精品课件材料力学第十章压杆稳定问题北航精品课件

1、材料力学（i ii） 北航 精品课件 北京航空航天大学单辉祖教授编著的材料力学(i)、材料力学()是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材和教育部工科力学“九五”规划教材，也是普通高等教育“九五”国家级重点教材 。该教材1999年初版，获2000年度中国高校科学技术奖（教材类）二等奖，教学改革成果获2001年度国家级教学成果二等奖、北京市教学成果一等奖 ；2004年修订出版第2版，修订版已列入“普通高等学校十五国家教材规划”、高教社“高等教育百门精品教材”。以材料力学i、ii为主教材的材料力学立体化教学包已作为高等教育出版社的“名品”向全国推

2、广。 n本教材在妥善处理传统内容的继承和现代科技成果的引进以及知识的传授和能力、素质的培养方面，进行了积极探索，是一套面向21世纪的具有新内容、新体系，论述严谨，重视基础与工程应用(包括计算机的应用)，重视能力培养的新教材。教材体现了模块式的特点，通过对模块的选择与组合，可同时满足不同层次工科院校的不同专业对基础力学课程的教学要求。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page 3第第十十章章 压杆稳定问题压杆稳定问题第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page 4问题的提出问题的提出: :强度条件是否适用于下列拉压杆？强度条件是否适用于下列拉压杆？ nfa 回顾：拉压杆的强度条件回顾：拉压

3、杆的强度条件ffff短粗杆短粗杆ffff细长杆细长杆第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page 5左图：隋朝建成左图：隋朝建成的赵州桥的赵州桥右图：右图： tacoma 海峡大海峡大桥桥19401940年破坏年破坏euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题首先从理论上研究了压杆稳定问题(euler理论理论）l 工程实例：石桥、钢桥与稳定问题工程实例：石桥、钢桥与稳定问题第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page 6刚体与变形体的稳定性刚体与变形体的稳定性 （1）刚性面上，刚性球受微干扰）刚性面上，刚性球受微干扰a. 合力合力fr指向平衡位置指向平衡位置稳定平衡稳定平

4、衡b. fr为为0c. fr偏离平衡位置偏离平衡位置不稳定平衡不稳定平衡临界临界( (随遇随遇) )平衡平衡frfwfrfww第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page 7（2）刚杆弹簧系统受微干扰）刚杆弹簧系统受微干扰稳定平衡稳定平衡. afk l 临界临界(随遇随遇)平衡平衡. bfk l 不稳定平衡不稳定平衡. cfk l 临界载荷临界载荷crfkl 驱动力矩驱动力矩f 恢复力矩恢复力矩k l fkl刚杆弹簧系统稳定性演示刚杆弹簧系统稳定性演示第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page 8（3）受压弹性杆受微干扰）受压弹性杆受微干扰f fcr 稳定平衡稳定平衡ffcr 临界状态临

5、界状态压杆在微弯位置不能平衡压杆在微弯位置不能平衡, ,要恢复直线要恢复直线压杆微弯位置不能平衡压杆微弯位置不能平衡, ,要继续弯曲要继续弯曲, ,导致失稳导致失稳f fcr 不稳定平衡不稳定平衡压杆在任意微弯位置均可保持平衡压杆在任意微弯位置均可保持平衡临界载荷临界载荷 fcr: 压杆直线形式的平压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时的轴向压衡由稳定转变为不稳定时的轴向压力值。力值。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page 9桁架的稳定性桁架的稳定性为什么桁架要尽可能设计成各杆受拉为什么桁架要尽可能设计成各杆受拉？第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page10 其他形式的稳定问题其

6、他形式的稳定问题crff 窄高梁弯曲窄高梁弯曲薄壁件受外压薄壁件受外压薄壁圆筒轴向受压薄壁圆筒轴向受压第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page11左侧为风速低于颤振速度，结构稳定；左侧为风速低于颤振速度，结构稳定；右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。风洞颤振试验照片风洞颤振试验照片第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page12飞机颤振问题研究飞机颤振问题研究第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page13两端铰支压杆两端铰支压杆 临界载荷实验测定临界载荷实验测定两端铰支压杆两端铰支压杆 失稳动画演示失稳动画演示第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳

