矩阵的思想及解题技巧和学习方法

1、20081672数学0802班杨招矩阵的思想及解题技巧和学习方法摘要:矩阵不仅是数学中一个极其广泛的概念，而且矩阵的思想及它的运算和性质也成为了解决数学上众多问题的关键，同时解决了很多生活中的实际问题。本文就从矩阵的基本运算和性质入手，运用矩阵的思想，结合实例来看待代数学中的计算解题问题和实际生活中的问题。并浅谈一些自己在学习中总结的学习方法和对数学学习的理解。关键词：矩阵的运算，矩阵思想，解题技巧，学习方法，矩阵的应用导言：矩阵是数学中重要的基本概念,是代数学的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具。因而，矩阵在数学领域研究中有着无可替代的作用，不仅为线性代数提供了研究

2、解题的平台，也为数学运算效率及其它各个领域的发展提供了有力的运算工具。所以，对于矩阵的研究毋庸置疑是有价值的，有意义的。首先，对于数学的学习和研究就是必不可少的，它不仅贯穿于高等代数的始末，而且在其它方面也起着重要作用。其次，它大大简化了我们在学习当中复杂的解题过程，并且提供了更多的解题思路和方法。下面我们就先通过了解矩阵的一些基本性质和运算法则。然后利用矩阵的思想来看待问题，并结合运用这些简单性质和运算法则来解决我们学习当中遇到的问题，随之探讨并介绍一下解题思路和技巧及其自己在数学学习方法上的一点感想和理解。最后，阐述一下矩阵思想在生活和学习中的应用，并用实例说明矩阵在生活中的重要性和在学习

3、和研究方面的必要性。一、矩阵的概述和矩阵的运算及性质矩阵无论是学习还是应用，我们首先要知道的是它的性质和运算法则，没有他们的研究，就谈不上对学习和应用有任何应用。因而，了解矩阵的性质及运算是应用于其它领域的前提。把一组数字记录成矩阵形式是没有意义的，学习矩阵的关键在于掌握矩阵之间的运算。有了矩阵的运算才会有矩阵的研究和在其它方面的应用。因而我们就从了解矩阵的运算及性质开始。1、矩阵的概念由mn个数排成的m行n列的矩形表 称为m×n矩阵,记作a或,也可记作(ij)或。数称为矩阵的第i行第j列的元素。当矩阵的元素都是某一数域f中的数时,就称它为数域f上的矩阵,简称f上的矩阵。当m=n时，

4、矩阵a称为n阶矩阵或n阶方阵,此时11,22,nn称为n阶矩阵的对角线元素，当所有的非对角线元素ij(ij)均为零时，a就称为n阶对角矩阵,简称对角矩阵。当对角线下面(或上面)的所有元素均为0时,a就称为上（或下）三角矩阵。 在m×n矩阵a中取k个行和k个列,km，n；由这些行与列相交处的元素按原来的位置构成的k阶行列式,称为矩阵a的k阶子式。一个n阶矩阵a只有一个n阶子式,它称为矩阵a的行列式，记作a或deta。 2、矩阵的运算矩阵运算有以下性质： 矩阵加法：a+b=b+a， a+(b+c)=(a+b)+c， a+o=a;a+(-a)=o；只有同型的两个矩阵才能进行加法运算。矩阵数

5、乘和乘法：k(a+b)=ka+kb，(k+l)a=ka+la，k(la)=(kl)a；k(ab)=(ka)b=a(kb)，a(bc)=(ab)c，(a+b)c=ac+bc，a(b+c)=ab+ac； akal=ak+l,akl=akl；ak=ak只有当第一个矩阵(左矩阵) 的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘。矩阵的转置：att=a， a+bt=at+bt，abt=btat，kat=kat；n阶方阵的行列式：at=a;ka=kna;ab=ab=ab；3、矩阵的逆有n级方阵b,使得ab=ba=e，a可逆。a-1-1=a，ab-1=b-1a-1;a-1=1a=a-1；at-1=

6、a-1t;伴随矩阵：aa*=a*a=ae； a-1=a*a；a*=an-1；分块矩阵：分块矩阵是为了简化矩阵的运算，与普通矩阵的运算相似。对称矩阵：at=a； 反对称矩阵：at=-a；初等矩阵和初等变换：初等矩阵是由单位矩阵e经过一次初等变换得到的矩阵。aeea-1; aeea-1矩阵的秩：r（a）是a的非零子式的最高阶数。r（a）=nó|a|0；ra=rat; rabminra,rb；若ab，则r（a）=r（b）；二、矩阵思想及解题技巧矩阵思想，顾名思义就是运用矩阵的概念和运算性质，把它应用到其它方面，使其问题得到解决。在其他领域有些的问题归根结底都要用到矩阵的运算，通过矩阵思想来

