第十二章动能定理PPT课件

1、力在无限小位移中力所做的功称为元功dcos ddtWFsF sFr2、变力在曲线运动中的功drDr在从M1运动到M2路程中力F做的总功为dddxyzWF xF yF z或222111dcos ddMMMtMMMWFsF sFr21(ddd )MxyzMWF xF yF z或第1页/共76页3、常见力的功（1）重力的功211212d()zzWmg zmg zz对于质点系1212()CCWmg zzdddxyzWF xF yF zm为质点系总质量，zC为质点系质心的铅垂坐标。可见重力所做的功只与力的作用点始末位置有关，与具体运动路径无关。重力功也可以表示为1212()CCCWmg zzmgh 取正

2、号取负号第2页/共76页OMF1M2M1r2rk（2）弹性力的功00()k rl Fr21120()drrWk rlr2210201()()2krlrl2212121()2Wk弹性力：21120d()drrWk rlrrFrrddr rrrr0 1 、 2始、末位置弹簧的变形量。k弹簧的刚性系数；l0弹簧的原长。由于故有即可见弹性力所做的功也只与质点的始末位置有关，而与具体运动路径无关。r第3页/共76页()zzMMF？（3）作用在定轴转动刚体上力及力偶的功dddttWF sFRFrF RdzWM2112dzWMR若Mz为常量，则2112dzzWMM D力矩转向与刚体转向一致，力矩做正功；反之

3、，力矩做负功第4页/共76页（4）摩擦力的功dsW FrFT作用在纯滚动圆轮上的摩擦力的功：摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，摩擦力作负功；摩擦力方向与其作用点的运动方向相同，摩擦力作正功。摩擦力的功与力的作用点运动路径有关。d0stF v?第5页/共76页（5）任意运动刚体上力系的功 刚体在任意运动过程中，力系所作的总功，等于各分力所作功的代数和。 对于刚体，也可以将力系向刚体的质心简化，一般简化为一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有平面运动刚体 ddiRCCWWFrM ddRCCWMFr第6页/共76页说明:1.对任何运动的刚体，上述

4、结论都适用;2.C点不是质心，而是刚体上任意一点时,上述结论也成立3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 当质心由 ,转角由 时,力系的功为12CC12221112RddCCCCWMFr第7页/共76页(6) 质点系内力的功故质点系内力的功之和一般不为零。OrArBrABd dddABABW FrFrFrFr(dd)d()dABABABFrrFrrFrFFABA、B两点之间距离发生改变，则内力功之和不为零。第8页/共76页4、理想约束约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束。（1）光滑固定面（2）光滑铰链或轴承约束（3）刚性连接的约束（4）联结两个刚体的铰（5）不可伸长的柔索约束第

5、9页/共76页122 质点和质点系的动能1、 质点的动能2、质点系的动能 动能是一恒为正的标量，它的值取决于各质点质量及速度的大小，而与速度方向无关。因此计算质点系动能时不必考虑各质点速度的方向，这给计算带来很大方便。212mv212iiTmv通常用字母T 表示质点系动能。动能的单位：焦耳（ J ）。第10页/共76页质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。 质点系的动能等于随质心平动的动能和相对质心运动的动能之和。222111222iiCiriTmvmvmvriv式中：质点 Mi 相对于质心运动的速度212Cmv质点系随同质心平动的动能212irimv质点系相对质心运动的动能柯

6、尼西定理（取质心为平移动系的坐标原点）第11页/共76页221122CiriTmvmv证明：设质点系质心的速度为vC ，任一质点 Mi 相对于质心运动的速度为vri，则质点的绝对速度为 vi = vC + vri于是有2() ()iiiCriCriv v vvvvvCCririCri vvvvvv2CriCrivv vv222111222iiiCiriiCriTmvmvmvmvv则有第12页/共76页式中22iCCmvmv?iCriCiriCrCmmmvvvvvv222111222iiiCiriiCriTmvmvmvmvv于是有221122CiriTmvmv证毕是质心相对于质心的速度，其值为零

