矢量分析与场论

1、第一章第一章 引言引言 1.6矢量分析矢量分析与与场论场论步入步入微分形式微分形式麦克斯韦方程的麦克斯韦方程的数学准备数学准备第四讲第四讲积分与微分形式的麦克斯韦方程sl dstbdle sl dstdjdlhvvsdv dsd0 sdsbtbe0 btdjhv d积分形式积分形式微分形式微分形式积分形式的麦氏方程积分形式的麦氏方程反映场在反映场在局部区域的平均性质局部区域的平均性质，而微分，而微分形式的麦氏方程形式的麦氏方程反映场在空间反映场在空间每一点性质每一点性质。 是什么？是什么？ 是什么？是什么？ 是什么？是什么？1. 矢量分析初步矢量分析初步概念：标量、矢量与场标量标量：只有大小，

2、没有方向，这种物理量叫做标量，如温：只有大小，没有方向，这种物理量叫做标量，如温度度t、电荷密度、电荷密度 。矢量矢量：要用大小及方向同时表示的物理量叫矢量。如速度：要用大小及方向同时表示的物理量叫矢量。如速度v、电场强度、电场强度e。场场：如果在空间域：如果在空间域 上，每一点都存在一确定的物理量上，每一点都存在一确定的物理量a，我们就说：场域我们就说：场域 上存在由场量上存在由场量a构成的场。构成的场。如果如果a是标量，我们就说场域是标量，我们就说场域 上存在一上存在一标量场标量场；如果；如果a是是矢量，则说明场域矢量，则说明场域 上存在一上存在一矢量场矢量场。场是物质存在的一种形态，但有

3、别于实物粒子场是物质存在的一种形态，但有别于实物粒子。在空间同。在空间同一点上同时允许存在多种场，或者一种场的多种模式。这一点上同时允许存在多种场，或者一种场的多种模式。这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。你能列举多少标量、矢量、场？你能列举多少标量、矢量、场？矢量表示及其加法运算矢量可表示成：矢量可表示成：0aaa 模模单位矢量单位矢量矢量加法矢量加法（按四边形法则进行）（按四边形法则进行）矢量的点乘和叉乘ab = baa b = -b a场量的空间位置表示场量的空间位置表示空间位置：空间位置：（位矢）（位矢）模模直角坐标系直角坐标系中单位矢量中

4、单位矢量之间的关系：之间的关系：场矢量：场矢量：ab与与ab计算计算算符算符 是一个矢量。是一个矢量。 与一般的矢量不同，它有微分运算功能。与一般的矢量不同，它有微分运算功能。 作用于一标量场作用于一标量场 ( (x x, , y y, , z z) )可得到一个矢量可得到一个矢量000zyxzyx000000zyxzyxzyxzyx算符算符:算符算符 作用于一矢量场，如果是叉积运算，得到一个新的矢作用于一矢量场，如果是叉积运算，得到一个新的矢量场量场zayaxaaaazyxzyxzyx000000zyxzyxa222222000000zyxzyxzyxzyxzyx000000zyxzyxay

5、axaxazazayaaaazyxxyzxyzzyx 作用于一矢量场作用于一矢量场a(x, y, z) ，如果是点乘运算得到一，如果是点乘运算得到一标量场标量场2. 场论初步场论初步等值面、方向导数与梯度梯度梯度：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最大方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，大方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最大方向导数即最大方向导数梯度grad = 的表达式标量场梯度的物理意义矢量矢量总之总之： 位函数的梯度位函数的梯度是一矢量，其方向为位变化是一矢量，其方向为位变化最陡的方向，大小为位变化最大方向上的变化率。最陡的方向

6、，大小为位变化最大方向上的变化率。充分描述了场空间变化特征标量场标量场 的的梯度梯度充分描述了标量场充分描述了标量场 在空间变化的在空间变化的特征特征: 场中任一点（场中任一点（x, y, zx, y, z）沿任一方向的变化率（即方）沿任一方向的变化率（即方向导数）是不一样的。最大变化率（即最大方向导数）向导数）是不一样的。最大变化率（即最大方向导数）的方向就是梯度的方向就是梯度的方向，最大变化率（即最大方向的方向，最大变化率（即最大方向导数）就是梯度导数）就是梯度的大小。的大小。 在任一方向在任一方向l0 的投影（的投影（l0）就是该方向的）就是该方向的变化率变化率（即该方向的方向导数）。因

7、此梯度（即该方向的方向导数）。因此梯度是描述是描述标量场标量场 随空间变化特性非常好的一个物理量。随空间变化特性非常好的一个物理量。经过经过梯度运算，可由一个标量场得到一个矢量场梯度运算，可由一个标量场得到一个矢量场通量的定义：通量的定义：场矢量场矢量a沿有向曲面沿有向曲面s的曲面的曲面积分。积分。矢量场通量的物理意义如定义如定义an为矢量为矢量a在面元法线在面元法线n方向的投影，方向的投影，则则ads=ands；若把；若把a理解为流体的流速，则理解为流体的流速，则ands就表示穿过就表示穿过ds的流量，的流量，这就是叫通量的原这就是叫通量的原因。因。对于闭曲面对于闭曲面s，取其外侧为正，则，