7、定问题page14 一、临界载荷的欧拉公式一、临界载荷的欧拉公式两端受压简支杆两端受压简支杆fm(x)xfw( )m xfw 22()dwmxd xe i ffff临界平衡状态临界平衡状态驱动与恢复内力矩驱动与恢复内力矩驱动内力矩驱动内力矩恢复内力矩恢复内力矩22()dwmxe id x 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page15( )m xfw 驱动内力矩驱动内力矩恢复内力矩恢复内力矩22()dwmxe idx 0222 wkdxwdweifdxwd 222keif 压杆稳定微分方程压杆稳定微分方程ff通解：通解：sincoswakxbkx 位移边界条件：位移边界条件： 0 b0si

8、n kla, 0 x0 w, lx 0 w存在非零解的条件：存在非零解的条件：sin0kl 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page1622cre ifl 设：设： n=1sin0kl kln nkl 222(1,2)neifnl 临界载荷欧拉公式临界载荷欧拉公式ff2,fke i 注意到：注意到：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page17临界载荷（欧拉临界载荷临界载荷（欧拉临界载荷) )与截面抗弯刚度成正比，与截面抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比。与杆长的平方成反比。22cre ifl 二、临界载荷的欧拉公式的几点讨论二、临界载荷的欧拉公式的几点讨论压杆在临界状态时的平衡是一

9、种有条件的随遇平衡压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡可有任意的微弯程度可有任意的微弯程度, , 但轴线形状一定。但轴线形状一定。sinxwal 两端简支压杆的挠曲轴两端简支压杆的挠曲轴第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page18高阶解的意义：高阶解的意义：当当n=2时，得到时，得到：xlaw 2sin ff222(1,2)neifnl （中间支撑不受力）（中间支撑不受力） 欧拉公式的适用范围：欧拉公式的适用范围：qq 压力沿杆件轴线压力沿杆件轴线qq 小挠度小挠度( (小变形小变形) )qq 线弹性线弹性qq 理想均质材料理想均质材料, ,细长杆细长杆 eixmdxwd)(22

10、 ff第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page19三、大挠度理论与实际压杆三、大挠度理论与实际压杆eixmx)()1 （ 3 22( )1( )m xwxeiw x dmaxwfoccrfab精确压杆稳定微分方程精确压杆稳定微分方程（求解大挠度问题）（求解大挠度问题）理想压杆小挠度理论与大理想压杆小挠度理论与大挠度理论及实验结果比较挠度理论及实验结果比较大挠度理论大挠度理论小挠度理论小挠度理论实验结果实验结果由大挠度理论，由大挠度理论，f=1.015fcr, wmax=0.11l. 比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。第十章第十章 压杆稳定问题

11、压杆稳定问题page2022creifl 问题：结构在哪个平面内失稳？问题：结构在哪个平面内失稳？临界载荷等于多少？临界载荷等于多少？解：解：临界载荷临界载荷例：例：确定图示压杆的临界载荷确定图示压杆的临界载荷( (hb) )bhyz a aflfoxyz1. 当两端的约束是球形铰。当两端的约束是球形铰。2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。轴。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page2122creifl 123bhiz 123hbiy 解：解：临界载荷临界载荷压杆在压杆在x- -z z平面内失稳平面内失稳例：例：确定图示压杆的临界载荷确定图

12、示压杆的临界载荷(hb)bhcos2sin222yzyzyziiiiii a aa a flfoxyz1. 当两端的约束是球形铰。当两端的约束是球形铰。yz a a2222ycreieifwhenhbll 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page222()2xyzcreifl 123bhiz 123hbiy 例：例：确定图示压杆的临界载荷确定图示压杆的临界载荷(hb)bhflfoxyzyz a a2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。轴。压杆在压杆在x- -z z平面内，平面内，2()2()yxzcreifl 压杆在压杆在x- -y y平面内

13、，平面内，其中其中 =0.5 1， iyix 需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page23clfaba习题习题10-3：ab刚性杆，刚性杆，bc弹性弹性梁，弯曲刚度梁，弯曲刚度ei，求，求fcrq q1 1q q2 2f解：解：考虑梁杆结构的临界平考虑梁杆结构的临界平衡，衡，b为刚性接头，在为刚性接头，在b处处12qqqq 由杆，由杆，b处内力偶处内力偶11,bbcrcrmmf af aqqqq由梁，由梁，b处转角处转角23bm leiq q 33bbcrcrmm leiff aeial第十章第十章 压杆稳定

