第3章-平衡问题-2(4学时)

1、第3章 平衡问题(2)第3章 平衡问题平衡方程（重点：平面力系）空间力系：一般力系、汇交力系、力偶系、平行力系；平面平面力系力系：一般力系、汇交力系、力偶系、平行力系。刚体系统平衡问题刚体系统平衡问题的求解方法。平面简单桁架的内力计算杆系结构、平面桁架；求内力的节点法、截面法；判断杆件内力是否为零的定性分析方法定性分析方法。摩擦现象与平衡问题摩擦角、摩擦锥、自锁；考虑摩擦力的平衡问题考虑摩擦力的平衡问题的求解方法。2ppt/563平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算由多根杆件通过一定的联结方式组成的、具有承载能力的系统称为杆系结构杆系结构，是工程中一类常见结构。如果忽略杆系结构中各杆的

2、自重，将杆件之间的联结方式简化为光滑圆柱铰链，与基础的连接为固定铰链支座或活动铰链支座，各杆件都是直杆，系统只在联结点（称为节点节点）受力（这些力称为节点载荷节点载荷），则得到桁桁架结构架结构。桁架是杆系结构的一种经过简化的研究模型。如果桁架结构中各杆以及节点载荷位于同一平面内，则得到平面平面桁架桁架。对于实际的桁架结构，如果存在对称平面（载荷对称、结构对称），则可简化为平面桁架计算。ppt/564桁架实例桁架实例ppt/565总杆数 m总节点数 n 332 nm平面简单桁架的联结方式平面简单桁架的联结方式ppt/56632 nm平面复杂（超静定）桁架32 nm平面简单（静定）桁架32 nm非

3、桁架（机构）ppt/567平面桁架实例平面桁架实例ppt/568ppt/56关于平面桁架的几点假设关于平面桁架的几点假设各杆件均为直杆，杆轴线位于同一平面内；同一平面内；杆件与杆件间均用光滑铰链连接用光滑铰链连接；载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；各杆件自重不计杆件自重不计或等效分布在节点上。在上述假设下，桁架中的各各杆件均为二力杆。杆件均为二力杆。平面桁架杆件内力分析计算方法包括：定量计算方法定量计算方法： 1.节点法节点法；2.截面法截面法定性分析方法定性分析方法：直接判断杆件内力为零或取给定值的方法。9ppt/56桁架中各杆件均为二力杆二力杆，杆件两端的外力大小相等、方向相反、沿杆

4、件的轴线方向，这样的外力称为轴向外力轴向外力。在轴向外力作用下，杆件横截面上的内力合力内力合力N也沿轴向，简称为轴力轴力，其大小等于加在杆件两端的外力。轴向外力有两种：拉力和压力，工程上规定工程上规定：与拉力对应的轴力为正，与压力对应的轴力为负。杆件横截面上的内力及其正、负号杆件横截面上的内力及其正、负号21FF2F11N1FN2F10ppt/56节点法节点法：取桁架节点为研究对象，根据节点的平衡、作用反作用原理求杆件的内力，参见下图。截面法截面法：假想地将桁架一部分杆件截断，从而结构被分为两部分，取其一部分为研究对象，利用外力与内力的平衡求已被截断杆件的内力，如图所示。无论用节点法或截面法求

5、桁架杆件的内力，通常或必要的时候，应结合整体分析，根据整体平衡整体平衡求约束反力。节点法或截面法是整体和局部分析相结合的典范。有时，也可以将节点法或截面法联合应用联合应用。节点法节点法与截面法截面法AAF1F2FAC4F1PEAF5F6F2PABCD456yx1PFEG12311ppt/56如果需要计算平面桁架中全部杆件全部杆件的内力，应采用节点法节点法求解。由于平面桁架节点的受力为平面汇交力系，最多可以写两个独立平衡方程，因此，采用节点法求解时，在每次取出的节点上最多只能包含两个未知力两个未知力。如果需要计算平面桁架中指定杆件指定杆件的内力，应采用截面法截面法求解。由于平面力系最多可以写三个

6、独立平衡方程，因此，采用截面法求解，通常只能截断三根杆件三根杆件。关于节点法关于节点法与截面法的几点说明截面法的几点说明12ppt/56例例 已知 P=10kN ，求桁架各杆件内力。解：（1）取整体，画受力图；求约束反力：（2）取节点A，画受力图；130:0BxixFFkN5:0ByiyFFkN5:0AyBFM030sin:001FFFAyiy)kN(101压F030cos:0012FFFixkN66. 82FPABCD12345m2m2AFByFBxFAAF1F2Fyx节点法举例节点法举例ppt/56（3）取节点C，画受力图；14PABCD12345m2m2C3F1F4F030cos30co