7、rCv故有0iCriCrCmmvvvv221122AiriTmvmv对吗？第13页/共76页（1）平动刚体的动能（2）定轴转动刚体的动能22222121 ()21 2iii ii iTmvmrmr212zTJ3、刚体的动能222111222iiCiTmvvmmv第14页/共76页221CJT2CCJJmd222221()211 22CCTJmdJmd221122CCTmvJC为通过速度瞬心，且与运动平面垂直的轴。（3）平面运动刚体的动能第15页/共76页例 计算物体系统的动能。已知：m, r, P, 221122OPTJvg22221 112 22PTmrrg221(2)4PmrgPO第16页

8、/共76页例 计算只滚不滑圆轮的动能。已知：m, r, CI221122CCTmvJ22222211 1()22 234mrmrmr或22222222111 1()()222 234ICTJJmrmrmrmr第17页/共76页例 计算OA杆的动能。已知：m, l, OA2222211 1()22 316OTJmlml第18页/共76页12-3 动能定理ddtvmFtddddtvmsFstddtmvvFs21d()2mvW微分形式的质点动能定理即质点动能的微分等于作用在质点上力的元功。F1、质点的动能定理：第19页/共76页2221121122mvmvW 即质点某个运动过程中, 动能的改变量等于

9、作用在质点上的力所作的功。21d()2mvWF两边积分得：积分形式的质点动能定理第20页/共76页21d()2iiimvW21d()2iiimvW21d()2iiimvW212iimvT设质点系有 n个质点，在其中任取一质点，据质点动能定理:对每个质点都可列出上面的方程式，将n个方程相加有:即:质点系的动能2、质点系动能定理：第21页/共76页 质点系由起始位置运动到终了位置，质点系动能的变化等于作用在质点系上的所有力（主动力、约束力或内力、外力）在此过程中所作功的代数和。diTW21iTTW微分形式质点系动能定理积分形式质点系动能定理即有:两边积分第22页/共76页例 卷扬机鼓轮在常力偶矩作

10、用下将圆柱体沿斜面上拉。已知鼓轮的半径为R1,质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱体的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。斜面的倾角为，圆柱体沿斜面只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱体中心的速度与其路程之间的关系。解：2sinWMm gs2221122111222CCTJm vJ22111221,2CJm RJm R开始时动能为零，圆柱体中心运动路程为s时，系统动能为取整体研究做功的主动力有M， m2g。系统受到的约束是理想约束。第23页/共76页0TTW212211(23)0(sin )4CMmm vm gsR21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm12121,CCvvsRR

11、R2121(23)4CTmm v如何求轮心的加速度aC ?2221122111222CCTJm vJ22111221,2CJm RJm R2sinWMm gs第24页/共76页221112(sin )4(23)CMm gRsvRmm21112d(sin )2d(23)CCvMm gRatRmm21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm21112d(sin ) d24d(23)dCCvMm gRsvtRmmt两边对时间求导：ddCsvt式中： 若应用动量定理、动量矩定理如何求解aC？比较一下，哪种方法便捷。第25页/共76页取轮研究CaTFCa2TF111T1JMF R(1)取滚子研

12、究2Ts2sinCm aFFm g(2)2s2CJFR(3)2(2)(3),得R2222T2221sin2CCm R am R aF Rm gR2T23sin2Cm aFm g(4)1(1)(4),得R1121213sin2CCm Ram RaMm gR21112(sin )2(23)CMm gRaRmm21112(sin )2(23)CMm gRaRmm显然，应用动能定理较方便第26页/共76页例 提升机构如图，电动机的转矩M为常量，大齿轮及卷筒对于轴AB的转动惯量为J2，小齿轮、联轴节及电动机转子对于轴CD的转动惯量为J1，重物重为P，卷筒、大齿轮及小齿轮的半径分别为R,r2及r1。略去摩

13、擦及钢丝绳质量，求重物从静止开始上升距离s时的速度及加速度。解：研究整体，约束为理想约束1WMPs00T 2221122111222PTJJvg0TTW第27页/共76页22211221111()0222PJJvMPsg2221211221211vRrrvrrRrrsrrR2212222211102JrJrPMvP sRrRgR r1WMPs2221122111222PTJJvg式中第28页/共76页2121222212rMP sR rvJrJPRrRg212222211122JrJrPMvaP vRrRgR r212122221rMPR raJrJPRrRg将上式两端求导得：22122222