7、解决问题，同时矩阵思想的应用也大大加快了运算速率，为解决实际问题提供了通道。由于本人是学习数学专业的学生，也是刚学习数学一年，学习的东西也很少，对数学的本质没有很深的了解，也无法写出深层次的数学问题，但我从一年的学习当中了解总结了一些数学上的一些解题方法。下面我就结合矩阵的思想来看待数学上的一些解题问题。例如：用非退化线性替换化二次型为标准型fx1,x2,x3=2x1x2+2x1x3-6x2x3解一：传统方法是配方法：fx1,x2,x3=2x1x2+2x1x3-6x2x3作非线性变换： x1=y1+y2x2=y1-y2x3=y3 f=2y1+y2y1-y2+2y1+y2y3-6y1-y2y3=

8、2y1-y32-2y32-2y22+8y2y3再令：z1=y1-y3z2=y2 z3=y3 则f=2z12-2z22+8z2z3-2z32=2z12-2z2-2z32+6z32最后令：w1=z1 w2=z2-2z3 w3=z3 则二次型可化为标准型为fx1,x2,x3=2w12-2w22+6w32。解二：二次型fx1,x2,x3=2x1x2+2x1x3-6x2x3的矩阵为a=01110-31-30，ae=01110010-3010-1-3000121-211010-3010-2-3000120-2 110 0-12-2-12120 -2-20001200110 0-12-2-12120 0-2

9、-2111200110 0-120-12120 0063-11（合同变换）200110 0-20-110 0063-11这时，p=1-1311-1001， ptap=2000-20006，则二次型可化为标准型为fx1,x2,x3=2y12-2y22+6y32。解三：二次型fx1,x2,x3=2x1x2+2x1x3-6x2x3的矩阵为a=01110-31-30，它的特征多项式为： a-e=-11 1-3 1-3-=-2+2-6于是a的特征值为1=2，2=-2，3=6.当1=2时，解方程（a-2e）x=0,得其基础解1=1，1，0t；当2=-2时，解方程（a+2e）x=0,得其基础解2=-1，1，

10、0t；当3=6时，解方程（a-6e）x=0,得其基础解3=3，-1，1t；则当非线性变换c=1-1311-1001时，得二次型的标准型为fx1,x2,x3=2y12-2y22+6y32。解毕。矩阵在我们的数学数学学习当中，既是基础，又是核心。它解决了大多数线性代数方面的问题，例如依靠矩阵运算我们能解决：向量的线性关系与线性表示；线性变换及运算；向量空间的基及基变换；求解线性方程组；不变子空间与对角化问题；内积空间与正交向量组；二次型化为标准型；正定性问题等等。同时矩阵的思想也贯穿这些问题的始末，为解决这些问题提供了平台。矩阵思想的应用在数学解题中应用很广泛，同时也涉及到很多知识。以上只是矩阵知

11、识的一小部分运用，其中的解题技巧也在比较中凸显而出，方法的不同代表的是思想的不同，矩阵的思想由此得到运用。最后也让我们看到解题技巧的重要性，并不是所有问题只要解决出来了就结束了，我们还得讲方式方法，应用实际的可行性，所以这是我们在平时的学习中应当注意。三、学习技巧和学习方法无论我们是在中学还是在大学，无论我们学习什么，学习都要掌握学习的技巧和方式方法。我们需要的是有规律的，高效率的学习，而不是盲目的一头扎进书堆里乱学。因而掌握学习技巧和学习方法就显得尤为重要，尤其实大学的专业学习。（一）、要树立学习目标还要有适合自己的学习方法。大学的学习比中学更复杂更高级，同时也要求我们更加自觉、更为独立，学

12、习动机的强弱对我们的学业成就有着极大的影响。在高中阶段，我们的学习目标很明确考上大学，再加上老师和家长的监督，所以学习抓得很紧。但一旦目标实现，考上大学后我们就容易产生松懈心理。进入大学后如果我们没有及时树立起进一步的学习目标，学习就会没有了动力。我们新生一般自我控制能力较差，容易受其他同学的影响，有时还会模仿高年级学生的做法。如果我们入学后身边有比较懒散的人，自己又没有一个明确的学习目标，渐渐便失去了自控能力。所以我们在大学入学后应尽快建立新的学习目标，以适应大学校园的学习气氛。一年的大学学习过去了，我看到大学里面的学习气氛是外松内紧的，在大学里根本没有人监督你，没有人主动指导你，没有人给你

13、制订具体的学习目标，每个人都在独立地面对学业，每个人都该有自己设定的目标，每个人都在为自己的明天做规划。（二）、承袭过去在高中阶段的学习方法，有规律、有计划、有方向的的学习。在一年的数学专业学习后，大学数学的授课方式虽然仍是以课堂讲解为主，但与中学有几个较大的不同，那就是大班上课、速度快、信息量大，老师讲课时内容重复少、课堂提问少、课后交流少。也就是进入大学后，以教师为主导的教学模式变成了以学生为主导的自学模式。教师在课堂讲授知识后，学生不仅要消化理解课堂上学习的内容，而且还要阅读相关方面的书籍和参考资料。自学能力的高低成为影响学业成绩的最重要因素。这种自学能力包括：能独立确定学习目标，能对教

