矩阵的秩与线性方程组ppt课件

1、第一节第一节 矩阵的秩矩阵的秩Ch3 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩与线性方程组一一、矩矩阵阵秩秩的的概概念念二二、矩矩阵阵秩秩的的计计算算三三、小小结结、思思考考题题., 12阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式，的的中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得变变它它们们在在不不改改元元素素处处的的个个），位位于于这这些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩阵阵在在定定义义kAkAknkmkkkAnm . 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 0.)(. )(0102 ArOAArArADrDrA即即等等于于零零并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩的的秩秩，记记

2、作作称称为为矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵，那那末末于于）全全等等阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话，且且所所有有式式阶阶子子的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵定定义义.)( 最高阶数最高阶数中非零子式的中非零子式的是是的秩的秩矩阵矩阵AArAnm ，对于对于TA)1().()(ArArT 显然有显然有注意：注意：).,min()()2(nmArnm .)()3(kArkA 阶子式不为零，则阶子式不为零，则有一个有一个若若).()(, 0)5(.)(1)4(ArArkArkA则如阶子式均为零，则的所有若为可逆阵且阶方阵，则为若AAnArnArn

3、A0)(,)()6(例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，二阶子式中，二阶子式在在 A，阶阶子子式式只只有有一一个个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( Ar例例2.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行，行，”，其非零行有”，其非零行有是一个“行阶梯形矩阵是一个“行阶梯形矩阵3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( Br取自非零行首非零元所在列取自非零行首非零元所在列说明说明.非非零零行行的的行行数数行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵的的秩秩即即其其例例3 3，求求该该矩矩阵阵的的秩秩已已

4、知知 510231202231A, 022031 二二阶阶子子式式102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 Ar做做初初等等变变换换，对对矩矩阵阵 510231202231A另解另解,000031202231510231202231 得得显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2， . 2 Ar此方法简单！此方法简单！问题：问题：？若对，有没有理论根据若对，有没有理论根据这种方法到底对不对？这种方法到底对不对？3定义定义矩矩阵阵为为称称满满足足以以下下两两个个条条件件的的n

5、m 行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵：元个数多；元个数多；个数比其上一行这种零个数比其上一行这种零的话）前的零元的话）前的零元每行的非零元（如果有每行的非零元（如果有)1(.)2(元元素素全全为为零零则则其其下下所所有有行行的的如如果果某某行行没没有有非非零零元元，为为，则则称称其其是是所所在在的的列列的的其其它它元元素素都都，且且这这些些行行的的首首非非零零元元均均为为若若行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵的的非非零零011.行最简形矩阵行最简形矩阵., 形矩阵形矩阵行变换把它变为行阶梯行变换把它变为行阶梯总可经过有限次初等总可经过有限次初等对于任何矩阵对于任何矩阵nmA 问题：问题：经过初等变换后，矩阵的秩

6、变吗？经过初等变换后，矩阵的秩变吗？ . ,2 BrArBA 则则若若定定理理证明略证明略1定定理理证明略证明略初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩矩阵的秩.例例4的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式秩，并求秩，并求的的求矩阵求矩阵设设AAA,41461351021632305023 阶阶梯梯形形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，变变成成行行对对A解解 41461351021632305023 A 05023351021632341

7、46114r 05023351021134041461)1(42 r 0502335102163234146114r 1281216011791201134041461 )3()2(1413 rr 05023351021134041461)1(42 r 1281216011791201134041461 )3()2(1413 rr 84000840001134041461 )3(23 r)4(24 r 00000840001134041461 (1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( Ar)1(34 r 84000840001134041461 )3(23 r)

8、4(24 r . )2(的的一一个个最最高高阶阶子子式式再再求求 A四四列列得得二二三三行行及及一一二二取取第第一一,A对应矩阵对应矩阵0414161 0161502623 ，阶阶可可逆逆矩矩阵阵设设An , 0 A,AA的的最最高高阶阶非非零零子子式式即即为为.)(nAr 故故.为为满满秩秩矩矩阵阵，故故称称可可逆逆矩矩阵阵可可逆逆矩矩阵阵的的秩秩等等于于阶阶数数.奇奇异异矩矩阵阵为为降降秩秩矩矩阵阵:满满秩秩矩矩阵阵阶满秩矩阵，则必有阶满秩矩阵，则必有阶、阶、分别是分别是矩阵，而矩阵，而是任一是任一设设nmQPnmA, 的的推推论论：定定理理 11推推论论()()()()r Ar PAr