14、11102JrJrPMvP sRrRgR r第29页/共76页例 周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。已知动齿轮半径为r，质量为m1，可看成为均质圆盘；曲柄OA，质量为m2，可看成为均质杆；定齿轮半径为R。在曲柄上作用一常力偶矩M，使此机构由静止开始运动。求曲柄转过 角后的角速度和角加速度。第30页/共76页解 取整体研究，应用动能定理ORAMAv12r222222112112111 1()()()22 22 3mmRrTRrrm Rrr10T 2222121111222AAOTm vJJ11)(rROAvA21AvRrrr2112AJm r221()3OJm Rr2212192()12m

15、mRr式中：第31页/共76页WM动能定理21TTW2112932mmMrR得曲柄角速度两边对时间 t 求导，消去1，得曲柄角加速度2121243() 92MRrmm两边平方112126 () (92)MRrmm22122192()12mmTRr2212192()12mmRrM10T 与 同向1ORAMAv12r第32页/共76页124 功率功率方程机械效率1、功率功率可以描述力作功的快慢程度。力的元功为：dW Fr力的功率为：dddtWPF vttrFF v力矩的元功为：dzWM力矩的功率为：dddzzWPMMtt功率是代数量。功率的单位：瓦特（ W ）。1W1J/s力的功对时间的变化率称为

16、功率第33页/共76页ddiTPt功率方程2、功率方程diTW微分形式质点系动能定理 功率方程可以用来求解加速度（角加速度）与力（力矩）之间的关系第34页/共76页例 周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。已知动齿轮半径为r，质量为m1，可看成为均质圆盘；曲柄OA，质量为m2，可看成为均质杆；定齿轮半径为R。在曲柄上作用一常力偶矩M，使此机构由静止开始运动。求曲柄的角加速度。第35页/共76页ORAMAv12r解 取整体研究，应用功率方程222121111222AAOTm vJJ22222211112111 1()()()22 22 3mmRrRrrm Rrr2212192()12mmRr1

17、PM212111d92()2d12TmmRrMtddTPt12126 () (92)MRrmm12126 () (92)MRrmm解得：第36页/共76页ddiolTPPPt机器启动阶段d0dTtiolPPP故有稳定运动阶段d0dTtiolPPP故有停机阶段0iP故有d0dolTPPt 对于机器，所有的功率包括三个部分输入功率Pi作用于机器的主动力的功率（如电机转矩）输出功率Po 机器的有用阻力的功率（卷扬机提升重物的重力）损耗功率Pl机器的无用阻力的功率（如摩擦力）机器的功率方程第37页/共76页机器工作时，必需输入功率。输入的功率中，只有一部分输出成为用来做功的有效功率，称为输出功率；另一

18、部分用于克服摩擦力之类的阻力而损耗掉,称为损耗功率。输出功率与输入功率之比称为机器的机械效率，它是衡量机器质量的指标之一。3、机械效率用 表示机械效率，则输 出功 率1输入功 率值越大越好多级传动系统 12n第38页/共76页求: 车刀切削力F 的最大值。解:3.78kWoiPP5.4kW,iP 0.7例:已知车床电机功率机械效率工件直径100mm,d 转速分别为 和42r/min,n 112r/min.n 2 30odnPFvF6060 3.7817.19kN 0.1 42oFPdn60 3.786.45kN 0.1 112F当时112 /minnr第39页/共76页125 势力场势能机械能

19、守恒定律1、势力场势力场:物体在某一空间的任一位置都受到一个确定的力的作用，这个力度大小和方向完全由物体所在位置来确定,这部分空间称为力场。力作功只与力作用点的始、末位置有关, 与运动路径无关。这种力称为有势力(或保守力) 。 力场: 物体在某一力场中运动，物体上的力作功只与力作用点的始、末位置有关， 与运动路径无关。这个力场称为势力场(或保守力场)。有势力：第40页/共76页2、势能 在势力场中,质点从位置M 运动到某一位置M0过程中,有势力所作的功就是质点在位置M 相对于位置M0的势能。（1）重力场中的势能00ddddMMxyzMMVF xF yF zFr 称势能零点 0M00dZZVmg

