直线及圆的位置关系题型很全

1、Oxy 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响处，受影响的范围是半径长为的范围是半径长为30km的圆形区域已知港口位于台的圆形区域已知港口位于台风中心正北风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？它是否会受到台风的影响？ 为解决这个问题，我们以为解决这个问题，我们以台风中心为原点台风中心为原点 O，东西方向，东西方向为为 x 轴，建立如图所示的轴，建立如图所示的直角直角坐标系坐标系，其中取，其中取 10k

2、m 为单位为单位长度长度轮船轮船港口港口Oxy轮船轮船港口港口轮船航线所在直线轮船航线所在直线 l 的方程为：的方程为：02874yx 问题归结为圆心为问题归结为圆心为O的的圆与直线圆与直线l有无公共点有无公共点 这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的的圆的方程为圆的方程为: :922 yx想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1 1）直线与圆相交，有两个公共点；）直线与圆相交，有两个公共点；（1 1）（2 2）直线与圆相切，

3、只有一个公共点；）直线与圆相切，只有一个公共点；（2 2）（3 3）直线与圆相离，没有公共点）直线与圆相离，没有公共点（3）Cldrdr 相交Cldr 相切Cldr 相离已知直线已知直线 与圆与圆 ，判断它们的位置关系。判断它们的位置关系。3450 xy221xy已知直线已知直线 与圆与圆 ，判断它们的位置关系。判断它们的位置关系。3450 xy221xy已知圆的圆心是已知圆的圆心是O(0,0),半径是半径是r=1,圆心到直线的距离圆心到直线的距离223 04 05134dr 所以，此直线与圆相切所以，此直线与圆相切xyop已知直线已知直线l： 和圆心为和圆心为C的的圆圆 ，判断直线，判断直线

4、 l 与圆的位置关系；与圆的位置关系； 063 yx04222yyx 解法一解法一：圆圆 可化为可化为22240 xyy. 5) 1(22 yx其圆心其圆心C的坐标为（的坐标为（0，1），半径长为），半径长为 ，点，点C （0，1）到）到直线直线 l 的距离的距离522|3 0 1 6|55510231dr 所以，直线所以，直线 l 与圆相交与圆相交分析分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系（几何法）判断直线与圆的位置关系（几何法）； 例例1、如图，已知直线、如图，已知直线l： 和圆心为和圆心为C的的圆圆 ，判断直线，判断直线 l

5、与圆的位置关系；与圆的位置关系； 063 yx04222yyx已知直线已知直线 与圆与圆 ，判断它们的位置关系。判断它们的位置关系。3450 xy221xy已知直线已知直线 与圆与圆 ，判断它们的位置关系。判断它们的位置关系。3450 xy221xy已知圆的圆心是已知圆的圆心是O(0,0),半径是半径是r=1,圆心到直线的距离圆心到直线的距离223 04 05134dr 所以，此直线与圆相切所以，此直线与圆相切xyop例例2 设直线设直线 和圆和圆 相切，相切，求实数求实数m的值。的值。 02 ymx122 yx12) 1(20) 1(0222mmmd例例2 设直线设直线 和圆和圆 相切，相切

6、，求实数求实数m的值。的值。 02 ymx122 yx 解法一：已知圆的圆心为解法一：已知圆的圆心为O( 0, 0), 半径半径r =1,则则O到已知直线的距离到已知直线的距离由已知得由已知得 d=r , 即即解得解得 m=1122m3O(0,2)xy练习：练习：1、判断直线、判断直线4320 xy22(3)(5)36xy与圆与圆的位置关系。的位置关系。2、以、以C(1,3)为圆心，为圆心， 为半径的圆与直线为半径的圆与直线 相切，求实数相切，求实数m的值的值165370 xmy例例1：求过一点：求过一点P(-3,-2)的圆的圆x2 + y2 +2x 的切线方程。的切线方程。 例例1：求过一点

7、：求过一点P(-3,-2)的圆的圆x2 + y2 +2x 的切线方程。的切线方程。 解：设所求直线为（）解：设所求直线为（） 代入圆方程使代入圆方程使； 即所求直线为即所求直线为提问：上述解题过程是否存在问题提问：上述解题过程是否存在问题？X=-3是圆的另一条切线是圆的另一条切线34注意：注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系， 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条；若点在圆外，切线应有两条； 若点在圆内，无切线若点在圆内，无切线 2.

8、设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。 若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。直线与圆的位置关系返回结束下一页直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程. 直线与圆的位置关系返回结束下一页直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程. 2)2(432xxy或练习练习1.求过求过M（4，2）且与圆）且与圆 相切的直线方程相切的直线方程.22860 xyxy 1.过原点的直线与圆 相切，

9、若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）. xy3xy3xy33xy33C03422xyx 2.若直线（+a）x+y+1=0与圆相切，则a的值为（ ）0222xyx，D直线与圆的位置关系返回结束下一页 已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与圆C相交？比较：几何法比代数法运算量少，简便。比较：几何法比代数法运算量少，简便。dr题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，(1)判断直线l与圆的位置关系；(2)如果相交，求它们的交点坐标及弦长。代数法：代数法：3x +y6=0 x2 + y2 2y 4=0消去消去y得：得

10、：x2-3x+2=0=(-3)2-412=10所以方程组有两解，所以方程组有两解，直线直线L与圆与圆C相交相交22551031|3 0 1 6| 几何法：几何法：圆心圆心C（0，1）到直线）到直线L的距离的距离d= = r所以直线所以直线L与圆与圆C相交相交比较：几何法比代数法运算量少，简便。比较：几何法比代数法运算量少，简便。dr弦长弦长=22102 ( 5)()102 题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。圆的弦长的求法圆的弦长的求法1几何法：几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的

