《材料力学》第9章压杆稳定习题解

1、第九章压杆稳定习题解习题9-1在§ 9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式二2EIPerl2。试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图 是否相同。a情况下的相同，由此所得Fcr公式又心)(b)(C)d)解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。1#因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是Elw"二-M(x)°( c)、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程:Elw" =M(x)，显

2、然，这微分方程与(a)的微分方程不同。临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即:二 2eiPcr - l 2#习题9-2图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 所示杆在中间支承处不能转动）？ESI解：压杆能承受的临界压力为:Per二 EI而由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,2它们能承受的压力与原压相的相当长度的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长 度系数。（a）.L| =1 5 =5m（b）屮=0.7 7 =4.9m（e）屮=0.5 9 =4.5m（d）屮=22

3、=4m（e）Jl =1 8 =8m（f）T =0.7 5 =3.5m （下段）； T = 0.5 5 =2.5m （上段）故图e所示杆Fcr最小，图f所示杆Fcr最大。兀2 EI Pmincr 2（2.1）2习题9-3图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为?为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。#I的压杆是否偏于安全?螺旋千斤顶（图C）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时, 把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为3#解：临界力与压杆两端的支承情况有关。

4、因为的下支座不同于（b）的下支座，所以它们的临界力计算公式不同。（b）为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素-2，其临界力为：门 2EI minPCrmF。但是，（a）为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素（2.I），因此，不能用巳二2min来计算临界力。EI(2.I)2#为了考察（a）情况下的临界力,我们不妨设下支座（B）的转动刚度CM EI20 -， Wl且无侧向位移，则:Elw" =-M (x) = Fcr(、. - w)4#w = Asin kx B coskx 、 w'二 Ak coskx _ Bk sin kx令电二k2，得:El微分方程的通解为:w k2

5、w 二 k2、#由边界条件：x=0，w=0, w'二=M= Fcr' ； x = 1，w=-CC解得：F dF dAcr ， B - -，cr sinkl -、coskl 丄心CkCkC整理后得到稳定方程：kl tan kl20EI /l用试算法得：kl =1.496故得到压杆的临界力:=(1.496)2 早二 2EI2(2.1l)2因此，长度因素 可以大于2。这与弹性支座的转动刚度 C有关，C越小，则值越大。 当C > 0时，：。螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相 对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对

6、滑动，此时，不能 看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以 看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的 弹性支座较合适。这种情况， 2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为I的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度C = M二20旦，®lP 严2 12则： 上端二盲 =1.1025，Pc個端=1.1025Pcr弹簧。因此，校核丝杆稳定性时，把它巳弹簧2看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为I的压杆不是偏于安全， 而是偏于危险。习题9-4试推导两端固定、弯曲刚度为E

7、I，长度为I的等截面中心受压直杆的临界应力Pcr的欧拉公式。解:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反 力为Pw，水平反力为0,约束反力偶矩两端相等，用 Me表示,下标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象， 则M e的 转向为逆转。M（X）= PC（X）-MeElv"二-M (x)二 Me - Pcrv(x)生v(x)二坐ElElElk2Elk2v = k2MePcr上述微分方程的通解为:v = Asin kx B coskxMePer.(a)v 二 Ak cos kx - Bk sin kx边界条件： x=0; v=0 :0=AsinO BcosO 匹；B 二-

8、匹PerPer x=0 v' =0 : 0 = AkcosO-Bksin0； A = 0。把A、B的值代入(a)得：M e' M ev -(1-coskx) v - k sin kxPerPer边界条件： x=L ； v=0: 0 =(1coskL) , 1coskL 二 0巳 x=0 v'=0 : 0 = k sin kL sin kL = 0Per以上两式均要求：kL=2n二，(n=0,1,3,)Elv"PcrV(X)=Me其最小解是:2 ：kL = 2二，或k。故有:L宀爲皤，因此二 2EI2(0.5L)2习题9-5长5m的10号工字钢，在温度为00C时