7、s:00104FFFix)kN(104压F030sin)(:00413FFFFiyyxkN103Fppt/56（4）取节点D，画受力图；最后取节点B，可用于校核计算结果。15PABCD12345m2m20:025FFFixyxDP2F5F3FkN66. 85FBByF4F5FBxFppt/56例例 ：已知P1=10KN，P2=7KN，各杆长度均为1m 。 求1、2、3号杆的内力。解：（1）取整体，画受力图；求约束反力：解得解得162PABCD123yx1PFEGAyFAxFBF0:0AxixFF032:0)(21AyiBFPPFMkN9AyF0:021PPFFFBAyiykN8ByF截面法举例

8、截面法举例ppt/56（2）用截面法，取桁架左边部分，画受力图； 列平衡方程求解：解得解得解得172PABCD123yx1PFEGnnAC1F1PEAyFAxF2F3F0130cos1:0)(01AyiCFFFM060sin:0102PFFFAyiy)(kN4 .101压FkN15. 12F060cos:00231FFFFixkN81. 93Fppt/56节点法与定性分析方法节点法与定性分析方法由节点法可得到直接判断杆件内力为零或取给定值的定性分析方法定性分析方法。连接不共线的两杆节点两杆节点，节点上无外力，两杆内力均为零。不共线的两杆节点上有外力两杆节点上有外力，外力沿其中一杆方向，该杆内力

9、大小等于外力值，另一杆内力为零。连接不共线的三杆节点三杆节点，节点上无外力，其中两杆沿同一直线，内力相同，第三杆内力为零。不共线三杆节点上有外力三杆节点上有外力，其中两杆沿同一直线，内力相同；外力沿第三杆方向， 该杆内力大小等于外力值。A01F02FAPF 102FP3FAPF 132FF PA01F32FF 3F18ppt/56例例 已知P1=10kN，P2=5kN，尺寸如图，求每根杆的内力。解：（1）取整体，画受力图；求约束反力：19FHEG1P1PABCDm8241P2P2PAFBxFByF024688:0)(1112PPPPFFMAiB0:0BxixFFkN20AFkN20ByF023

10、:021PPFFFByAiyyxm3ppt/56（2）依次取节点，求各杆内力：取节点A取节点C取节点D取节点E20FHEG1P1PABDCm8241P2P2PAFBF00iyADixACFFFF0,0iyDFDEixFFFF00iyEGixEFFFFF000CDiyCFixFFFFyxm3ppt/56特别提示特别提示：对于需要计算很多杆件内力的问题，如果结构和载荷具有同一对称轴，那么，利用对称性对称性和直接判断杆件内力为零或取给定值的定性分析定性分析方法，可以至少减少一半计算工作量。21FHEG1P1PABCDm8241P2P2Pm3ppt/56例例 已知P1，P2，P3 ，求1、2、3、4、

11、5号杆的内力。解：（1）取整体，画受力图；求约束反力：（2）用截面法，取桁架左边部分，画受力图；列平衡方程求解1、2、3号杆的内力：22AiAFFM0)(BiyFF0Ay1P1P3PAF3F1F2F20FFiy10)(FFMiC30FFixC2PAB123yx1P1P2P2P3P3Pm3056m7BFAF45CD节点法与截面法联合应用举例ppt/56（3）再取节点D，画受力图； 列平衡方程求解4、5号杆的内力：2340FFiy50FFix2PAB123yx1P1P2P2P3P3Pm3056m745CD2P3F4F5FDppt/5624考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦的平衡问题摩擦现象：发声、发热以及

12、材料磨损等。ppt/5625摩擦分类及摩擦力的本质摩擦分类及摩擦力的本质l按相互接触物体的相对运动形式分为（1）滑动摩擦；（2）滚动摩擦l按相互接触物体有无相对运动分为（1）静摩擦；（2）动摩擦摩擦现象的摩擦现象的本质本质就是在保持接触的有相对运动（趋势）的两个物体之间，接触面的微观凹凸部分微观凹凸部分发生咬合、碰撞，产生能量转换，出现了阻碍相对运动（趋势）的切向作用力，这种切向的相互作用力称为摩擦力摩擦力。在保持接触的有相对运动（趋势）的两个物体之间，如果没有第三种物质（例如润滑剂），相应的摩擦称为干摩擦干摩擦。ppt/5626工程中的摩擦问题ppt/5627静滑动摩擦力范围：GNGQRNF

13、物体开始滑动主动力当物体处于静止主动力当,maxmaxFQFQmax0FFppt/5628GQNmaxFRm库仑静摩擦定律：NfF=max支承面全反力：22+=NFR*摩擦角摩擦角m：在临界平衡状态下，支承面全反力R与法向反力N之间的夹角。NFfmmax=tan*摩擦锥摩擦锥：在临界平衡状态下，全反力R的作用线绕接触面的法线旋转一周形成的一个以作用点为顶点的锥面。ppt/5629常用材料的滑动摩擦系数8 . 005. 0=, 9 . 01 . 0=动静ff钢-钢：15. 005. 0=,15. 01 . 0=动静ff钢-橡胶：8 . 06 . 0=, 9 . 0=动静ffppt/5630mF主