11、三边用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 设圆的半径为设圆的半径为r，弦心距为，弦心距为d，弦长为，弦长为L，则，则 2r2d2.2代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，两点， 解方程组解方程组 消消y后得关于后得关于x的一元二次方程，从而求的一元二次方程，从而求 得得x1x2，x1x2，则弦长为，则弦长为|AB| （此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式（此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 ） (其中其中x1，x2为两交点的横坐标为两交点的横坐标k为直线斜率为直线斜率)题型二题型二.若直线与圆相交，

12、求弦长问题：若直线与圆相交，求弦长问题：xyOAB422 yx例例1 1、已知直线已知直线 y=y=x+1 与与 相交于相交于A, ,B两点，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值解法一：（求出交点利用两点间距离公式）解法一：（求出交点利用两点间距离公式）xyOAB422 yx22212121422301717,221717,2217 1717 17(,), (,)2222|14yxyxyxxxxyyABAB 由消去得例例1 1、已知直线已知直线 y=y=x+1 与圆与圆 相交于相交于A, ,B两点，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值422 yx解法二：（弦长公式）解法二：（弦长公

13、式）xyOAB22212122212122214223031,2|(1)()43(1 1 )( 1)4 ()142yxyxyxxxxx xABkxxx x 由消去得1 1已知直线已知直线 y=y=x+1 与圆与圆 相交于相交于A, ,B两点，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值422 yx解解三：三：解弦心距解弦心距, ,半弦及半径构成的直角三角形半弦及半径构成的直角三角形）2221221 ( 1)| 214dABrd 设圆心设圆心O O（0 0，0 0）到直线的距离为）到直线的距离为d d，则，则xyOABdr2 2已知直线已知直线 y=y=x+1 与圆与圆 相交于相交于A, ,B两点

14、，求两点，求弦长弦长| |AB| |的值的值 练习：求直线3x+4y+2=0被圆 截得的弦长。03222xyx4.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线l：x-y+3=0当直线l 被C截得的弦长为 时，则a=( )(A) (B) (C) (D) 3222-21-212 C例例2 2、已知过点、已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线）的直线l l被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l l的的方程。方程。5 54 4.yOM.例例2 2、已知过点、已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线）的直线l l

15、被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l l的的方程。方程。5 54 4.yOM.X+2y+9=0,或或2x-y+3=0直线与圆的位置关系返回结束下一页例2:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得弦长为 ，求此圆的方程。72直线与圆的位置关系返回结束下一页例2:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得弦长为 ，求此圆的方程。解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2， 圆心(3b,b)到直线x-y=0的距离是|22|3|bbbd1)7(222bdr故所求圆的方程是(x-3)2

16、+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9。r=|3b|721.已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上任意一点，求(1)2x+3 (2)(x-2)2+(y-3)2 (3)y/(x+4)的取值范围2.已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1:x-3=0上，且 在直线l2:x-y=0上截得的弦长为 , 求圆C的方程723.已知圆C: x2+(y+4)2=4，求在两坐标轴上截距相等的圆 的切线方程4.已知点P是圆x2+y2=4上一动点，点Q(4,0),求线段PQ中点 的轨迹5.直线l过点P(0,2)且被圆x2+y2=4截得弦长为2，求l的斜率22:(2):40Cxl axya例3、设有圆+(

17、y-4) =9与直线(1)证明：无论证明：无论a为何实数，直线为何实数，直线l与圆与圆C恒相交恒相交(2)试求直线试求直线l被圆被圆C截得弦长的最大值截得弦长的最大值 22:(2):40Cxl axya例3、设有圆+(y-4) =9与直线(1)证明：无论证明：无论a为何实数，直线为何实数，直线l与圆与圆C恒相交恒相交(2)试求直线试求直线l被圆被圆C截得弦长的最大值截得弦长的最大值 22222(2,4),32441110131CraaadaaaaaarlCa 解：（1）如图设圆心到l的距离为d圆心半径又与 恒相交C(2,4)xyAB0dD22222max,122 92 8116ABaABrda

18、aAB(2)作直线l与圆C相交与A、B两点，CDAB,垂足为D，连结BC,令弦长为则当a=0时，另解：（另解：（1）因为）因为l：y=a(x-1)+4 过定点过定点N（1，4）N与圆心与圆心C（2，4）相距为）相距为1显然显然N在圆在圆C内部，故直线内部，故直线l与圆与圆C恒相交恒相交（2） a为斜率，当为斜率，当a=0时，时，l过圆心，弦过圆心，弦AB的最大值为直径的长，等于的最大值为直径的长，等于6C(2,4)xyAB0N: )(047) 1() 12( :,25)2() 1( :. 122RmmymxmlyxC直线已知圆练习;) 1 (相交与圆证明直线Cl.,)2(的方程直线截得的弦长最

19、小时被圆求直线lCl题型四、最长弦、最短弦问题题型四、最长弦、最短弦问题2021-10-1939练习3、如果实数x,y满足(x-2)2+y2=3,试求 的最大值xyxC(2、0)y0C1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值xy3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点(1)求 的最小值(2)求x2+y2的最大值与最小值xy直线与圆部分练习题1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（ ）A. 4 B.62C.5 D. 5.52、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是( )A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=03、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（ ）A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是_BCBx+y-5=05、直线 x+