9、AQr PAQ 证明：证明：.1,即即知知本本推推论论成成立立由由定定理理果果，结结作作了了有有限限次次初初等等变变换换的的均均可可看看成成是是对对这这样样乘乘积积矩矩阵阵有有限限个个初初等等矩矩阵阵的的乘乘积积）可可以以表表示示成成满满秩秩矩矩阵阵（即即可可逆逆矩矩阵阵APAQAQPA2推论推论的标准形分解为的标准形分解为矩阵矩阵若已知任一若已知任一Anm QOOOIPPNQAr .)(的阶数）的阶数）（即单位矩阵（即单位矩阵则必有则必有rIrAr 1即即得得。提提示示：利利用用推推论论. IA的的标标准准形形必必为为单单位位阵阵显显然然，可可逆逆矩矩阵阵例例5 5 4321,6063324

10、208421221bA设设 .),(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bABB 的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵为为若若分析：分析：的的行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵，就就是是则则AA).()(),(BrArbAB及及中中可可同同时时看看出出故故从从 46063332422084211221B 13600512000240011221)2()2(1312rr )3(14 r 13600512000240011221 10000500000120011221)1()21(232 rr)3(24r)2()2(1312rr )3(14 r 00000100000120011221)5(43

11、 r34r. 3)(, 2)( BrAr 10000500000120011221)1()21(232 rr)3(24r(2)(2)初等变换法初等变换法1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,63334222211 kkkkA已已知知矩矩阵阵取何值时，取何值时，问：问：k)1(; 1)( Ar)2(; 2)( Ar)3(

12、. 3)( Ar解解：63334222211 kkkkA)1(6)1(3)1(30)1(4)1(2)1(202112 kkkkkkk 0)1)(2(00)1(2)1()1(0211kkkkkk；时时，即即得得，当当1)(1 Ark；时时，当当2)(2 Ark. 3)(12 Arkk时时，且且当当 0)1)(2(00)1(2)1()1(0211kkkkkkA由由 (2) ,()( )?TAr A Ar A设设为为任任一一实实矩矩阵阵与与是是否否相相等等(1)设设A为可逆阵为可逆阵,且且r(A)=3,则则r(AB)-r(B)=-。0相等相等., 0 x因因为为对对于于任任一一实实向向量量,0时时当

13、方程组当方程组 Ax, 0 AxAT必必有有有有时时反之当反之当,0 AxAT0 AxAxTT 即即 20TAxAxAx; 0 Ax由此可知由此可知, 俩方程组俩方程组,00同解同解与与 AxAAxT .ArAArT 故故第二节第二节 齐次线性方程组齐次线性方程组判定判定一、线性方程组有解的一、线性方程组有解的二二、线线性性方方程程组组的的解解法法三三、小小结结、思思考考题题Ch3 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩与线性方程组的的解解组组的的秩秩，讨讨论论线线性性方方程程如如何何利利用用系系数数矩矩阵阵0 AxA问题问题：引例引例 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 03402220224321

14、43214321xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行的初等行变换：施行的初等行变换：同时记录对系数矩阵同时记录对系数矩阵 A)1()2(1312 rr 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx - 2 ， - ，得，得 046304630224324324321xxxxxxxxxx消消元元法法来来解解此此方方程程组组，利利用用Gauss 463046301221 046304630224324324321xxxxxxxxxx 0000342101221)31()1(223 rr - ， 得得 )31( 0342102

15、24324321xxxxxxx说明第说明第3 3个方个方程是多余的程是多余的！说明什么说明什么问题？问题？ 0000342101221)2(21 r 00003421035201 03420352432431xxxxxx 得，得，2 行最简形行最简形矩阵矩阵 034210224324321xxxxxxx即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0342, 0352432431xxxxxx移项即得移项即得 ,342,352432431xxxxxx).,(43xx称称自由未知量自由未知量 ,342,352212211ccxccx形形式式，把把它它写写成成通通常常的的参参数数令令24