20、 zmg zz令 为零势能点，00z Vmgz则重力势能为：物体在某个位置相对于不同的零势能位置，具有不同的势能。第41页/共76页（2）弹性力场的势能0220d2rrkVFr22kV令 为零势能点，00则弹性力势能为：（3）质点受到多个有势力作用时的势能质点受到多个有势力作用时，在某一位置的势能等于各有势力运动到其相应的零势能位置的过程中所做功的代数和。0diiMiMV iFr（4）质点系的势能质点系在某一位置的势能等于质点系中各质点势能的代数和。第42页/共76页例 已知均质杆AB长 l ，质量m ，弹簧刚度系数 k ，杆水平时平衡，弹簧变形为 。求：杆摆动微小摆角时的势能。0第43页/共

21、76页 以杆的水平位置为重力零势能位置，以弹簧自然长度位置O为弹性力零势能位置：0()02AlMklmgF02mgk22222 2011122228lm gVkmghklmgklk222 2182m gklk22 21()22222mgmglkllmgkk0?第44页/共76页可见对于不同的零势能位置，系统的势能是不同的。若取杆平衡位置为零势能位置:02mgk22022 22000121222Vkmghlkllmg 即2 212Vkl第45页/共76页M1M2质点系在势力场中运动,有势力功为： 1212WVV3、用势能表示有势力的功质点在势力场中运动，从M1运动到M2 ，求有势力的功12100

22、21020WWWWW101202,WV WV1212WVV即质点在运动过程中，有势力的功等于质点在始末两位置势能之差。M0取M0为零势能位置。第46页/共76页4、 机械能守恒定律 质点系仅在有势力作用下运动时，机械能守恒。 此类系统称保守系统。机械能:质点系在某瞬时动能与势能的代数和。质点系仅在有势力作用下，有非保守系统的机械能是不守恒的。ETV由于2112TTW1212WVV得1122TVTV第47页/共76页已知：重物 m=250kg, 以v =0.5m/s 匀速下降，钢索 k =3.35106 N/m 。 求：轮D突然卡住时，钢索的最大张力。第48页/共76页卡住前钢丝绳伸长量为 取刚

23、卡住时的平衡位置为零势能位置 解:20T 钢索的张力达到最大时的位置，有10V 2112Tmv222maxstmaxst2kVmgstmgk第49页/共76页即stkmg1122TVTV222maxstmaxst10022kmvmg222maxstmaxstst122mgmvmg222stmaxststmaxst2vg222maxstmaxstst20vg 第50页/共76页正常工作时钢丝绳拉力：max/6.9FF 222maxstmaxstst20vg stkmgst2.45kNFkmg得2maxstst1vg2maxmaxstst1116.9kNvvkFkkmgggm第51页/共76页12

24、-6 普遍定理综合应用举例一、普遍定理涉及到的量1、反映质点系质量及其分布的量质心位置i iCmmrr转动惯量22zi iJmrm均质细杆、圆盘、细圆环对通过质心轴的转动惯量的计算。转动惯量的平行移轴公式。第52页/共76页动量矩 LO=rimivi （转动刚体 LzJz，平面运动刚体 LCJC ）这三个量都是状态量，是瞬时性的，由各质点的v写出各自表达式。212iiTmv（刚体平动T=?、转动T=? 、平面运动T=? ）2、度量机械运动的量注意：动量和动量矩具有方向性，而动能是标量。动量 p =mivimvC动能第53页/共76页21ttdtIF21 dMMW Fr功这两个量都是过程量，度量

25、某瞬时力的作用量有F, M, P冲量3、度量力的总作用效果的量功率dWPt（各种常见力的功的计算 ）FtPFv MPM 注意：冲量是矢量，而力的功是代数量。第54页/共76页二、普遍定的内容注意： 定理建立了F（M）与a（）之间的关系，可以用来求解F（M）a（）等问题。 定理中各量均为瞬时量，定理中的关系为瞬时关系。1、微分式动能定理动量定理动量矩定理ddetpF质心运动定理eCmaFddeOOtlM刚体定轴转动zzJMdTW功率方程dddWTPtt刚体平面运动CCJM第55页/共76页2、积分式注意：应用积分形式定理应有明确的运动过程和明确的始末运动状态。可以用来求解与始末运动状态有关的量。