14、问题压杆稳定问题page24 作业10-2b，4，5，8第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page25 解析法确定临界载荷：铰支解析法确定临界载荷：铰支- -固支压杆固支压杆 类比法确定临界载荷类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素相当长度与长度因素 例题例题第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page26一、一、解析法确定临界载荷解析法确定临界载荷fablfabl根据微弯临界平衡状态根据微弯临界平衡状态建立微分方程建立微分方程22()d wmxdxei ( )()m xfw 22()d wfwdxei 2fke i 令令 2222kwkdxwd 1. 1. 固支固支-自由压杆自由压杆f

15、wxmf第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page27通解：通解：sincoswakxbkx 考虑位移边界条件：考虑位移边界条件：0,0,xw ,xl w b 0 ,0d wxd xq q sincosaklbkl fablxw 2222kwkdxwd 0ak 或或0a cos0kl 存在非零解的条件：存在非零解的条件：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page2821(1,2)2nkln （）取取n=1, 得固支得固支-自由压杆的临界载荷：自由压杆的临界载荷：22)2( leifcr fablxwcos0kl 存在非零解的条件：存在非零解的条件：注意到：注意到：2fkei 22221

16、(2 )neifl （）得：得：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page292. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷lfffrxfrfwxl frf)( xm根据微弯临界平衡状态根据微弯临界平衡状态建立微分方程建立微分方程( )()rm xfwf lx eixmdxwd)(22 22()rfd wfwlxdxeiei )(cossin2xleikfkxbkxawr )(2eifk 通解：通解：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page30frfxl0,0 xw rflbe ik 20)(cossin2xleikfkxbkxawr )(2eifk 通解

17、：通解：考虑位移边界条件：考虑位移边界条件：20rfakeik 0,0 xw sincos0aklbkl ,0 xl w 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page31sincosleikkeikklkl 22011000rflbe ik 2020rfakeik sincos0aklbkl frfxl存在非零解的条件：存在非零解的条件：klkl tan第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page32eikf2 22224.493(0.7 )creieifll frfxlklkl tan2ykl 1tanykl ( )4.493akl 4.493flei 思考讨论题：思考讨论题：力学模型（

18、有条件的随遇平衡）、力学模型（有条件的随遇平衡）、数学方程（微分方程）、有条件的数学方程（微分方程）、有条件的随遇平衡的数学表达（齐次方程的随遇平衡的数学表达（齐次方程的非零解）之间的对应关系。非零解）之间的对应关系。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page33上一讲回顾上一讲回顾1弹性平衡稳定性的概念弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。称为弹性平衡的稳定性。 2压杆的临界载荷压杆的临界载荷 使压杆直线形式的平衡由稳定转为

19、不稳使压杆直线形式的平衡由稳定转为不稳定的轴向压力值。定的轴向压力值。 3、 两端铰支细长压杆稳定微分方程两端铰支细长压杆稳定微分方程 2220d wk wdx 2fke i 4、 两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷22c re ifl 5、 两端非铰支细长压杆的临界载荷两端非铰支细长压杆的临界载荷解析法解析法力学模型力学模型数学方程数学方程齐次方程的非零解齐次方程的非零解系数行列式为零系数行列式为零第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page342222(2 )4creieifll lflflf1. 一端固支一端自由：一端固支一端自由：二、二、类比法确定临界载荷类比法确定

20、临界载荷观察：受力与变形与两端观察：受力与变形与两端铰支压杆左半部分相同铰支压杆左半部分相同类比：一端固支一端自由长类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于的压杆的临界载荷等于长长2l的对应铰支压杆的临界载荷。的对应铰支压杆的临界载荷。与解析法结果相同与解析法结果相同第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page352. 一端固支、一端铰支一端固支、一端铰支22)7 . 0(leifcr lfcrabfcr0.7lfcrbcfcrl 7 . 0拐点拐点abc变形曲线观察：与变形曲线观察：与b端相端相距约距约0.7l处有一拐点处有一拐点c类比：拐点类比：拐点c处弯矩为零，处弯矩为零，将将c

