第五章生存年金

1、第五章第五章 生存年金生存年金本章教学目的：通过本章学习，要求学生理解生存年金在寿险中的重要地位，认识到年金保险是一种生存保险，学会区分生存年金和确定年金，掌握不同条件下的生存年金的精算现值的计算原理和方法，并能加以应用。本章重点与难点：在整个寿险中，生存年金有哪些表现形式；每年支付多次与每年支付一次的区别、生存年金与确定年金的共性、现值与终值计算的基本原理与思想、完全期末生存年金与比例期初生存年金的比较及其优越性。本章教学内容：主要介绍生存年金的基本概念，基本计算原理和不同条件下的生存年金的计算方法。生存年金v生存年金的定义：以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保

2、险金的保险类型v分类初付年金/延付年金连续年金/离散年金定期年金/终身年金非延期年金/延期年金生存年金与确定性年金的关系v确定性年金支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）v生存年金与确定性年金的联系都是间隔一段时间支付一次的系列付款v生存年金与确定性年金的区别确定性年金的支付期数确定生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）生存年金的用途v被保险人保费交付常使用生存年金的方式v某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的方式，特别在：养老保险伤残保险抚恤保险失业保险 假设某人x岁时开始投保，为方便通常记为(x)，在经过 n年后如果仍存活将得到金额为k的生存保险金，(x)存活n年的概率

3、为 。也就是说(x)在n年末能够得到k金额的概率为 ，这样n年末得到给付金的期望值为 。这一值在投保时的现值便为 。我们把这一现值称为 k金额的n年纯粹生存保险现值。定义v现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险。v也就是我们在第三章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为v在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精算现值xnnnxxnpvae1:1: x nanxe 式中， 称为转换函数； 是1元n年纯粹生存保险现值又称为1元n年纯粹生存保险的趸缴净保费。这一公式表明，现在 x岁的 人每人存入入 到n年末在复利率i的作用下生成的金额 正好满足到n年

4、末仍存活的 人每人1元给付。因此为保证n年末存活者得到每人1元保险金，在投保时必须一次性缴付 元。这正是前面把 称为趸缴净保费的原因。 人缴付 后，在n年内必然有一部分人在死亡率作用下死去，从而不可能在n年末领到保险金，他们当初购买保险的支出被尚存者分享。保险中把这种尚存者分享期内死亡者利益的情况称为生存者利益或简称为“生者利”。与 是利率下的折现因子、 是利率下的累积因子类似， 可以看作是在利率和生者利下的折现因子， 可以看作是利率和生者利下的累积因子。相关公式及意义 (1)(1)11(2)(1)1(3)nxnxx nnxnnxnxx ntxnxtxn tx tnxn tx tleillsi

5、evpleeeeee年龄xx+tx+n现时值11s1nxen tx tetxe5.1 n年期满一次性支付的生存年金年期满一次性支付的生存年金v一、（x）在n年期满生存所得的1单位的精算现值v 二、替换函数v nnxnxevpxxxdv lnx nnxnxxdevpd5.2.1期末付终身生存年金 终身生存年金的保险期没有限制，只要被保险人存活，每隔一定时期保险人就必须给付一定金额与被保险人。假设某人从x岁开始投保，记为(x)，第一次给付在第一年年末，以后每隔一年以被保险人存活为条件给付。假设每年给付额为1元，此时，这一生存年金现值以 表示，用图41表示。 显然， 是保险期分别为1年、2年、3年等

6、一系列1元纯粹生存保险现值之和。即 公式(446)的求和上限实际为w-x-1，w-1是生命表最大年龄。为方便通常写为 。期末付n年定期生存年金v n年定期生存年金的年金给付期最大为n，因此它相当于终身生存年金的一部分。以 表示对(x)的每年1元期末付n年定期生存年金现值。n年延期的m年定期期末付生存年金v 这是延期年金与定期年金的合并，即延期n年后进入年金实付期，并在最多给付m年后结束给付。以 表示1元给付的这一年金现值，则5.2.2 期初付终身生存年金1期初付n年定期生存年金n年延期期初付生存年金5.2 每年支付一次的生存年金小结每年支付一次的生存年金小结v一、期初付生存年金v1、终身生存年

7、金: v 其中 v2、n年定期生存年金： 221.xxxxxnavpvpd 12.xxxxnddd2121:1.nxx nxxnxx nxnnavpvpvpd 5.2 每年支付一次的生存年金每年支付一次的生存年金v3延付n年的终身生存年金：v4延付n年的m年定期生存年金：v x nxnxnadx nx n mxn mxnnad 5.2 每年支付一次的生存年金小结每年支付一次的生存年金小结v二、期末生存年金v1终身生存年金：v2n年定期生存年金：212.xxxxxnavpvpd2112:.nxx nxxnxx nxnnavpvpvpd 5.2 每年支付一次的生存年金每年支付一次的生存年金v3延付