26、如：v1，v2，1，2，以及与运动过程有关的量。如：s，t 等。动量定理动量矩定理动能定理21eppI21TTW 各定理还有相应的守恒定理。（动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒、机械能守恒）第56页/共76页 动量定理: 空间 3， 平面 2 动量矩定理: 空间 3， 平面 1 动能定理: 空间 1， 平面 1三、定理可提供的方程数目刚体动力学问题与刚体静力学问题方程对应，空间问题6个方程（动量定理3个，动量矩定理3个），平面问题3个方程（动量定理2个，动量矩定理1个），动能定理不能再提供独立方程，但可以用动能定理突破未知量，避免解联立方程。这样动量、动量矩定理中多一个方程可以用来校核。第57

27、页/共76页 质点系动力学问题，若内力功之和不为零，则动能定理可以在动量、动量矩定理之外提供一个独立方程。因为动量、动量矩定理中不含内力。若内力功之和为零，则动能定理不可以在动量、动量矩定理之外再提供一个独立方程。 另外，解质点系动力学问题，有时也要将系统拆开，就像求解物体系统平衡问题一样。第58页/共76页四、如何选用定理 如选用微分式还是积分式，前面已讲过，可根据待求的未知量决定。三个定理中，动量定理含 t 不含 s，涉及t用动量定理，涉及 s 用动能定理。再如，动量、动量矩定理中不含内力，刚体定轴转动微分方程、动能定理不含理想约束反力，欲求约束反力，可用动量定理或质心运动定理等。 在解决

28、问题时，如何选用定理，可根据题意要求以及定理的特点来选用。 对于较为复杂的问题，往往要联合运用几个定理求解，也有一些问题是一题多解，怎样求解最简捷？要多练习。如已知主动力，求运动及反力，可以先取整体，用动能定理求出运动，再取某些分体应用动量定理或质心运动定理求反力。 第59页/共76页例 一矿井提升设备如图所示。质量为m、回转半径为r 的鼓轮装在固定轴上，鼓轮上半径为r的轮上用钢索吊有一平衡重量m2g。鼓轮上半径为R的轮上用钢索牵引重为m1g的矿车。设车在倾角为a 的轨道上运动。如在鼓轮上作用一常力矩MO。求： （1）矿车的加速度； （2）连接平衡重物钢索中的拉力； （3）鼓轮的轴承约束力。不

29、计各处的摩擦及车轮的滚动摩阻。第60页/共76页解：取整体研究22212121110sin222ABOOABmvm vJMm gsm gsBArvrvRBArsrsRAOAsgmRgrmRMvRmRrmmsin211222222211222212sinOAMm gRm graRm Rm rm两边对时间求导，得或应用功率方程求解。第61页/共76页以鼓轮为研究对象,利用质心运动定理有:222TBBArm gFm amaR求钢索拉力和鼓轮轴承约束力22TBArFm gmaR0cos0sinOxTAOyTATBFFFFFmg研究重物B,利用质点动力学基本方程,有:研究矿车A,利用质点动力学基本方程在

30、与斜面平行方向的投影方程，有:11sinTAAFm gm a11sinTAAFm gm a得:得:得:cossinOxTAOyTATBFFFFFmg第62页/共76页例 均质杆OC长l，质量为m1，某瞬时以角速度 绕O转动。均质圆盘质量为m2，半径为R。设（1）圆盘与杆固结无相对运动；（2）圆盘与杆端C用光滑销钉连接，且初始角速度为零。求 此时两种情况下系统的动量、对O 的动量矩及动能。OCR（1）OCR（2）第63页/共76页OCR（1）解 （1）12()2lpmm l22212211()32OOLJm lm Rm l2222212211 11()22 32OTJm lm Rm l第64页/共76页OCR（2）12()2lpmm l2222121211()33OLm lm lm lm l22222212121 111(3)2 326Tm lm lmm l（2）求圆盘角速度如何求？圆盘角速度为零，作平行移动。对圆盘应用相对质心的动量矩定理第65页/共76页例 图示曲柄滑槽机构，均质曲柄OA绕水平轴O作匀角速度转动。已知曲柄OA的质量为m1，OA r，滑槽BCD的质量为m2（重心在点D）。滑块A的重量和各处摩擦不计。求当曲柄转至图示位置时，滑槽BC的加速度、轴承O的约束力以及作用在曲柄