高中数学 第一章 导数及其应用学业质量标准检测 新人教A版选修22

1、第一章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1dx等于(b)a2ln2b2ln2cln2 dln2解析因为(2lnx)，所以 dx2lnx|2ln42ln22ln22曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为(b)ay3x4 by3x2cy4x3 dy4x5解析点(1，1)在曲线上，y3x26x，y|x13，即切线斜率为3利用点斜式得，切线方程为y13(x1)，即y3x2故选b3(2018·全国卷文，6)设函数f(x)x3(a1)x2ax若f(x)为奇函数，则曲线yf(x

2、)在点(0,0)处的切线方程为(d)ay2x byxcy2x dyx解析 f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa又f(x)为奇函数， f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立， a1， f(x)3x21， f(0)1， 曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx故选d4(2018·青岛高二检测)下列函数中，x0是其极值点的函数是(b)af(x)x3 bf(x)cosxcf(x)sinxx df(x)解析对于a，f (x)3x20恒成立，在r上单调递减，没有极值点；对于b，f (x)sinx，当x(，0)时，f (x)<0

3、，当x(0，)时，f (x)>0，故f(x)cosx在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于c，f (x)cosx10恒成立，在r上单调递减，没有极值点；对于d，f(x)在x0没有定义，所以x0不可能成为极值点，综上可知，答案选b5已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a(d)a2b3c4d5解析f (x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f (x)0的实数根，a56(2017·浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是(d)解析观察导函数f(x)的图象可

4、知，f(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除a，c如图所示，f(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项d确，故选d7若a>0，b>0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于(d)a2b3c6d9解析f (x)12x22ax2b，又因为在x1处有极值，ab6，a>0，b>0，ab()29，当且仅当ab3时取等号，所以ab的最大值等于9故选d8函数f(x)ax3ax22ax1的图

5、象经过四个象限，则实数a的取值范围是(d)a<a< b<a<c<a< da<或a>解析f (x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)<0，即(a1)(a1)<0，解得a<或a>故选d9(2018·沈阳一模)设函数f(x)xex1，则(d)ax1为f(x)的极大值点bx1为f(x)的极小值点cx1为f(x)的极大值点dx1为f(x)的极小值点解析由于f(x)xex，可得f(x)(x1)ex，令f(x)(x1)ex0可得x1，令f(x)(x1)ex0可得x1，即函数

6、在(1，)上是增函数令f(x)(x1)ex0可得x1，即函数在(，1)上是减函数所以x1为f(x)的极小值点故选d10(2017·全国卷理，11)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值是(a)a1 b2e3 c5e3 d1解析函数f(x)(x2ax1)ex1则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)·ex1ex1·x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点得f(2)e3·(42a4a1)(a1)e30，所以a1所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1·(x2x2)由ex1>0恒成立，得x2或x1时，f

7、(x)0，且x<2时，f(x)>0；2<x<1时，f(x)<0；x>1时，f(x)>0所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1故选a11已知函数f(x)xlnx，g(x)x3x25，若对任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)2成立，则a的取值范围是(b)a(0，) b1，)c(，0) d(，1解析由于g(x)x3x25g(x)3x22xx(3x2)，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，g5，g(2)8451由于对x1，x2，f(x1)g(x2)2恒成立，f(x)g(x)2max，即x时，f(x)1恒成立，即xlnx1

8、，在上恒成立，axx2lnx在上恒成立，令h(x)xx2lnx，则h(x)12xlnxx，而h(x)32lnx，x时，h(x)<0，所以h(x)12xlnxx在单调递减，由于h(1)0，x时，h(x)>0，x1,2时，h(x)<0，所以h(x)h(1)1，a112(2017·全国卷理，11)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a(c)a b c d1解析方法1：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有

9、唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a故选c方法2：f(x)0a(ex1ex1)x22xex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a>0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a若a0，则f(x)的零点不唯一故选c二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13(2017·南开区二模)已知f(x)x(2016lnx)，f(x0)2017，则x01_解析f(x)2016lnx12017lnx又f(x0)2017，f(x0)