8、取其外侧为正，则表示表示a从从s流出的通量流出的通量表示？表示？ 0 时，时， 0 时，时， = 0 时，时，表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流入，存在流体负源表示有净流量流入，存在流体负源表示没有净流量流出，无净流体源表示没有净流量流出，无净流体源取一立方体单元，体积为取一立方体单元，体积为 v x y z, 考虑考虑x方向分量方向分量场量场量梯度梯度的的散度散度拉氏算符拉氏算符 2 矢量场a沿有向闭合曲线l的环量ldla矢量场矢量场a在闭合线上的线积分在闭合线上的线积分定义为定义为a沿沿l的环量的环量旋度curl a环量面密度环量面密度a沿正沿正 l方向

9、的环量方向的环量与面积与面积 s在在m点处保持以点处保持以n为法线方向条为法线方向条件下，以任意方式推向件下，以任意方式推向m点时，点时，其极限为：其极限为：这称为这称为矢量场矢量场a在在m点处沿点处沿n方向的环量面密度方向的环量面密度，它，它是一个是一个与方向有关与方向有关的量。的量。旋度curl a的定义与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，梯度在某一方向上的投影就是该方向的方向导梯度在某一方向上的投影就是该方向的方向导数；当数；当n方向与方向与curla方向一致时，得到最大方向一致时，得到最大环量在密度。环量在密度。旋度curl a的计算cbay

10、z0dlyz矢量场旋度在一个面积元上的计算矢量场旋度在一个面积元上的计算abcddaonzyzylyzyzdzadyadzadyadcdonbconabonyzla旋度curl a的计算(1)当矩形当矩形abcd0时，即时，即 y, z0, 这时这时ay，az近似为近似为常常数数，则：，则： 因此因此旋度curl a的计算(2)同理：同理：斯托克斯定理有限面积有限面积s分解成面元分解成面元 sn（0），），由旋度定义，则有：由旋度定义，则有：左边为：左边为：右边为：右边为：相邻面元交界相邻面元交界线上的线积分线上的线积分相互抵消相互抵消矢量场的分类矢量场的分类(1)亥姆霍兹定理一个矢量场的性质

11、由一个矢量场的性质由激发场的源激发场的源来确定来确定源有两类：散度源（通量源）源有两类：散度源（通量源） 旋度源（涡旋源）旋度源（涡旋源）q: 若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该矢量场？矢量场？a: 能！这就是亥姆霍兹定理能！这就是亥姆霍兹定理如果在体积如果在体积v内的矢量场内的矢量场a的散度和旋度已知，在的散度和旋度已知，在v的的边界边界s上上a的值也已知，则在的值也已知，则在v内任一点内任一点a的值能唯一的值能唯一确定。（证明略去）确定。（证明略去）据此定理，任一矢量场据此定理，任一矢量场a能分解为一个无旋场和一个能分解为一个无旋场和一

12、个无源场之和。无源场之和。产生场的源(r, t)、 j(r, t)怎么表示？产生场的源产生场的源 (r, t)、 j(r, t)或其对应复量或其对应复量 (r)、 j(r)的表示的表示体电荷密度体电荷密度 v(r)c/m3面电荷密度面电荷密度 s(r)c/m2线电荷密度线电荷密度 l(r)c/m点电荷点电荷qc体电流密度体电流密度jv(r) = vva/m2面电流密度面电流密度js(r) = sva/m线电流密度线电流密度jl(r) = lva半导体中半导体中jc= ve v = v ee = ee （电子导电）（电子导电）jc= vh v = v he = he （空穴导电）（空穴导电）by

13、by:矢量运算的几个恒等关系由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出以下矢量运算恒等关系：以下矢量运算恒等关系：例题1-9证明：直角坐标系下证明：直角坐标系下(a)( a)- 2a解：解：例题1-10例题例题1-10(1)小结、复习复习要点复习要点n算符算符 既是矢量，又有微分运算功能既是矢量，又有微分运算功能。 作用于一标量场作用于一标量场 可得到一矢可得到一矢量场量场。 作用于一矢量场作用于一矢量场a，如进行点积运算得到一标量场，如进行点积运算得到一标量场 a，如果进行一矢积运算可得到一矢量如果进行一矢积运算可得到一矢量a。n标量场标量场 的的梯度梯度grad 是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向大变化率方向 grad = n矢量场矢量场a的散度的散度diva反映反映矢量场的通量体密度矢量场