简单线性回归模型

1、n 经济变量之间的关系，大体可分为两类：经济变量之间的关系，大体可分为两类：例例2.1 假如有一个乡村由假如有一个乡村由20户人家构成的总体，我们研户人家构成的总体，我们研究每月家庭的平均消费支出究每月家庭的平均消费支出 y 与平均可支配收入与平均可支配收入 x 之之间的关系，统计数据如下：间的关系，统计数据如下：每月家庭平均可支配收入每月家庭平均可支配收入 x（单位：元）（单位：元）经济变量之间的相关关系可用经济变量之间的相关关系可用散点图散点图描述。描述。50075010001250150017502000250250500750100012501500yx0yyyxxx不完全相关不完全相

2、关完全相关完全相关不相关不相关yyxx负相关负相关正相关正相关yyxx非线性相关非线性相关线性相关线性相关总体相关系数总体相关系数： niniiiniiiyxyyxxyyxxr11221,)()()(样本相关系数样本相关系数：)()(),(yvarxvaryxcov 相关分析相关分析主要是用相关系数去描述变量间相主要是用相关系数去描述变量间相互依存的性质和程度，但不能说明变量间相互依存的性质和程度，但不能说明变量间相互关系的具体形式，从而不能从一个变量的互关系的具体形式，从而不能从一个变量的变化去推测另一个变量的变化，要做到这一变化去推测另一个变量的变化，要做到这一点，还需要进行点，还需要进行

3、回归分析回归分析。 表2 每月家庭收入支出表（元） 每月家庭消费支出800550600650700750-1000650700740800850880-1200790840900940980-140080093095010301080113011501600102010701100116011801250-1800110011501200130013501400-200012001360140014401450-220013501370140015201570160016202400137014501550165017501890-2600150015201750178018001850191

4、0yxx(收入收入)y80010001200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600100015002000( (消费）消费） 表2 与表2对应的条件概率 y的条件概率均值8001/51/51/51/51/5-65010001/61/61/61/61/61/6-77012001/51/51/51/51/5-89014001/71/71/71/71/71/71/7101016001/61/61/61/61/61/6-113018001/61/61/61/61/61/6-125020001/51/51/51/51/5-137022001/71/71/71/71/71/

5、71/7149024001/61/61/61/61/61/6-161026001/71/71/71/71/71/71/71730 x(收入收入)y80010001200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600100015002000( (消费）消费）)()(iixfxye 该函数称为该函数称为总体回归函数总体回归函数 (population regression function，prf)，它描述了，它描述了平均平均消费支出消费支出（总体均值）（总体均值）与与收入收入之间的之间的关系关系。对对x的每一个值的每一个值xi ，都有，都有y的条件均值与之对的条件均值与之

6、对应，即应，即x(收入收入)y80010001200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600100015002000总体回归函总体回归函数（数（prf）( (消费）消费）)(iiixyeyu iiiuxyey )(或或why does the stochastic error term exist 700800650100090012009501400110016001150180012002000140022001550240015002600表表4 表表2总体的另一个随机样本总体的另一个随机样本550800880100090012008001400118016

7、001200180014502000135022001450240017502600 x(收入收入)y（支出）（支出）图图4 根据两个不同样本的回归线根据两个不同样本的回归线800 1000 120014001600 18002000 22002400 2600500100015002000第一个样本回第一个样本回归线归线第一个样本（表第一个样本（表3）第二个样本（表第二个样本（表4）第二个样本回第二个样本回归线归线iiiyye iiieyy 或或yxprfsrf0uieiyiiyiiiuxy21由于随机项由于随机项u的存在，使得模型中的参的存在，使得模型中的参数数 1 1和和 2 2的数值不

8、能严格算出，只能进的数值不能严格算出，只能进行估计。行估计。在计量经济学中，能否成功地估计出这在计量经济学中，能否成功地估计出这些参数值，取决于随机项些参数值，取决于随机项u 和自变量和自变量x的性质。的性质。),.,2 , 1(0)(niuei22)()(iiiuexuvar)(0),(jiuucovji),.,2 , 1()(21nixxyeiii2)(iixyvar)(0),(jiyycovji ),.,2 , 1(), 0(2ninui), 2 , 1(0),(nixucovii),.,2 , 1(),(211nixnyiixy1x1e2x2e3e3x4x4eiixy21 。最小最小2