9、安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数 二=125 10 J（0C） J，E=210GPa。试问当温度升高至多少 度时，杆将丧失稳定性？4rr2x33xl0解:二-亠%肿 125xl0-7xU3xl0-4x5a= 29 2C习题9-6两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。 试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力Pcr的算式。解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况:（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：BE "

10、; (O F)? - o 125厂 _ 护(b )两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳H二 2失稳时整体在面内弯曲，则 1，2两杆组成一组合截面。n2El _n2 Ed2(2Z)2 " 128/2(沪+4/)(c )两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳故面外失稳时pcr最小:尸128?二3 Ed 4Pcr = 128I2习题9-7图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成， 在B点铰支，而在A点和C点固定，D为铰接点，-=10二。若结构由于杆件在平面 ABCD内弹性失稳而丧失承载能d力，试确定作用于结点 D处的荷载F的临界值。解：杆DB为两端铰

11、支. ，杆DAM DC为一端铰 支一端固定，选取；"=。此结构为超静定结构， 当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆 AD及 DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力，故ElTL2 SI 1.53S/7E2= 5.7WxlO-*El 2x1 53£/7Ta 羽 3.65 J? £2 7+? XT=去.024习题9-8图示铰接杆系 ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆 件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的二角（假设0 ：二：一）。2解：要使设计合理，必使 AB杆与BC杆同时失稳,即:Pcr, AB二 2 EllAB2二 F cos

12、Pcr, BC2EIIbc2F sin JF cos-=（应）2 二 cot2 1 l BCv - arctan（cot2 ：）习题9-9下端固定、上端铰支、长 I =4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所 示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为 Q235钢,强度许用应力二=170MPa，试求压杆的许可荷载。解：查型钢表得：L = 2x198.3x10 = 396.6 xlOm*aly = 2x（25.6xl0'e+12.74xl0x32J83 x 沪）=325-3x1 严 m4./325.3x10 - = 184xl0_,m-0i-0.7x41

13、.84xli：r2= 152,0.301M 二冰r二 0.301x170= 5L2MPaF = j4ct4 - 2x12.74x10x51.2xlOc = 130xN = 130kN习题9-10如果杆分别由下列材料制成：(1 )比例极限 "=220MPa，弹性模量E =190GPa的钢；(2)二P =490MPa , E =215GPa，含镍 3.5%的镍钢;(3)匚 P =20MPa，E=11GPa 的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解：（1）(2)(3)P_MxlSOxld®V °pJ 'q 220 X10*5tn;ax215xlOs

14、V 490x12'EL员X11X13 _= 92365. SxlOe73.79#习题9-11两端铰支、强度等级为 TC13的木柱，截面为150mm< 150mm的正方形，长度 I -3.5m，强度许用应力二-10MPa。试求木柱的许可荷载。解:= 80.8 <91玄_ 曲 _1x3.5'7- 43.3X10-3由公式（9-12a ）= 0 3935' = jJ4= 0.393xlOxl05xl502 xlO=88,4xl03N = 88.4kN习题9-12图示结构由钢曲杆 AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连 接均为铰连接，在 B点处承受

15、竖直荷载 F =1.3kN，木材的强度许用应力； =10MPa。 试校核BC杆的稳定性。解：把BC杆切断，代之以轴力 N,则MA=01.3 1NcosC 1 Nsi nC 1=01.3sin C cosCsin C22 1.52二 0.811#1.5cosC0.6J22 +1.521.30.8 0.6= 0.929(kN)bh31 40 403 = 213333(mm4)1212i =21333340 40= 11.547( mm)71 2.5 103216.591i 11.547由公式（9 12b）得:28002216.5= 0.0597刁st = ； =0.0597 10 =0.597MP