14、师所讲内容提出质疑，会归纳总结所学习的内容，并能表达出来与人讨论。其实在每一个学习阶段都需要有自学能力，只是在不同的教育阶段对自学能力的要求不同。基础教育阶段对自学能力的要求没有那么突出，到了大学是个质的飞跃。课堂学习只是大学学习中的一小部分，更多的知识要靠自学。在这里老师充当的是引路人的角色，我们必须学会自主地学习、探索和实践。从旧的学习方法向新的学习方法过渡，是我们每个大学新生都必须经历的过程。因此我们要做好思想准备，面向以后，总结过去一年自己的学习成果和想法，就下一阶段的学习做好充足的准备，少走弯路，减少心理压力，促进成绩的提高。即使这些是老生常谈的问题，但我们仍然应当时刻注意，时刻提醒

15、自己在干什么。我们不应该忘了我们的本质是来学习的，而不是来享受的，无论你是学习知识还是学习能力。在这里我还想谈谈对我自己学习数学专业的一点理解和感想：在大学学习数学，尤其是学习数学专业的学生，完全可以在掌握数学知识的同时，使自己的心理和智能受到引导和启迪。虽然一些其它专业的学生认为所学的数学知识在毕业进入社会后没有什么应用机会，但我想说，无论你从事什么工作，深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方式、研究和推理的方法等，都会随时发生作用，使我们受益终生。通过深入学习进一步培养计算能力、逻辑思维能力、概念的理解能力、空间想象能力，又培养了处理离散问题、连续问题、随机问题的能力及利用数学解决实际问题

16、的能力，还能培养自学新知识的能力。这就是我们学习的目的学为之所用。有的学习可能学了会没用，但不学你一定没用。学习方法有多种多样的，也没有千篇一律的方法。学习方法因人而异，没个人都有自己的学习方式，我们不强求一定要每个人都遵循一种方法来学习，显然是不科学的，但是学习的目的大体是一样的，都是为了理解、熟练掌握并应用所学知识。因此我们应当寻找一个属于一个自己的做事学习方式，坚定自己的信念。四、矩阵在生活和学习中的应用1、矩阵在学习上的应用在我们的学习代数学内容时，几乎没有不涉及到矩阵的，并且运用矩阵来解题。例如矩阵的初等变换可以解决，如计算逆矩阵；矩阵的左除与右除，即求形如p-1a与aq-1的矩阵；

17、计算矩阵的秩；判定向量组的线性相关性；求极大线性无关组；求解线性方程组；对角标准型与jordan标准型；二次型的对角化等等问题。矩阵是我们其它研究性学习的重要工具，同时矩阵的运算为我们的解题搭建了桥梁。2、矩阵在生活中的应用矩阵在实际生活中也应用广泛。在生活、工作中时常涉及到矩阵问题，需要运用矩阵的思想来解决问题。运用矩阵可以解决图形学上的画图问题，如图的邻接矩阵。矩阵的高次幂的应用人口流动问题；矩阵的密码问题；资源的利用问题；最小费用问题；物资调用于分配问题等等都需要我们用到矩阵来解决。矩阵的应用可以说是无处不在，因此矩阵的研究学习是必要的，是极富有价值的。五、结束语学习上有很多问题，之所以

18、我们没有发现，是因为我们还没有认真的深入学习中，钻研到问题中。即使一个概念，它都会涉及很多内容，而且可能是学习研究上有价值的，而不是我们现在简单的认为它只是个概念而已。因而，我们应当主动寻找问题，探索问题，合理运用问题。不仅要把我们在学习中总结的好方法运用的学习上，还要让其应用到实际生活中。我们的学习不应当单纯的看做是在学习，而是运用学习，培养能力和联系实际。我们的学习的空间很广，学习的内容也很多，问题是我们不断研究下去动力，所以我们应该不遗余力的发现问题，解决问题。参考文献：1：高吉全；矩阵初等变换的方法和应用研究m；北京:中国工人出版社；2000:96-1082：王萼芳，石生明修订；高等代数m(第三版)；北京:高等教育出版社；2003:12-183：凌征求；矩阵初等变换的几个应用j；玉林师范学院学报；2001 (22):37-404：李小刚主编；线性代数及其应用；科学出版社；2006.85：陈公宁著；矩阵理论与应用；高等教育出版社； 1990.96：胡适耕，刘失忠编著；高等代数：定理问题方法；科学出版社；2007 7anderson, neil and m. a. west. the tea