21、点坐标转动到变形前位点坐标转动到变形前位置，置，bc段类比铰支压杆。段类比铰支压杆。近似性讨论：由于变形后近似性讨论：由于变形后拐点拐点c离开轴线，离开轴线，b处有约束处有约束反力，小变形条件下很小。反力，小变形条件下很小。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page363. 两端固支压杆两端固支压杆：22)2/(leifcr crf拐点拐点拐点拐点2l4l4lcrf2lcrf第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page37三、欧拉公式的统一表达式：三、欧拉公式的统一表达式：22)( leifcr l 相当长度：相当的两端铰支压杆的长度相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 长度因数长度因数:

22、 :支持方式对临界载荷的影响支持方式对临界载荷的影响cr2eifl 2 2 cr2/2eifl 2 2 cr2(0.7 )eifl 2 2 cr2(2 )eifl 2 2 1 2 21 7 . 0 欧拉公式可以写成统一形式：欧拉公式可以写成统一形式：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page38例：例： 试用类比法求临界载荷试用类比法求临界载荷解：解： （1）分析失稳曲线特征：）分析失稳曲线特征： 两端转角为零，两端转角为零，b端水平端水平位移不为零。位移不为零。（2）类比长为）类比长为2l 的两端固支杆的两端固支杆leif第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page39例：例： 试用类

23、比法求临界载荷试用类比法求临界载荷 222220.52creieifll1 llff解：解：（1）分析失稳曲线特征：两端转角为零，）分析失稳曲线特征：两端转角为零，b端水平端水平位移不为零。位移不为零。（2）分析临界失稳的变形，类比长为）分析临界失稳的变形，类比长为2l 的两端固支杆的两端固支杆第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page40解：解：（a）研究刚杆）研究刚杆ac的临界平衡的临界平衡2crflkllqqqq 2crklf 例：例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。llkf（a）abcll*kf（b）abcfq qklq q2q qacbc给与

24、给与ac的反力为的反力为f（二（二力杆，系统小变形）力杆，系统小变形）弹簧力为弹簧力为k klq qa点与力线点与力线f的距离的距离l2q q由对由对a的力矩平衡的力矩平衡第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page41解：解：（b）研究刚杆）研究刚杆ac的临界平衡的临界平衡例：例： 刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。刚杆（蝶形）弹簧系统，求临界载荷。llkf（a）abcll*kf（b）abcbc给与给与ac的反力为的反力为f（二（二力杆，系统小变形）力杆，系统小变形）扭簧力为扭簧力为k*2qqk*2/ 2/ la点距力线点距力线f为为l2q2q2由对由对a的力矩平衡的力矩平衡*2kl f

25、caq q*22crfkl *crkfl 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page421232nnfafafa256nff 222crneifl 22256creifl 212ll 解：解：（1）为求）为求 ，先求作用，先求作用f 时时2nf2crf212nnff 例：例： 刚性梁，两大柔度杆刚性梁，两大柔度杆ei（1）求）求 失稳失稳 （2）求结构失稳）求结构失稳2o c2crfcrfalabcdf1o2o21aa刚性梁刚性梁ad绕绕a点转动点转动由刚性梁由刚性梁ad的平衡的平衡第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page431232crcrcrnnfafafa 正确解答：正确解答：

26、 22creifl 153nff 212crneifl 2253creifl 212nnff 解：解： （2）求）求 ，下述解法是否正确？，下述解法是否正确？crfalabcdf1o2o21aa由变形图由变形图由刚性梁由刚性梁ad的平衡的平衡结构失稳时，结构失稳时，答：不正确，在结构临界失稳时答：不正确，在结构临界失稳时212nnff 2122crcrnneiffl 而是而是由由ad梁平衡梁平衡第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page44解：解： （1）解除）解除 杆约束杆约束1o b变形协调条件：变形协调条件：0bw 32002204816bfafaaeiei3( )2bff由梁静力平

27、衡由梁静力平衡9( )4cff例：例： 弹性梁弹性梁 两大柔度杆两大柔度杆ei，设两杆拉压强度足设两杆拉压强度足够，且轴向压缩变形可忽略。够，且轴向压缩变形可忽略。（1）求）求 失稳失稳 （2）求结构失稳）求结构失稳0ei2o c2crfcrfb点反力点反力fb引起引起c点力偶点力偶fa引起引起alabcdf1o2o21aaei0第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page45 22ccreifl 2224499crccreiffl 3( )2bff9( )4cff杆杆2首先失稳，临界载荷首先失稳，临界载荷故结构临界载荷故结构临界载荷思考思考:1. 考虑梁变形，杆考虑梁变形，杆2失稳时外载失

