高考数学一轮复习导学案：不等式选讲3【A】含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5不等式选讲（2）（教案）a一、 基本知识点：(1).含有参数不等式的解法例1:解关于x的不等式 解：原不等式等价于 当即时 当即时 x¹-6当即时 xÎr。例2、解关于x的不等式 解：当即qÎ(0,)时 x>2或x<1当即q=时 xÎ当即qÎ(,)时 1<x<2(2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法）例3;若实数，求证：证明：采用差值比较法： = = = =讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？例4、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证

2、明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设 故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。(3)不等式的证明方法：分析法、综合法例1、都是正数。求证：证明：由重要不等式可得本例的证明是综合法。例2、设，求证证法一 分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。证法二 综合法 注意到，即，由上式即得， 从而成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a，b，m都是正数，并且求证： （

3、1）证法一 要证（1），只需证 （2）要证（2），只需证 （3）要证（3），只需证 （4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 是正数，所以 两边同时加上得两边同时除以正数得（1）。读一读：如果用或表示命题p可以推出命题q（命题q可以由命题p推出），那么采用分析法的证法一就是 （1）而采用综合法的证法二就是 如果命题p可以推出命题q，命题q也可以推出命题p，即同时有，那么我们就说命题p与命题q等价，并记为在例2中，由于都是正数，实际上 （4）.含参数不等式的恒成立“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角

4、函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数在定义域为d，则当xd时，有恒成立；恒成立.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.1定义在r上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于0在给定区间a，b上恒成立问题可以转化成为在a，b上的最小值问题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论。tg(t)o·1图1【解析】由得

5、到：t=m因为为奇函数，故有恒成立，又因为为r减函数，tg(t)o·1图2从而有对恒成立t=m设，则对于恒成立，在设函数,对称轴为.当时，tg(t)o·1图3即，又t=m(如图1)当，即时,即,又,(如图2)当时，恒成立.(如图3)故由可知：.变式一：条件改为：若对任意xr恒成立，2已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。分析：利用导数将“函数在区间（-1，1）上是增函数”的问题转化为“在（-1，1）上恒成立”的问题，即转化成为“二次函数在区间（-1，1）上恒成立” ，利用分离系数法将t分离出来，通过讨论最值来解出t的

6、取值范围。【解析】依定义。则，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。·ox·1·-1y·g(x)在（-1，1）上恒成立。考虑函数，（如图4）由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，图4故要使在（-1，1）上恒成立，即。而当时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数。故t的取值范围是.数学思想方法是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识在解决含参数不等式的恒成立的数学问题中要进行一系列等价转化因此，更要重视转化的数学思想(5)、能成立问题(部分成立)（存在性问题）若在区间上存在实数使不等式f(x)>a

7、成立,即f(x)>a在区间上能成立, f(x) > a；若在区间上存在实数使不等式f(x)<a成立, 即f(x)<a在区间上能成立, f(x) < a 。例1已知两个函数，其中为实数.(1)若对任意的，都有成立，求的取值范围；(2)若对任意的，都有，求的取值范围.(3)若对于任意,总存在使得成立，求的取值范围.【分析及解】 (1) 令,问题转化为 在 上恒成立,即即可, 由, 得 或 . , 由, 解得 . (2)由题意可知当时,都有. 由 得., , . 由得, , , ,.则, 解得. (3) 若对于任意,总存在使得成立，等价于的值域是的值域的子集，由(2)可

8、知， 在的值域为，在的值域为，于是，即满足 解得。例2设函数，且在处取得极值。（1）求实数的值（2）若存在使不等式能成立，求实数m的最小值；【分析及解】：（1）， （2）依题意得, 由（i）知，.（6）、利用图形解不等式：借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。例1解不等式。题意即是在数轴上找出到与的距离之和不大于到点的距离的

9、所有流动点。首先在数轴上找到点，（如图）。 -1 0 1 2 3从图上判断，在与之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到与的距离和正好是1，而到的距离是。现在让流动点由点向左移动，这样它到点的距离变，而到点与的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于与之间的某一个点。由可得再让流动点由点向右移动，虽然这种点到与的距离的和及到的距离和都在增加，但两相比较，到与的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点而止。由可得从而不等式的解为例2画出不等式的图形，并指出其解的范围。先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于： ，.其图形是由第一象限中直线下

10、方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点o为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。（7）含有参数不等式的解法例1、解关于x的不等式 解：原不等式等价于 即： 若a>1 ，若0<a<1 。例2、解关于x的不等式 解：原不等式可化为即：s当m>1时 当m=1时 xÎ当0<m<1时 当m0时 x<0（8）、反证法：但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以

11、间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。例1、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则 （1）

12、另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于 证：设(1 - a)b >, (1 - b)c &g

13、t;, (1 - c)a >,则三式相乘：ab < (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a < 又0 < a, b, c < 1 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 与矛盾原式成立（9）、不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。例1、若是自然数，求证证明：

14、= =注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例2、求证：证明：由（是大于2的自然数）得（10）柯西不等式定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则， 其中等号当且仅当时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点o为起点的两个非零向量，它们的终点分别为a（），b（），那么它们的数量积为，而，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理3：（三角形不等式）设

15、为任意实数，则：分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数：由于对任意实数，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。如果（）全为0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设 ，等号成立当且仅当变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，n），则：，等号成立当且仅当。（11）排序不等式排序不等式的一般情形一般地，设有两组实数：，与，且它们满足：，若，是，的任意

16、一个排列，则和数在，与，同序时最大，反序时最小，即：，等号当且仅当或时成立。分析：用逐步调整法例1、已知为正数，求证：。例2、设，为正数，求证：。（12）数学归纳法数学归纳法:是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在nk时命题成立，再证明nk1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k1步的推证，要有目标意识。例1、证明：。例2、设，证明贝努利不等式：。二、 方法提升：三、 反思感悟： 四、 课时作业：1、利用不等式的图形解不等式： ; 2、解下列不等式：（1） （2） 13解不等式： （1） 4解不等式： （1） 5利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式<有解，要满足什么条件？6.解关于x的不等式 解：原不等式等价于 当即时 当即时 x¹-6当即时 xÎr。7、若a, b, c, dÎ