16、13,cxcx .1034350122214321 ccxxxx即即原原方方程程组组的的解解为为),(21可取任意实数可取任意实数参数参数cc,01213ccx ,10214ccx .)(.0个个参参数数表表达达式式中中含含有有且且通通解解矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组ArnnArxAnnm 证证必要性必要性. . ,nDnAnAr阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在若若 ,根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的nDn从而从而有有非非零零解解，（反反证证）设设方方程程组组0

17、Ax定理定理1 1方方程程组组的的通通解解线线性性个个参参数数的的一一般般解解，称称为为定定义义：含含有有)(Arn 于于是是，有有这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾， .nAr 即即不能成立不能成立nAr )(充分性充分性. . ,nrAr 设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn 任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA.证证毕毕 为求齐次线性方程组的解，只需将为求齐次线性方程组的解，只需将系数矩阵化成

18、行最简形矩阵，便可写出其系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。通解。结论：结论：例例1 求解齐次方程组的通解求解齐次方程组的通解 032030432143214321xxxxxxxxxxxx解解 对系数矩阵对系数矩阵A进行初等变换进行初等变换 321131111111A 210042001111.000021001011 , 42 Ar由由于于故方程组有非零解，且有故方程组有非零解，且有 434212xxxxx 42442342242110200111xxxxxxxxxxxx 210042001111为什么选为什么选为非自由未知量？为非自由未知量？31, xx选行最简形矩阵中非零选行最简形

19、矩阵中非零行首非零元行首非零元1所在列！所在列！1212341110.0201xxccxx 12(,)c cR 得方程组的通解为得方程组的通解为 42442342242110200111xxxxxxxxxxxx由由例例2 2 设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000321321321xxxxxxxxx ?,有非零解有非零解取何值时取何值时问问 解解 111111A 111111 作作初初等等行行变变换换，对对系系数数矩矩阵阵 A 111111 211011011 220011011 210011011 220011011 ,11时时当当 000000111A ., 31知知方方程程组组有有

20、非非零零解解此此时时，由由 Ar且其通解为且其通解为 3322321xxxxxxx .,21Rcc 10101121321ccxxx即即,2)2(时时当当 000110101000330211 210011011A ., 32知知方方程程组组有有非非零零解解此此时时，由由 Ar且其通解为且其通解为)(111321Rccxxx 即必须有非零解为使. 0,0AAx0) 1)(2(1111111)2(1111112 . 12 或或解解得得代入代入讨论同前讨论同前。对齐次线性方程组对齐次线性方程组0 Ax nAr ;0只只有有零零解解 Ax nAr .0有有非非零零解解 Ax解法一解法一因为系数矩阵因

21、为系数矩阵 为含参数的方阵，故可为含参数的方阵，故可考虑使用考虑使用“行列式行列式”法，而法，而A . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx 当当a取何值时，下述齐次线性方程组有非取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解aaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa:,1化化成成最最简简形形把把系系数数矩矩阵阵时时当当Aa 00001000001001011323111121211111A).(,01014321为

22、任意常数为任意常数kkxxxxx 通解为通解为，且且即即知知方方程程组组有有无无穷穷多多解解由由, 43)( Ar 00000300101011112323121121211111,2AAa化化为为由由初初等等行行变变换换可可把把时时当当 0000010010100001).(,1010 4321为为任任意意常常数数为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解kkxxxxx 0000010010100001A由由 aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用用“初等行变换初等行变换”（法）把系数矩阵（法）把系数矩阵 化为阶梯形化为阶梯形A., 4)(,

23、21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此时时方方程程组组有有时时或或者者当当 Araa 2000010010101111aa 3050212010101111aa注意：注意：是是含含参参数数的的方方阵阵时时，只只有有当当系系数数矩矩阵阵 A)1(；才能使用“行列式”法才能使用“行列式”法是不含参数的是不含参数的当系数矩阵不是方阵或当系数矩阵不是方阵或)2(等行变换”法！等行变换”法！方阵时，只能使用“初方阵时，只能使用“初第三节第三节 非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ch3 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩与线性方程组有有解解的的判判定定一一、非非齐齐次次线线性性方方程程组