9、2)( iiiyyeiiiyye )(21iixy 最小最小221)( iixy 221)( iixyq 令令01 q02 q0)(221 iixy 0)(221 iiixxy 2221)(iiiiiiixxnyxxyx 222)(iiiiiixxnyxyxn iixy21 22iiixyx xy21 xxxii yyyii 记记则则称为称为xi的的离差离差称为称为yi的的离差离差xy21 xy21 iiiexy 21 iiieyy yyiiyy iixy21 iiieyyyy 0)(221 iixy 0)( iiyy0 neei0)(21 iixy 0 ie0 ie0 neei)()(),(

10、iiiiiieeeyeyeeycov )(iieyye )(iiieyeye )(iieye )(21iiexe )(2iiexe 0)(212 iiixyxe 0),( iieycov)()(),(iiiiiieeexexeexcov )(iiexxe )()(iiieexexe 0)( iiexe0),( iiexcov iiuk22 222)()( iiueke)()()()(221 exyexyee 1221)( xx11)( e22)( e22)(ixse 221)(iixnxse iiykxn)1(1 iiyk 2 iiieyy )()(iiiiyyyyyy 2)( yyi2)()

11、( iiiyyyy2)( iieyy 22(2(iiiieeyyyy） 22)(iiiyyyy） 222(iiiieeyyy） tss=rss+ess且三个平方和的自由度有如下关系且三个平方和的自由度有如下关系:dft = dfr +dfe在一元回归问题中在一元回归问题中: dft = n-1, dfr = 1, dfe = n-2。2)( yytssi2()irssyy 2()iiessyy 关于自由度2.对应于平方和分解的自由度的分解2()itssyy dft=n-122irssx dfr=1 dfe= dft dfr=n-1-1=n-20iyny 约束方程为约束方程为只有一个解释变量只有

12、一个解释变量 222()()iiyyrssrtssyy 或tssessr 12iiiexy 21 iixy21 22rr xy21 iixy2 xy21 iiiexy 2 iixy2 iiiexy 2 iiiiixeyxx)()(222 22222)(iiixyyyrss iiiiiiyxxexy 222 222)()(yyyytssrssrii 222222)(ryxyxyyxiiiiiii ), 0(2 nui ),(221 iixny 21, ),(2211 iixnxn ),(2222 ixn ) 1 , 0()(22111111nxnxsezii ) 1 , 0()(22222222

13、nxsezi 222 nei 2 ) 2()(22111111 ntxnxestii ) 2()(22222222 ntxesti ,22 1)(222p,22 ,2 2 1)(022220zxzpi)1 ,0()(2222222nxsezi ,202202iixzxz )2(22 nei )1 ,0(2222nxzi ,202202iixzxz ,202202iixtxt 1)(022220txtpi)2(2222 ntxzi )2(22 nei *220: h *221: h0:20 h220: h221: h0:21 h220: h0zz )1 , 0()(2222222nxeszi 0

14、zz 220: h220: h0tt )2()(2222222 ntxesti 0tt 220: h*220: hiixy5300. 0352 (76.5826) (0.0216)t =(4.5963) (24.5902)r2 =0.9869df =8ffxy21 fyiiixxye21)( ,fffeyy fyffxy21 21, fyfyfyfffxeexeye)()()()(2121 )(21fffxyex )()(),(222221121xeecov 222222)()(ixxvarxex xy21 xy21 x)(2211 22)()()(ffffffxyeyeyeyeyvar 22211)()(fxe )()(2)(22222211211 exexeff)(),(2)(22211 varxcovxvarff 222222222)1(ififixxxxxxxn )(1222ifxxxn 22)(1)(iffxxxnyse 222 nei )2()(1)()()(22 ntxxxnxyeyyesyeytifffffff )(1,)(1220220iffiffxxxntyxxxnty fyfffeyy 2)()()()(ffffffiyyeyyeyyvarevar )(),(2)(ffffyvaryycovyvar )(102222ifxxxn )(112