8、n年的终身生存年金：v4延付n年的m年定期生存年金： 1x nxnxnad 11x nx n mxn mxnnad 5.2 每年支付一次的生存年金每年支付一次的生存年金v三、生存年金的精算终值：v1v2、:x nxx nx nnxx nannsed:11:x nxx nx nnxx nannsed 例5.1v设对60岁的人每年年末给付养老金10000元，直到死亡，求该年金的精算现值（i=6%）v解：616060279104.3510000100001000026606.02104902.71(nad元）例5.2v 某人现年35午，欲购买一份10年起每年年初给付1000元的生存年金，求该年金的精

9、算现值（i=6%）v解：253525:10|25100010003762125.121985692.011000228384.9477782.39(nnad元）作业：v 1.试分别计算一现年60岁者购买期末及期初付金额1000元的终身生存年金的精算现值（i=6%）v2.某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得的年金额（i=6%v3.年龄为55岁者，购买下列生存年金，每年给付年金额 为3500元，试分别求其应缴的趸缴纯保费: (1)期初付和期末付15年定期生存年金；（2）期初付和期末付终身生存年金；（3）在60岁时开始支付的终身生存年金；（4）在60岁时开

10、始支付的15年定期生存年金（i=6%）几种变额年金v5.5.1 递增的终身生存年金v 可见， 可以看成终身生存年金、延付1年的终身生存年金、延付2年的终身生存年金等的组合。5.5.2 递增的n年定期生存年金 5.5.3 n年定期递增的终身生存年金 5.5.4 递减的n年定期生存年金 这一年金可以看成每年给付1元的定期n年,n-1年,n-2年1年等年金的组合。因此5.2 每年支付一次的生存年金小结每年支付一次的生存年金小结v四、变额生存年金v1、递增年金 ，其中 v ()xxxsiad12.xxxxs n n n :()xx nx nx nxssnniad()xx nxnxssi ad5.2 每

11、年支付一次的生存年金每年支付一次的生存年金1()xxxsiad111:()xx nx nx nxssnniad 11()xx nxnxssi ad 5.2 每年支付一次的生存年金每年支付一次的生存年金2、递减年金v v 11:()()xxx nx nxnnssdad 1()()xxx nxnxnnssd ad5.2 每年支付一次的生存年金每年支付一次的生存年金121()()xxx nxnxnnssd ad 122:()()xxx nx nxnnssdad 5.3 每年支付每年支付m次的生存年金次的生存年金v一、期末付年金v1、终身生存年金：v2、延付n年的终身生存年金：v3、n年定期生存年金：

12、12()121(.)mmmxxxmmavpvpm()()mmxnxx nnaea()()():mmmxxnx naaa5.5 每年支付每年支付m次的生存年金次的生存年金v二、期初付年金v1终身生存年金：v2延付n年的终身生存年金：v3n年定期生存年金：12()121(1.)mmmxxxmmavpvpm()()mmxnxx nnaea()()():mmmxxnx naaa 每半年、一季或一个月结付一次、一年给付多次的生存年金，其现值和终值的计算方法与前面讨论的每年给付一次的情况相同。但由于生命表不直接提供非整数年龄的存活概率和死亡概率，因此，需要用到一些近似的换算方法。 对(x)的每年给付1元，

13、一年给付m次的期末付终身生存年金，其现值以 表示。显然这一年金每次给付额为 ，以图43表示。一年内m次给付的生存年金近似计算v非整数年龄的转换函数 值可以在一定假设下近似计算，最简单的近似方法是在两个整数年龄间线形插值v上面年金在期首给付时，以 表示其现值：v 对(x)延期n年的每年给付1元，一年给付m次的期末付生存年金，现值以 表示：5.5.5 一年内m次给付的递增年金v 一年多次给付的递增年金有两种不同的情况，第一种是年内各次给付额相等，变额发生在不同年龄上。对(x)的第一年给付1元，以后每年增加给付1元，各年的给付额通过m次等额给付实现的期末付终身生存年金，其现值以 表示，见图v这一年金

