静力学经典例题

1、1奥赛典型例题奥赛典型例题分析分析(静力学静力学)2静静 力力 学学1.如图如图1所示，长为所示，长为2m的匀质杆的匀质杆AB的的A端用细线端用细线AD拉住，拉住，固定于墙上固定于墙上D处，杆处，杆的的B端搁于光滑墙壁端搁于光滑墙壁上，上，DB1m，若杆，若杆能平衡，试求细线能平衡，试求细线AD的长度的长度. 图图1ABD32.如图如图2所示，放在水平所示，放在水平地面上的两个圆柱体相互地面上的两个圆柱体相互接触，大、小圆柱的半径接触，大、小圆柱的半径分别为分别为R和和r，大圆柱体，大圆柱体上缠有绳子，现通过绳子上缠有绳子，现通过绳子对大圆柱体施加一水平力对大圆柱体施加一水平力F，设各接触处的

2、静摩擦，设各接触处的静摩擦因数都是因数都是，为使大圆柱，为使大圆柱体能翻过小圆柱体，问体能翻过小圆柱体，问应满足什么条件？应满足什么条件？FA图图243.如图如图3所示，三个完全所示，三个完全一样的小球，重量均为一样的小球，重量均为G，半径为，半径为 R10cm，匀质木板匀质木板AB长为长为l=100cm，重量为，重量为2G，板端板端A用光滑铰链固定在用光滑铰链固定在墙壁上，板墙壁上，板B端用水平细端用水平细线线BC拉住，设各接触处拉住，设各接触处均无摩擦，试求水平细均无摩擦，试求水平细线中的张力线中的张力. 图图3BA30C54.如图如图4所示，一长为所示，一长为L的轻梯靠在墙上，的轻梯靠在

3、墙上，梯与竖直墙壁的夹角梯与竖直墙壁的夹角为为，梯与地面，梯与，梯与地面，梯与墙壁之间的摩擦系数墙壁之间的摩擦系数都是都是，一重为，一重为G的人的人沿梯而上，问这人离沿梯而上，问这人离梯下端的距离梯下端的距离d最大是最大是多少时梯仍能保持平多少时梯仍能保持平衡？衡？BA图图46CAB图图55.如图如图5所示，一长为所示，一长为l重为重为W0的均匀水平杆的均匀水平杆AB的的A端端顶在竖直粗糙的墙壁上，杆顶在竖直粗糙的墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为端与墙壁的静摩擦系数为，B端用一强度足够而不可端用一强度足够而不可伸长的绳子悬挂，绳的另一伸长的绳子悬挂，绳的另一端固定在墙壁的端固定在墙壁的C点，绳

4、与杆的夹角为点，绳与杆的夹角为，(1)求能保持平衡时求能保持平衡时，与与满足的条件；满足的条件；(2)杆平衡时，杆上有一杆平衡时，杆上有一点点P存在，若在存在，若在A点与点与P点间任一点悬挂一重点间任一点悬挂一重物，则当重物的重量物，则当重物的重量W足够大时总可以使平足够大时总可以使平衡破坏，而在衡破坏，而在P点与点与B点之间任一点悬挂任意点之间任一点悬挂任意重的重物，都不可能使平衡破坏，求出这一重的重物，都不可能使平衡破坏，求出这一P点与点与A点的距离点的距离. 76. 半径为半径为r，质量为，质量为m 的三个相同的球放在水的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触，用一个高为平桌面上，两两

5、相互接触，用一个高为1.5r 的的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒圆柱形圆筒（上下均无底）将此三个球套在筒内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及内，圆筒的半径取适当的值，使得各球间以及球与圆筒壁之间均保持无形变接触球与圆筒壁之间均保持无形变接触. 现取一质现取一质量也为量也为m、半径为、半径为R的第四个球，放在三球的的第四个球，放在三球的上方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表上方正中，设第四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同的材料构成，其相互之间的最大静面均由相同的材料构成，其相互之间的最大静摩擦因数为摩擦因数为 ，问，问R取何值时，用手轻轻竖直取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即