10、2017lnx02017，则lnx00，x0114(2018·海淀区校级期末)已知函数f(x)x22lnx，则f(x)的最小值为1解析函数的定义域(0，)f(x)2x2·令f(x)0x1; f(x)00x1所以函数在(0,1单调递减，在1，)单调递增所以函数在x1时取得最小值，f(x)minf(1)1故答案为115如图阴影部分是由曲线y、y2x与直线x2、y0围成，则其面积为ln2解析由，得交点a(1,1)由得交点b故所求面积sdxdxxlnxln216(2018·玉溪模拟)已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图所

11、示，给出关于f(x)的下列命题：x10245f(x)12021函数yf(x)在x2取到极小值；函数f(x)在0,1是减函数，在1,2是增函数；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最小值为0其中所有正确命题是(写出正确命题的序号)解析由图象可知当1x0,2x4时，f(x)0，此时函数单调递增，当0x2,4x5时，f(x)0，此时函数单调递减，所以当x0或x4时，函数取得极大值，当x2时，函数取得极小值所以正确函数在0,2上单调递减，所以错误因为x0或x4时，函数取得极大值，当x2时，函数取得极小值所以f(0)2，f(4)2，f(2)0，因为f(

12、1)f(5)1，所以由函数图象可知当1a2时，函数yf(x)a有4个零点；正确因为函数在1,0上单调递增，且函数的最大值为2，所以要使当x1，t时，f(x)的最大值是2，则t0即可，所以t的最小值为0，所以正确故答案为三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(2018·赣州二模)设函数f(x)(x1)2alnx有两个极值点x1，x2，且x1x2求实数a的取值范围解析(1)因为f(x)(x1)2alnx，f(x)2(x1)，(x>0)即f(x)，令g(x)2x22xa，(x0)则(x1x2)是方程2x22xa0的两个正

13、实根则，得0<a<18(本题满分12分)设函数f(x)lnxln(2x)ax(a>0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上 的最大值为，求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f (x)a，(1)当a1时，f (x)，当x(0，)时，f (x)>0，当x(，2)时，f (x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；(2)当x(0,1时，f (x)a>0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a19(本题满分12分)在曲线yx2(x0)上某一点a处作一切线

14、，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求切点a的坐标及过切点a的切线方程解析如图所示，设切点a(x0，y0)，过切点a的切线与x轴的交点为c由y2x知a点处的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx令y0，得x，即c(，0)设由曲线yx2(x0)与过a点的切线及x轴所围成图形的面积为s，则ss曲边aobsabcs曲边aobx00x2dxx3|x00x，sabcbc·ab(x0)·xx，sxxx，x01，切点a的坐标为(1,1)，即过切点a的切线方程为2xy1020(本题满分12分)(2018·和平区三模)设函数f(x)lnx ax2bx(1)当ab时，

15、求函数f(x)的最大值；(2)令f(x)f(x)x2bx(0x3)，若其图象上的任意点p(x0，y0)处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围解析(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，)，当ab时，f(x)lnxx2x，f(x)x令f(x)0，解得x1(x0)因为g(x)0有唯一解，所以g(x2)0，当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减所以f(x)的极大值为f(1)，此即为最大值(2)f(x)lnx，x(0,3，则有kf(x0)，在x0(0,3上恒成立，所以a(xx0)max，x0(0,3，当x01时，xx0取得最大值，所以a21(本题满分

16、12分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率p与日产量x(万件)之间大体满足关系：p(其中c为小于6的正常数)(注：次品率次品数/生产量，如p01表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额t(万元)表示为日产量x(万件)的函数(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？解析(1)当x>c时，p，所以tx·2x·10当1xc时，p，所以t(1)·x·2

17、()·x·1综上，日盈利额t(万元)与日产量x(万件)的函数关系为：t(2)由(1)知，当x>c时，每天的盈利额为0，当1xc时，t，令t0，解得x3或x9因为1<x<c，c<6，所以()当3c<6时，tmax3，此时x3()当1c<3时，由t知函数t在1,3上递增，所以tmax，此时xc综上，若3c<6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若1c<3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润22(本题满分14分)(2018·全国卷理，21)已知函数f(x)xaln x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：<a2解析(1)解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)1若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递减若a2，令f(x)0，得x或x当x时，f(x)0；当x时，f(x)0所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增(2)证明：由(1)知，f(x)