28、稳时外载f临界值变大还是变小临界值变大还是变小?2. 考虑梁变形，结构失稳时外载考虑梁变形，结构失稳时外载f临界值变大还是变小临界值变大还是变小?alabcdf1o2o21aaei0第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page46答：答：不变。结构失稳时，无论梁变不变形，杆不变。结构失稳时，无论梁变不变形，杆1和杆和杆2承载都达到各自临界值。承载都达到各自临界值。22creifl alabcdf1o2o21aa思考思考:1. 考虑梁变形，杆考虑梁变形，杆2失稳时失稳时外载外载f临界值变大还是变小临界值变大还是变小?答：答：临界载荷变小，由杆临界载荷变小，由杆2将将达临界失稳时杆达临界失稳时杆

29、1受拉引起。受拉引起。3( )2bff9( )4cff2. 考虑梁变形，结构失稳时外载考虑梁变形，结构失稳时外载f临界值变大还是变小临界值变大还是变小?第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page47例：例： 下列结构下列结构oa，bc为大柔度杆，为大柔度杆，ab为刚性杆。为刚性杆。 求失求失稳临界载荷。稳临界载荷。fklei 1aoflei 2ao0eibc第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page48(1)crfkl(1)crfkl （1）分析）分析: 弹性杆弹性杆-弹簧系统弹簧系统有两种失稳形式：有两种失稳形式：a. 弹簧变弹簧变形，杆保持直线偏转失稳；形，杆保持直线偏转失稳； b

30、.弹簧变形，杆弯曲失稳。弹簧变形，杆弯曲失稳。f kao（1）解：）解：（a）设微干扰后）设微干扰后杆杆oa保持直线偏转失稳。保持直线偏转失稳。fkleiao在临界状态，载荷引起的偏转力矩与弹簧力的恢复力矩在临界状态，载荷引起的偏转力矩与弹簧力的恢复力矩平衡。平衡。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page49（b）弹簧不变形，）弹簧不变形，杆弯曲失稳。杆弯曲失稳。fkleiao（1）解：）解：（a）(1)crfkl 2(2)2creifl 较小临界载荷所对应的失稳较小临界载荷所对应的失稳形式是结构实际失稳形式。形式是结构实际失稳形式。22min,creifkll 杆杆oa相当于两端相当于

31、两端铰支杆铰支杆f kao(a)faok(b)第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page50* 303f lei *033eikfl （2）分析：）分析： flei 2ao0eibcfklei 1ao悬臂梁悬臂梁bc相当于一弹簧，为相当于一弹簧，为了求当量弹簧常数了求当量弹簧常数k*，设刚性，设刚性杆杆ab上作用一水平力上作用一水平力f*，则，则悬臂梁悬臂梁bc水平位移水平位移 为为当量弹簧常数当量弹簧常数( )*023acreifk ll（2）解：）解：（a） 设微干扰后，设微干扰后，oa杆保持直线偏转失稳。杆保持直线偏转失稳。类比（类比（1）的解法：）的解法：第十章第十章 压杆稳定问题

32、压杆稳定问题page51（a）（2）解：）解： flei 2ao0eibcfklei 1ao( )*023acreifk ll2( )2bcreifl （b） 设微干扰后，设微干扰后，oa杆弯曲失稳。杆弯曲失稳。2022min3,creieifll 对比杆（对比杆（1）2*2min,creifk ll *033eikl 结构（结构（2）失稳临界载荷）失稳临界载荷第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page52例：例：流体截面积流体截面积a，密度，密度 ，管弯曲刚度，管弯曲刚度ei，求临界流速求临界流速vcrvleix解：解： 管微弯后，流体动反力为管微弯后，流体动反力为 2cavq xx 此