6、能将四个球也一起提起来？向上提起圆筒即能将四个球也一起提起来？87. 如图如图6所示，边长为所示，边长为a的均匀立方体对的均匀立方体对称地放在一个半径为称地放在一个半径为r的半圆柱面顶部，的半圆柱面顶部，假设静摩擦力足够大，足以阻止立方体假设静摩擦力足够大，足以阻止立方体下滑，试证明这立方体稳定平衡的条件下滑，试证明这立方体稳定平衡的条件是是:2ar 图69 8. 如图如图7所示，质量一样的两个小木块由一根所示，质量一样的两个小木块由一根不可伸长的轻绳相连放在倾角为不可伸长的轻绳相连放在倾角为 的斜面上，的斜面上，两木块与斜面之间的静摩擦系数分别为两木块与斜面之间的静摩擦系数分别为 1和和 2

7、，且，且 1 2 , tan ，求绳子与斜面上最，求绳子与斜面上最大倾斜线大倾斜线AB之间的夹角之间的夹角 应满足什么条件，两应满足什么条件，两木块才能在斜面保持静止？木块才能在斜面保持静止？21图图7 B1 2A109. 长方形风筝如图长方形风筝如图8所示，其宽度所示，其宽度a40cm,长度长度b40cm,质量质量M200g（其中包括以细绳吊挂的纸球（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴尾巴”的质量的质量M20g，纸球可当作质点），纸球可当作质点），AO、BO、CO为三根绑绳，为三根绑绳，AO=BO，C为底为底边的中点，绑绳以及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计，放风边的中点，绑绳以及放风筝的牵绳均

8、不可伸缩，质量不计，放风筝时，设地面的风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者筝时，设地面的风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者以速度以速度v持牵绳奔跑，风筝单位面积可受空气作用力垂直于风筝表持牵绳奔跑，风筝单位面积可受空气作用力垂直于风筝表面，量值为面，量值为pkvsin ，k=8Ns/m3, 为风筝平面与水平面的夹角，为风筝平面与水平面的夹角，风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取g= 10m/s2，放飞场地为足够大的水平地面，试求：，放飞场地为足够大的水平地面，试求：(1)放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑放

9、风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度可使风筝面与水平面成任意角度 . (2)若放若放风筝者持牵绳奔跑速度为风筝者持牵绳奔跑速度为v=3m/s，调整绑，调整绑绳绳CO的长度等于的长度等于b，为使风筝能水平稳定飞，为使风筝能水平稳定飞行，行，AO与与BO的长度应等于多少？的长度应等于多少？DABCabO图图8M1110. 有一半径为有一半径为R的圆柱体的圆柱体A，静，静止在水平地面上，并与竖直墙壁止在水平地面上，并与竖直墙

10、壁相接触，现有另一质量与相接触，现有另一质量与A相同相同、半径为、半径为r的较细圆柱体的较细圆柱体B，用手，用手扶着圆柱扶着圆柱A，将，将B放在放在A的上面，的上面，并使之与竖直墙壁接触，如图并使之与竖直墙壁接触，如图10所示，然后放手所示，然后放手.已知圆柱已知圆柱A与地与地面的摩擦系数为面的摩擦系数为0.20，两圆柱之，两圆柱之间的静摩擦系数为间的静摩擦系数为0.30，若放手，若放手后两圆柱能保持图示的平衡，问后两圆柱能保持图示的平衡，问圆柱圆柱B与墙壁的静摩擦系数和圆与墙壁的静摩擦系数和圆柱柱B的半径的半径r的值各应满足什么条的值各应满足什么条件？件？图图10AB12例例1 1 解：解：