14、动力F在摩擦角(锥)内支承面产生的全反力R也位于摩擦角(锥)内，平衡。RmF主 动 力 F在摩擦角(锥)外支承面的全反力R至多只能位于摩擦角(锥)的边界上，因此图示情况不能维持静平衡。R*摩擦自锁摩擦自锁：若总主动力作用线在摩擦角(锥)内，则不论该力的数值如何，物体总能保持平衡状态，这种现象称为摩擦自锁。ppt/5631ppt/5632ppt/5633ppt/5634ppt/5635考虑静滑动摩擦的平衡问题考虑静滑动摩擦的平衡问题分析步骤首先正确判断摩擦力的方向，画受力图；列平衡方程求解。对摩擦力的处理采用以下分析方法临界状态分析： F = Fmax = f N平衡范围分析： F f N此时静

15、滑动摩擦力F与法向压力N无直接关系。ppt/5636例例：均质梯子AB长为L，重G1=100N，靠在光滑墙壁上并和水平地面成角=75。已知地面对梯子的摩擦系数f=0.2，问重G2=700N的人能爬至梯子何位置而不致使梯子滑倒。AB75解：受力图如图所示，假设人在图示位置刚好处于临界状态。ABxyANBNmaxFC1G2GDBBNfNF2 . 0=max:0=yFN800=+=21GGNB:0=xFN160=maxFNA:0=Bm)+2(75cos=75sin21BDGLGLNALGLGNBDA782. 0=)5 . 075tan(=21-ppt/5637讨论： 在实际生活中，怎样保证梯子上人的

16、安全？并从力学上给予解释。ppt/5638例例：活动支架套在固定圆柱的外表面，且h=20cm。支架和圆柱之间的静摩擦因数fs=0.25。问作用于支架的主动力F的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑(支架自重不计)。FxBAhd解：取支架为研究对象,受力分析如图xBNBFBFAOhxyFAFNAF根据题意NBBNAAFfFFfF= ,=ssBANBNAxFFFFF=,=:0=FFFFBAy5 . 0=:0=0=)5 . 0(:0=FdxdFhFMANAB-cm40=x39支架受力分析如图所示FCDxRAFRBFffAB1h2hffdxdxhhh tan)2(+ tan)2+(=+=21-

17、cm 40=tan2=fhxppt/5640讨论： 如果考虑支架自重，怎样进行分析？刚才第二种分析方法还适用吗？ppt/5641例：图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计，并忽略推杆自重。问a为多大，推杆才不致被卡住。bABdMeappt/5642取推杆为研究对象，画受力图；NBFAFNAFbBFFxydOa根据题意NBBNAAFfFFfF= ,=ss,= :0=NBNAxFFFBAFF =, 0=+ :0=FFFFBAy-FFFBA5 . 0=022 :0dFdFbFFaMBANAO-ssNBfbFfFbFbFa2=2=ppt/564

18、3几何法：取推杆为研究对象，推杆受F、FRA和FRB的作用aFxybORAFRBFBAffCFRA与FRB确定了F的作用线位置，由此可求出F的极限位置sflim2= cot2=fbbappt/5644讨论： 如果考虑推杆自重，情况会怎么样？ppt/5645例例：重P的矩形柜放置在水平地面上，其重心位于其几何中心，与地面间的静摩擦系数是f。受力如图示，求平衡时地面的约束反力，并求柜翻倒或滑动的最小推力Q min。hQabBAPppt/5646解解：受力图如图所示。:0BmaQhPNA-2=:0=yFaQhPNB+2=:0=xFBAFFQ+=(1)处于不翻倒但将滑动的临界状态fPfNfNQBA=+

19、=1min(2)处于不滑动但将翻倒的临界状态PbaQhPaQNA2=2=, 0=2minxyAFANBFBNhQabBAPppt/5647讨论：总是可以使该物体先滑动而不翻倒。若 ，则先滑动；fba2若 ，且力臂为b，则先翻倒；fba2ppt/5648例例：图示结构，已知P=200kN，Q=200kN，L=0.5m，滑块与墙体的摩擦系数f=0.5，不计杆及滑块自重，忽略其余摩擦。试求=30时，滑块与墙体的摩擦力。ABCLPQ48ppt/5649 以圆柱铰B为研究对象，计算BC杆的受力：ACLQPBBPBCNABN0sin:0BCyNPF)(sin压PNBC再研究滑块C，求摩擦力：0sin:0FQNFBCy0sinQNFBCQBCNNF解：AB和BC为二力杆。49ppt/5650*滚动摩擦滚动摩擦阻力偶的产生原因：接触处的局部变形PPQppt/5651F为阻碍球体滑动的力，一般情况下，F = QF与Q的共同作用，将使球体具有向前滚动的趋势反力偶M=dN阻碍球体的滚动趋势，称为静滚动摩擦力偶。若