33、动反力引起（驱动）弯矩此动反力引起（驱动）弯矩 22d m xq xdx 其中其中 c(x)为曲率半径为曲率半径 2221( )cd m xavdxx 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page53例：例：流体截面积流体截面积a，密度，密度 ，管弯曲刚度管弯曲刚度ei，求临界流速求临界流速vcrvleix 1cm xxei 2221( )cd m xavdxx 曲率表示的弯曲变形公式建立曲率表示的弯曲变形公式建立了弹性恢复力矩与曲率的关系了弹性恢复力矩与曲率的关系又：又： 22eid wm xdx 422420d wd weiavdxdx 422420d wd wkdxdx22avkei

34、或或第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page541234sincoswckxckxc xc 00,0mm lvleix422420d wd wkdxdx22avkei 方程的通解方程的通解对于四阶微分方程要考虑位移与力的边界条件，铰支对于四阶微分方程要考虑位移与力的边界条件，铰支端力的边界条件可表示为端力的边界条件可表示为 m xeiw 注意到：注意到：铰支端力的边界条件可改写为铰支端力的边界条件可改写为 00,0wwl第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page551234sincoswckxckxc xc问题边界条件可写为问题边界条件可写为 00,000,0www lwl 1sin

35、0ckx ,1klnn 取取creivla vleix代入方程的通解代入方程的通解得得第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page56例：例： 大柔度立柱，失大柔度立柱，失稳时结构如何运动？稳时结构如何运动？aa截面截面fzxaab3b 旋转失稳旋转失稳第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page57问题：欧拉公式适用范围？如何研究此问题：欧拉公式适用范围？如何研究此范围之外的压杆的失效？范围之外的压杆的失效？欧拉公式一般表达式欧拉公式一般表达式 2 2 cr2()eifl第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page58一、一、 临界应力与柔度临界应力与柔度crcrfa 22cr eia

36、l 临界应力临界应力 22cr eifl 定义定义aii 截面的惯性半径，只与截面形状相关截面的惯性半径，只与截面形状相关il 压杆的柔度或长细比，无量纲量压杆的柔度或长细比，无量纲量 22 ecr 欧拉公式可以写成欧拉公式可以写成 综合反映了压杆长度综合反映了压杆长度l，支撑方式支撑方式 与截面几何与截面几何性质性质i对临界应力的影响。对临界应力的影响。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page59二二、 euler公式的适用范围公式的适用范围22crpe pe 令令ppe p euler公式的适用条件：公式的适用条件： p 的的压杆，称为大柔度杆压杆，称为大柔度杆 p：材料常数，仅与材

37、料弹性模量材料常数，仅与材料弹性模量e及比例极限及比例极限 p有关有关第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page60三、临界应力的经验公式三、临界应力的经验公式p 的压杆的压杆非细长杆非细长杆，属于超过材料比例极限的属于超过材料比例极限的稳定问题，通常用经验公式计算。稳定问题，通常用经验公式计算。 （i）直线型经验公式）直线型经验公式(合金钢、铝合金、铸铁与松木等合金钢、铝合金、铸铁与松木等) bacr 式中式中a, b为材料常数，单位为材料常数，单位mpa, 可查表。可查表。 临界应力不能小于材料的极限应力临界应力不能小于材料的极限应力 cu，令，令:0cuab p，大柔度杆；大柔度杆；

38、 0 0 p，中柔度杆；，中柔度杆； 强度安全因数。强度安全因数。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page6822crelalii crab二、压杆的合理设计二、压杆的合理设计依据：依据： 欧拉公式欧拉公式经验公式经验公式临界应力总图临界应力总图1. 合理截面形状：合理截面形状： ,iori a 选择惯性矩较大的截面形状选择惯性矩较大的截面形状 注意失稳的方向性注意失稳的方向性第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page69 注意失稳的方向性注意失稳的方向性zzzlia yyylia 在在x-yx-y平面失稳平面失稳1z . 0 7y 在在x-zx-z平面失稳平面失稳 z y，设计设计i iz ziiy y; 等稳定设计等稳定设计：/zzyyii 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题page70 2.合理选择材料：合理选择材料：大柔度压杆：大柔度压杆： e e 较高的材料，较高的材料， cr 也高，各种钢材也高，各种钢材（或各种铝合金）的（或各种铝合金）的 e e 基本相同基本相同22crelalii 依据：依据： 欧拉公式欧拉公式中柔度压杆：中柔度压杆： 强度较高的材料，强度较高