11、图图1ABD1m以杆为研究对象，作出其受力图（如图）以杆为研究对象，作出其受力图（如图）.由于杆处于平衡状态，所以它所受的三由于杆处于平衡状态，所以它所受的三个力的作用线必相交于个力的作用线必相交于AD线上的同一线上的同一点点O.由几何关系得由几何关系得)(3215 . 01)2(22222mBDBCOCBCOB)(714322222mBDOBODADGNCTO13例例2 2 解：解：FA图图1系统的受力情况如图所示系统的受力情况如图所示.(1)由于小圆柱既不滑动，也不滚动，由于小圆柱既不滑动，也不滚动，而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故而大圆柱在小圆柱上作无滑滚动，故B、C两处都必定有静摩擦力

12、作用两处都必定有静摩擦力作用.(2)大圆柱刚离开地面时，它受三个大圆柱刚离开地面时，它受三个力作用：拉力力作用：拉力F，重力，重力G1，小圆柱对，小圆柱对它的作用力它的作用力R1.由于这三个力平衡，由于这三个力平衡，所以它们的作用线必相交于一点所以它们的作用线必相交于一点,这这点就是点就是A点点.角不大于最大摩擦角角不大于最大摩擦角m(3)由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个由于小圆柱受力平衡，所以它所受的三个力作用：重力力作用：重力G2，大圆柱对它的作用力，大圆柱对它的作用力R1，地面对它的作用力地面对它的作用力R2必组成一个闭合三角形必组成一个闭合三角形.1tanm即有即有BDCO1O2G

13、1G2R1R2R1141tanmG2R2R1图图2如图如图2所示，同样应该有所示，同样应该有1tanm所以由上面三式得所以由上面三式得1tanm由图由图2 知知由图由图1得得RrrRrRBD4)()(2222所以所以RrRRrADBD24tan于是于是RrBDCO1O2G1G2R1R2R1FA图图115例例3 3 解：解：图图1BA30C首先，把三个球为整体作首先，把三个球为整体作为研究对象，其受力情况如图为研究对象，其受力情况如图2所所示示,三力作用线必共点三力作用线必共点.由平衡条件得由平衡条件得GN330cos130sinNN对对O2轴：轴：NxRN30sin21由以上三式可解得由以上三

14、式可解得,32GN 2Rx NN13G图图2DO2x O1EAB16,32GN 2Rx AB板受力情况如图板受力情况如图3所示，所示，EABTN2GC板板DNAxNAy图图3RRAE330cot232RxREDNN13G图图2DO2x O1EABREDAEAD)233(RcmABAC55021板17EABTN2GC板板DNAxNAy图图323RED RAD)233(RAC5板RAE3对对A轴有轴有30sin30cos2ABTACGADN板可解得可解得GT)343(5218例例4 4 解：解：BA图图1平衡时，梯与人组成的系统的平衡时，梯与人组成的系统的受力情况如图受力情况如图2所示所示 .三力

15、的作用线必相三力的作用线必相交于一点交于一点C，而且，而且RA，RB与法线的夹角与法线的夹角必不大于最大静摩擦角必不大于最大静摩擦角 .m 临界平衡时，在临界平衡时，在BCD和和ACD中中利用正弦定理可得利用正弦定理可得BDBCDCDCBDsinsinADACDCDCADsinsinABDCmmRARBGdm图图219即即BDCDmm)90sin()90sin(ABDCmmRARBGdm图图2ADCDmmsin)sin(又又mtan由以上三式可解得由以上三式可解得)cot(12maxldAD20CAB图图1例例5 5 解：解：(1)AB杆受力情况如图杆受力情况如图所示，三力的作用线必相交于所示