24、组的的解解法法二二、非非齐齐次次线线性性方方程程组组三三、小小结结、思思考考题题的的解解讨讨论论线线性性方方程程组组的的秩秩，和和增增广广矩矩阵阵如如何何利利用用系系数数矩矩阵阵bAxAA 问题：问题：:回回答答组组线性方程线性方程一定有解不同，非齐次一定有解不同，非齐次与与0 Ax)0( bbAx不不一一定定有有解解，而而是是有有证证必要性必要性,有解有解 ( (反证法反证法) )设方程组设方程组bAx 个个任任意意参参数数。有有时时，其其通通解解表表达达式式中中含含；且且在在有有无无穷穷多多解解充充分分必必要要条条件件是是有有解解的的元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组)()()(ArnA

25、rArbxAnnm 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾.定理定理1 ,rAr 设设A则则 的行最简形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，的行最简形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，A).()(ArAr 因因此此只只能能是是并令并令 个自由未知量任意取值，个自由未知量任意取值，rn 即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性. .证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rA其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量, ,rn 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量, ,r),()()(nrA

26、rAr 设设推论推论有有解解的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵方方程程BAX ),()(BArAr .其其化化为为行行最最简简形形矩矩阵阵进进行行初初等等行行变变换换而而将将阵阵求求解解，主主要要是是对对增增广广矩矩的的线线性性方方程程组组由由上上一一节节，我我们们知知道道对对AbAx 例例1 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵 进行初等变换，进行初等变换，A定理定理11 322122351311321A 104501045011321)1(23 r 200001045011

27、321, 3)(2)( ArAr显显然然，故方程组无解故方程组无解)2()3(1312 rr更更常常用用的的描描述述是是：定定理理1，元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组对对bxAnnm 方方程程组组有有唯唯一一解解； nArAr)()()1(方程组有无穷多解；方程组有无穷多解； nArAr)()()2(.)()()3(方方程程组组无无解解 ArAr此乃第三章的此乃第三章的精华所在精华所在结论：结论：为求解非齐次线性方程组为求解非齐次线性方程组 ，只需将，只需将增广矩阵增广矩阵 化成行阶梯形矩阵，便可判化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解

28、。断其是否有解若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。bAx A个个方方程程的的线线性性方方程程组组个个未未知知数数容容易易看看出出，nn.1.1要要推推广广是是克克拉拉默默法法则则的的一一个个重重而而定定理理故故的的必必要要条条件件是是定定理理时时使使用用的的克克拉拉默默法法则则只只 例例2 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解 2132130432143214321xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵 进行初等变换进行初等变换A 2132111311101111A 2121001420001111 00000212100211011A 0000021

29、210001111化化简简得得继继续续方方程程组组有有无无穷穷多多解解知知由由., 42)()( ArAr 2122143421xxxxx 01021200012111424423422421xxxxxxxxxxxx对应同解方程组对应同解方程组 00000212100211011A而而行行最最简简形形矩矩阵阵矩矩阵阵.02102112010011214321 ccxxxx),(21Rcc 其中其中所以方程组的通解为所以方程组的通解为注意：注意：！的通解表达式不唯一的通解表达式不唯一线性方程组线性方程组bAx 的行最简形矩阵的行最简形矩阵广矩阵广矩阵例如，在本例中，从增例如，在本例中，从增A 0

30、0000212100211011A方方程程组组得得同同解解作作为为自自由由未未知知量量，于于是是中中也也可可取取31, xx 2122134142xxxxx则则得得通通解解为为若若令令,2311cxcx 12123410011 21 4.01001 21 4xxccxx ),(21Rcc 其中其中的的一一切切解解它它在在有有解解的的情情况况下下，求求出出是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组. 054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx例例3 证证方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为对增广矩阵对增广矩阵 进行初等变换，进行初等变换，A 5

31、43211000111000011000011000011aaaaaA 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaArAr有解有解行，得行，得加到第加到第各行全各行全，将将54321. 051 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组 454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解：112342234334445xaaaacxaaacxaacxacxc .为任意实数为任意实数cRcaaaaaaaaaacxxxxx 011111443432432154321例例4 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,无无解解？有有无无穷穷多多个个解解有有唯唯一一解解取取何何值值时时问问 解一解一 21111111 A 11111112 作作初初等等行行变变换换，对对增增广广矩矩阵阵),(bAA 3222111011011 322221200