14、可以分解为一系列一年m次给付的延期年金之和v第二种每年m次给付的递增年金是给付额随给付的延续不断递增的年金。对(x)的第一年末给付 ，第二年末给付 等，每年给付额通过m次递增给付实现，则第一个 给付额为 ，第二个 年给付额为 等。每个 年递增 ，这一年金现值用 表示，见图48水平给付的一般公式v在年龄y岁时提供给付额为r的年金在年龄x岁时的精算值为：vxy，精算终值xyxxyddrerv在年龄y岁、y+1岁、y+2岁、z-1岁分别提供r的生存年金，以x岁的精算现值为：vx是计算精算值对应的年龄vy是年金第一次给付对应的年龄vz 是年金最后一次给付一年以后对就的年龄11()yyyzzxxxxr

15、dr dr nnr ddddd一年给付m次的水平年金的一般公式()()()mmyzxr nnd()12mxyxmnndmp92p94x是计算精算值对应的年龄y是年金第一次给付对应的年龄z 是年金最后一次给付以后 年以后对就的年龄1m简介v连续生存年金的定义在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险v连续生存年金的种类终身连续生存年金/定期连续生存年金v连续生存年金精算现值的估计方法综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的总值当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和5.4 连续给付的生存年金连续给付的生存年金 连续递增年金v 上面讨论的一年多次给付的递增年金，当给付次数m趋于无

16、穷大时，成为连续递增年金。对年内各次给付额相等的递增年金，当m趋于无穷大时的连续年金以v 表示：对年内各次给付额递增的年金，当m趋于无穷大时的连续年金以 表示5.4 连续给付的生存年金连续给付的生存年金v1v2v3:0nttxx navp dt0txtxavp dttxtxnnavp dt5.5 完全期末生存年金和比例期初完全期末生存年金和比例期初生存年金生存年金xmmxai)()(:xmmxai)()(终身连续生存年金精算现值的估计一综合支付技巧v步骤一：计算到死亡发生时间t为止的所有已支付的年金的现值之和v步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，t

17、tva1dttfaaeatttx)()(0相关公式dtpvdttfaaeatxxtttttx001)()(1）（xxxtttxaaazeveaea1)1 (1)1()1()(2）（)(1)()(1)1()1()(32222xxtttttaaavarzvarzvarvvaravar）（终身连续生存年金精算现值的估计二当期支付技巧v步骤一：计算时间t所支付的当期年金的现值v步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的时间积分，得到期望年金现值tv0()ttxtxae vvp dt相关公式及理解nxxnxtnxaaazeyea：）（1)1 (1)1()(1)(1)()(1)1()(22:222nxnxt

18、ttaaavarzvarzvaryvar）（例5.2v在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求（1）（2） 的标准差（3） 超过 的概率。xatataxa例5.2答案v综合支付技巧v当期支付技巧1001 . 0004. 006. 00dtedteedtpvatttxttx004. 006. 0010)1 (06. 004. 01dteedtpvatttxxttx例5.2答案525)16. 025. 0(06. 01)(125. 004. 04 . 004. 02222204. 0012. 0204. 0006. 0txxtttxttxavaraaavareeaeea）（例5.2

19、答案54. 004. 0)06. 04 . 0lnpr()1006. 01pr()pr(306. 04 . 0ln04. 006. 0dteteaattxt）（例5.3v在de moivre假定下，v计算：终身连续生存年金精算现值及方差30,05. 0,100 x)(,30yvara例5.3答案458.1405. 0277. 011277. 07005. 01701)(458.147005. 0105. 0170105. 01)() 1 (30307005. 070005. 07003027005. 070005. 070030aaedtedttfvaoredtedttfaatttttt例5.

20、3答案4 .2605. 0066. 0)(1)(066. 0277. 01427269. 0)()(1427269. 01 . 0701701)() 2(22223030277001 . 07002302 zvarzvaryvaraazvaredtedttfvattt定期连续生存年金精算现值估计v综合支付技巧v当期支付技巧dtpvaxtntnx0：0 ,0 ,( )tnntxx tnxxntnatnyatnae yapdtap：相关公式及理解nxxnxtnxaaazeyea：）（1)1 (1)1()(1)(1)()(1)1()(22:222nxnxtttaaavarzvarzvaryvar）（例5.4（例5.3续）v在de moivre假定下，v计算：30年定期生存年金精算现值及方差30,05. 0,100 x30:30a例5. 4答案01.1305. 035. 01135. 07040701)(01.13707001.137040170105. 01)(30:3030:303005. 030005. 030303030030:3030005. 03030030:303005. 030005. 030303030030:30aaedtepvdttfvaordttedtpvaoredtepadttfaattttttttt延期连续生存年金v定义:v种类延付m年终身连续生存年金延