16、，三力的作用线必相交于BC绳上的一点绳上的一点O.TRW0OO1 因为因为W0的作用点的作用点O1是是AB的中的中点，故必有点，故必有 ，而，而A端不滑动端不滑动的条件是的条件是mtantan即即tan(2)杆平衡时，再在杆平衡时，再在AB间挂上重物间挂上重物W，静摩擦角，静摩擦角 必必发生变化，若发生变化，若W挂在挂在O1点与点与B点之间，点之间，W+W0的作用的作用点在点在O1点的右侧，此时点的右侧，此时 角减少，平衡不会受破坏角减少，平衡不会受破坏.21TRW0OO1CAB图图1 当当WW0时，时，W+W0W，这，这时时W+W0的作用点的作用点P可以认为就是可以认为就是W的作用点的作用点

17、 .要使杆仍能保持平衡要使杆仍能保持平衡，必须满足，必须满足mtantan由图由图2可见可见APAPlAPPOtan)(tan2CAB图图2TRW+W0WPO2由以上两式可解得由以上两式可解得cot1lAP 若重物若重物W挂在挂在A点与点与O1点之间点之间，则，则W+W0的作用点的作用点P在在O1的左侧的左侧，m 增大增大 . 当当 时，时， 平衡就被平衡就被破坏破坏.22例例6 6 解：解：rrOO1O2O3图图1由图由图1可见，可见，rOO3321图图2为球为球1的受力图的受力图. 当竖直向上提起圆筒时，能把当竖直向上提起圆筒时，能把4个球个球一起提起，下面两式应得到满足一起提起，下面两式

18、应得到满足) 1 (11NF)2(22NF图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB 否则上、下球之间及球与筒壁之间会否则上、下球之间及球与筒壁之间会发生相对滑动发生相对滑动. 以球以球1为研究对象，取为研究对象，取O1为轴，由力为轴，由力矩平衡条件易得矩平衡条件易得)3(21FF 23图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB) 1 (11NF)2(22NF)3(21FF 以图以图2中的中的A为轴，可得为轴，可得)4(12LNmgrLN 由此式易知，由此式易知，N1 N2 ,所以只要所以只要(2)式得到满足，式得到满足，(1)式就自然得到满足式就自然得到满足.又以图又以图2中

19、的中的B为轴，可得为轴，可得)5()cos(sin22rrFmgrrN再以再以4个球为整体作为研究对象，有个球为整体作为研究对象，有)6(431mgF 24) 1 (11NF)2(22NF)3(21FF )4(12LNmgrLN)5()cos(sin22rrFmgrrN)6(431mgF 图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB由由(3)、(5)、(6)式可得式可得cos41sin422NF再结合再结合(2)式可得式可得153cos41sin4两边平方，整理后可得两边平方，整理后可得077cos24cos128225153cos41sin4077cos24cos1282由此可解得由此

20、可解得1611cos87cos（另一解（另一解 舍去）舍去）设设 Rnr ,由图由图2的几何关系可得的几何关系可得图图2RrN2mgF1ALLOO1O4F2N1CB)1 (332)1 (332cos411nrnrOOOO所以所以1333321cos332n26rrOO1O2O3图图11333321cos332n故故rrnrR68. 0) 133332(又为使第又为使第4个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须个球不至于从下面三个球中间掉下，因此须rrrOOR15. 0) 1332(1结合上面两式可知第结合上面两式可知第4个球的半径必须满足下式个球的半径必须满足下式rRr) 133332() 13

21、32(27例例7 7 解：解：方法方法1（回复力矩法）（回复力矩法）如图如图1所示，当立方体偏离一个很小所示，当立方体偏离一个很小的角度的角度时，它时，它沿圆柱体沿圆柱体无滑滚动无滑滚动地使接触点从地使接触点从B移到移到D，如图可见，如图可见rBD 2tan2aaAD图图1OABCDEFNr因为因为ADBD 故故) 1 (2ar 显然，当重心显然，当重心C在过在过D点的竖直线的左方时，重力矩点的竖直线的左方时，重力矩会使立方体恢复到原来位置会使立方体恢复到原来位置.此时应有此时应有AED因为因为NDO(平行线内错角相等平行线内错角相等)ADENDF(对顶角相等对顶角相等)90ODFEAD所以所

