平面向量的数量积(44)课件

1、2.4.1 平面向量的数量积平面向量的数量积向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，作，作 ， ，abOAa OBb 则则AOB= AOB= (0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角. .ababOabAB当当= 0时，时， 与与 同向；同向；ab当当= 180时，时， 与与 反向；反向；ab当当= 90时，时， 与与 垂直，记作垂直，记作 。ababababab问题问题 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，那么力，那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量，

2、 是是F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量. | s|F|W cosFScosF平面向量的平面向量的数量积数量积： 已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 ，即规定，即规定 |cosa bababa b |cosa ba b 其中其中是是 与与 的夹角，的夹角， 叫做向量叫做向量 在在 方向上（方向上（ 在在 方向上）的方向上）的投影投影. .并且规定，零向量与任一向量并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即的数量积为零，即 。ab|cos (|cos )bababa00a BB1OAab1| |

3、cosOBb 数量积的几何意义：数量积的几何意义： 数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的的方向上的投影投影 的乘积。的乘积。a b a|aba|cosbBB1OAab思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正， 什么时候为负呢？什么时候为负呢？由向量数量积的定义，试完成下面问题：由向量数量积的定义，试完成下面问题：_._.(3)| _ |.()aba ba baba baba aa ba b ； 反； 若与 同向, 若与 同向, 若与向, 若与向, 填或填或(1)(1)(2)(2)注：常记注：常记 为为 。a a

4、2a|aa a 0|a b|a b2|a22( )|aa 证明向量证明向量垂直的依据垂直的依据例例1.已知已知 ， 的夹角的夹角=120=120， 求求 。| 5,| 4abab 与与a b 解：解：|cos5 4 cos12015 4 ()210= a ba b ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)数量积的运算规律：数量积的运算规律：12 1A1BABOabCc2B1| |cos|cosOBOBab 11| |cosOAa1122| | |cosABABb 如图可知：如图可知：111112| |cos|cos|cosOBOA

5、ABabab 12() |cos|cos|cos cabcabcac bc ac b ()abca cb c ()abca cb c ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)思考：等式思考：等式 是否成立？是否成立？()()a b ca b c 数量积的运算规律：数量积的运算规律：不成立不成立对任意对任意 ，恒有，恒有, a bR22222()2()().abaabbab abab对任意向量对任意向量 也有下面类似的结论？也有下面类似的结论？, ,a b 22222()2;()().abaa bbab abab (1)(1)(2)

6、(2)33223(3)()( )3( )3( )( )abaaba bb 练习练习判断下列各题是否正确(1)若a=0,则对任意向量b,有ab=0-(2)若a0,则对任意非零向量b,有ab0-(3)若a0,且ab=0,则b=0 -(4)若ab=0,则a=0或b=0 -(5)对任意向量a有a2=a2 -(6)若a0且ab=ac,则b=c -()( )( )( )( )( )思考：用向量方法证明：直径所对的圆思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。周角为直角。ABCO分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B

7、设设 则则 ，由此可得：由此可得：, ,A AO Oa a O OC Cb b , ,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A AC CC CB Ba ab ba ab b 2 22 22 22 2| | | | |a ab ba ab b 22220 0rrrr即即 ，ACB=900CBAC向量的数量积与向量数乘及实数积的区别向量的数量积与向量数乘及实数积的区别1.两个向量的数量积是一个实数不是一个向量，两个向量的数量积是一个实数不是一个向量， 符号由符号由cos决定。决定。2.两个向量的数量积是一个内积，写成两个向量的数量积是一个内积，写成a b 与代数中的两个与代数中的两个 的乘积的乘积 (或或 )不同不同aba b , a b3.在实数中在实数中,若若 且且 ,则有则有0a 0a b 0b 但在数量积中但在数量积中,若若 且且 , 不能得出不能得出0a 0a b 0b 其中其中 有可能为有可能为0cos4.已知实数已知实数 , 则则, , (0)a b c b abbcac但但 不能得出不能得出a bb c acOAabc如图如图|cos| |a ba bOAb |cos| |b cc bOAb a bb