16、aN 929 N2 二 0.581MPa A 40 40mm因为二”：二st，所以压杆BC稳定。#习题9-13 支柱由4根80mm 80mm 6mm的角钢组成（如图）， 并符合钢结构设计 规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长I =6m，压力为450kN 。若材料为Q235钢，强度许用应力二170MPa，试求支柱横截面边长 a的尺寸。解：cr= = = 119.7xlOc Pa = 119.7MP& 4 咼 4x9.397x10(查表：凡=9?97x10,厶二 573FX10"8 m4)=级b诃二 二二= o 704一厂- "，查表得： = 7

17、7.5心理二史二0 0刀4mA 77.5/ = 4仏+如孑21.9）如1屮fl竺A2(21 9 + -57.35)x10x10° 莎莎沪)=191 mm习题9-14某桁架的受压弦杆长 4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，二=170MPa。若按两ii端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。2-L125X125X10解：由型钢表查得 125x125x10 角钢:2 - L 135 X 125 X 10iiii/= 24.37 xlO4m3ii= 4.85xW2m得一?4.85xW2查表：(p 0.67213#故-.

18、 J'1.'-I- _4_.： i4习题9-15图示结构中，BC为圆截面杆，其直径 d = 80mm; AC边长a = 70mm的正方 形截面杆。已知该结构的约束情况为 A端固定，B C为球形铰。两杆的材料均为 Q235钢， 弹性模量E=210GPa，可各自独立发生弯曲互不影响。 若结构的稳定安全系数 nst=2.5.试求所能承受的许可压力。解：BC段为两端铰支， -1d41I d - 3.14 804 =2009600(mm4)6464P二2EI3.142 210 103N/mm2 2009600mm4八 I2 一20002mm2= 1040227N =1040.227kNF

19、bcPernst1040.2272.5= 416(kN): /IAB杆为一端固定，一端铰支，J = 0.7a41214470 -2000833(mm4) 12Per=2EI3.142 210 103N/mm2 2000833mm42 1 002mm2= 939400.621N =939.4kNP 939 4Fac =-eL 二9394 =375.76 :- 376(kN)nst 2.5故F =376kN习题9-16图示一简单托架，其撑杆 AB为圆截面木杆，强度等级为 TC15o若架上受集度 为的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许用应力 卜丨 二 试求撑杆所需的直径 do5 -sin

20、30*24 空芟2解：取m 一 m以上部分为分离体，由，有心= 214kN=0.683, jJ = 0.683xa=7.513MP214x1O3=7513x1O<5一二m I lNmO2S半泸轧临求出的二与所设基本相符，故撑杆直径选用匚丄m。14#强度安全习题9-17图示结构中杆 AC与CD匀由Q235钢制成，C, D两处均为球铰。已知一：_ 1 mm 肚 100mm 处 180mm &二200GPq = 23jMPS二400Mh； 因数1，稳定安全因数：匚1。试确定该结构的许可荷载。解：（1）杆CD受压力Fcd梁BC中最大弯矩Mb2F#(2)梁BC中_M£ _ 2Fx

21、6 _ 一_ 3其詣*=95175 N=95.2kN_ 235xl06xl00xl802xl0-p4x2.0(3)杆 CDlxl=200 >(Q235钢的 P =100)_ El 兀辽 几h3x200x105x204 x10-d3"x6464x115#=i二（由梁力矩平衡得）故，由（2）、（ 3）可知，F =15.5kN习题9-18图示结构中，钢梁 AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根63mm 63mm 5mm角钢组成，杆 CD符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度 q=48kN/m。梁及柱的材料均为 Q235钢，匚170MPa，E =210GPa。试验算梁和立柱是否安全。解：（1）求多余约束力Fcd把CD干去掉，代之以约束反力Fcd。由变形协调条件可知，Wc = :l CD5ql ABF l3厂 CDlABFcd1 cd384EI48EIEA5ql ABF l3厂 CDlABF CD1CD384I48IAWcqWcFcdCD查型钢表得：16号工字钢的lz=1130cm4，Wz=141cm363mm 63mm 5mmL形角钢的面积：A = 6.143cm2 , I23.17cm4 , i 1.94cm44335 48kN/100cm 400 cm Fcd 400 cmFcd 200cm4_=2