22、以NDOAED28图图1OABCDEFNr) 1 (2arNDOAED所以所以于是据于是据(1)式可得式可得2ar 29方法方法2（能量法）（能量法）如图如图2所示，所示，C是立方体的重心，立方体是立方体的重心，立方体在圆柱体上偏离了一个很小的角度在圆柱体上偏离了一个很小的角度.由图由图2易得易得ACQsincos2APaPECQhOABCDQh图图2PE原来重心原来重心C（离圆柱体顶点）的高（离圆柱体顶点）的高度为度为a/2,偏离后重心偏离后重心C 的高度为的高度为h：APaAPa)21 (2sin)2sin21 (222因为因为rODOB故故22tanrODPD而而rBDAD即即rPDAP

23、30,)21 (22APahrPDAPOABCDQh图图2PE于是于是22rrrPDrAP,2rPD 那么那么24222raah 要使立方体处于稳定平衡，必须满要使立方体处于稳定平衡，必须满足后来的势能大于原来的势能，即足后来的势能大于原来的势能，即2amgmgh 即即224222araa由此得由此得2ar 31例例8 8 解：解：图图1B1 2A设两个小木块重都为设两个小木块重都为G，因为，因为 1 2 , , 故故21tantan,tan21则表明木块则表明木块1可以单独在斜面上保持静止，而木块可以单独在斜面上保持静止，而木块2不能单独在斜面上保持静止不能单独在斜面上保持静止.现两木块用轻

24、绳连接，现两木块用轻绳连接，当木块当木块1在高处且绳子平行在高处且绳子平行AB时，因最大静摩擦力时，因最大静摩擦力sin2cos2cos)(coscos212121GGGGG这表明系统能在斜面保持静止这表明系统能在斜面保持静止 . 当绳子与当绳子与AB线的夹角为线的夹角为且系统能静止，为使且系统能静止，为使最大，应有木块最大，应有木块1所受静摩擦力所受静摩擦力不大于其最大静摩擦力不大于其最大静摩擦力.设此时绳子的拉力为设此时绳子的拉力为T，木块，木块1、木块木块2的受力情况如图的受力情况如图2所示所示.32图图1B1 2A12TTf1GsinGsin2Gcos图图2AB 由于木块由于木块2处于

25、平衡，所以它所受的处于平衡，所以它所受的三个力组成一个闭合三角形三个力组成一个闭合三角形.故故)1(coscossin2sin2222222GTGGT要使要使T有实数解，应有有实数解，应有0)cossin(4)cossin2(2222222GGG因为因为21tan由以上两式可解得由以上两式可解得12sin33)1(coscossin2sin2222222GTGGT12TTf1GsinGsin2Gcos图图2AB方程方程(1)的解为的解为)2()cossincos(sin22122GT（本来方程有两个解，但结合木块（本来方程有两个解，但结合木块1的力三的力三角形及角形及f11Gcos,可知只能取

26、根号前是负可知只能取根号前是负号的这一个解号的这一个解）由于由于tan2,所以所以G sin2GcosGsinT2Gcos图图3 由图由图3易知，当易知，当T2Gcos时，时，取最大值取最大值.此时此时122sincossinGGm3412TTf1GsinGsin2Gcos图图2AB212121)(cossinGGTm由图由图3易得木块易得木块1所受的静摩擦力为所受的静摩擦力为221)sinsin()cossin(GGTfTGsinf1图图3为了木块为了木块1能静止，能静止，f1必须满足必须满足cos11Gf 由以上三式可得由以上三式可得)3(321这表明当这表明当 时，时， 的最大值可取的最

