

10、+2ni -m+2 = 14 一 2 一 m解得加=o, ，机无解.2.解：(1) 方程/2;+.=0有两个实数根,= (-2) MmO,解得/篦W1；(2)由两根关系可知，xi+x2=2, xieX2=m,解方程组+%2 = 2+ 3x2 = 3_ 3解得一 2=?一 2，= (-2) 2-4m=0,解得/九=1.3. (1)证明：关于x的方程N+(机3) xw (2m-3)=0的判别式=(怙3)2+4加(2吵3)=9 (w-1) 220,.无论m为何值方程都有两个实数根；(2)解：设方程的两个实数根为XI、X2，贝!)xi+%2=-(机-3), xiXx2=-/w (2怯3), 4fcxi

11、2+x22=26,得：(xi+x2) 22x62=(旭-3) 2+2m (2m-3) =26,整理，得5m212g17=0,解这个方程得，机或加=1,所以存在正数相=1,使得方程的两个实数根 的平方和等于26.联立成方程组 解之得：,二， AxieX2=-A:2=-16,=±4.5.解：(1) :原方程有两个不相等的实数根, /.=- (2h3) 24(P+1)=4依12女+9-铀2-4=-12%+5 > 0,解得：k备 JL/(2) ,:12A xi+x2=2Zr-3 < 0,又 Vxi X2=N+1 > 0,Axi<0, X2<0,kl| + k2|

12、=-Xi-X2=-(X1+X2)=3+3,V |xi|+|x2|=2|xiX2|-3,，2%+3=2依+23 即 N+h2=0,ki=1, A2=2 9又得， JL/:.k=-2.6,解：（1） VA= （/小2） MX （品-3）=(/n-3) 2+3>0,.无论m取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根；(2)解：xi+x2=m-2,2xi+X2=Xi+(X1+X2)=机+1,篦+1+2-机=3 9把血代入方程有：19-3 (m-2) +-/w-3=0解得用=胃.7.解：(1)将x=3代入方程中，得：9 (-1)15+碗2=0,解得：a=2,.二原方程为 N-5x+6= (x-2) (x-3) =0, 解得：xi=2, xz=3.工的值为2,方程的另一个根为x=2.(2)结合(1)可知等腰三角形的腰可以为2 或3,AC=2+2+3=7 或 C=3+3+2=8.，三角形的周长为8或7.18,解:VA= (2a) 24(a2+4a-2) 20, ：.a <又31+工2=-2, x1X2=a2+4a-2.X12+X22=(X1+X2)2-2XiX2=2 (。-2)24.设y=2 (a-2) 2-4,根据二次函数的性质.a4 ，当a =:时，xi2+x22的值最小.此时焉+遥=262)2 4 = 段即:3Vl 3./n=xi*X