27、大值可取213)4(sin121m3512TTf1GsinGsin2Gcos图图2AB但当但当 时，时， 的最大值的最大值不能取上述值不能取上述值. 即此时即此时T与与 不垂直，为使此时不垂直，为使此时 取最大值，木取最大值，木块块1和木块和木块2均应受最大静摩擦力均应受最大静摩擦力. 2123cos2G对木块对木块1，由平衡条件得（，由平衡条件得（注意：注意：此时图此时图3中的中的f1取最大静摩擦力，取最大静摩擦力， 取最大值取最大值 m）mTGTGGcossin2)sin()cos(2221对木块对木块2，由平衡条件得，由平衡条件得mTGTGGcossin2)sin()cos(2222TG

28、sinf1图图3由这两式可解得由这两式可解得36cos)(2221GT图图1B1 2A212114)(2cosm综上所述得综上所述得当当 时，时， 的最大值为的最大值为213121sinm当当 时，时， 的最大值为的最大值为2123212114)(2cosm( 或或 )2122118)(1sinm37例例9 9 解：解：DABCabO图图1M(1)设人以速度设人以速度v0持牵绳奔跑时持牵绳奔跑时，风筝恰好能平行地面飞行，此时牵绳平风筝恰好能平行地面飞行，此时牵绳平行地面，设此时风筝表面与地面的夹角行地面，设此时风筝表面与地面的夹角为为，如图，如图2所示所示.OCDv0图图2sin0abkvF

29、其竖直分量其竖直分量Fy应与风筝重力平衡应与风筝重力平衡MgFcos即即Mgabkvcossin0当当45时，时， 有极大值有极大值1/2，此时，此时v0取极小值取极小值v0min.2sin21cossin风筝受力如图所示风筝受力如图所示,其其中中F为风力为风力.gMgMM)(FxFyF)/(5 . 22min0smkabMgv38(2)重新调节绑绳长度后，放飞重新调节绑绳长度后，放飞者使牵绳平行于地面以者使牵绳平行于地面以v =3m/s的的速度奔跑，设此时风筝能保持水平速度奔跑，设此时风筝能保持水平飞行，则飞行，则Mgkvabcossin所以所以8333. 06522sinkvabMg故故6

30、 .1234 .562或于是于是8 .61,2 .2821 因为风筝在水平方向受力平衡，所以风筝所受总的因为风筝在水平方向受力平衡，所以风筝所受总的水平拉力为水平拉力为2sinkvabFTxMgMOOTCDrrbb图图3v39b2sinkvabFTx分别代入分别代入8 .61,2 .2821得得NTNT73. 3,07. 121MgMOOTCDrrbb图图3v自自O点至点至AB的中点的中点D，连接一紧绳，连接一紧绳OD，替代，替代AO和和BO，如图，如图3所示所示.cos21gbMrT则牵绳拉力则牵绳拉力T和纸球重力对风筝纸面中心和纸球重力对风筝纸面中心 产产生的力矩平衡：生的力矩平衡：O分别

31、代入分别代入 值可得值可得2211，；，TTcmrcmr63. 01 . 421，40MgMOOTCDrrbb图图3vcmrcmr63. 01 . 421，所以，所以，O与与C的竖直高度差为的竖直高度差为cmbrrcmbrr6 .22sin29 .15sin2222111，由图由图3可见可见br)sin(分别代入分别代入、r、b值可得值可得9 .34,66. 921因为因为COD是等腰三角形，所以是等腰三角形，所以2sin2bxOD412sin2bxODMgMOOTCDrrbb图图3v代入代入b、值得值得cmxcmx304 . 821，又由又由 可得可得22)2(axBOAODABCabO图图1McmBOAO7 .31或或cmBOAO3642例例10 10 解：解：图图1ABO1O2MgMgF1N1F2N2F3F3N3N3AB图图2圆柱体圆柱体A、B的受力情况如图的受力情况如图2所示所示.据平衡条件可列出如下平衡方程：据平衡条件可列出如下平衡方程：对对圆柱体圆柱体A有：有：) 1 (0cossin331FNNMg)2(0sincos