常微分方程模型PPT学习教案

1、会计学1 常微分方程模型常微分方程模型 动动 态态 模模 型型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函根据函数及其变化率之间的关系确定函 数数 微微 分分 方方 程程 建建 模模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程 第1页/共45页 7.1 传染病模型传染病模型 问题问题 描述传染病的传播过

2、程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规分析受感染人数的变化规 律律 预报传染病高潮到来的时预报传染病高潮到来的时 刻刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律按照传播过程的一般规律 ，用机理分析方法建立模型，用机理分析方法建立模型 第2页/共45页 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t) 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触 (足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1 假设假设 ttititti)()()( 若有效接触的是病人，若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加则不能使病人数增加 必须区分已感染者必须区分已感染者(病病 人人)和未

3、感染者和未感染者(健康人健康人 ) 建模建模 0 )0(ii i dt di it t eiti 0 )( ? 第3页/共45页 si dt di 1)()(tits 模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人 ) 假设假设 1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数 为为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病 建模建模 ttNitstittiN)()()()( 0 )0( )1( ii ii dt di 日日 接触率接触率 SI

4、 模型模型 第4页/共45页 t e i ti 1 1 1 1 )( 0 0 )0( )1( ii ii dt di 模型模型2 1/2 tm i i0 1 0 t 1 1 ln 0 1 i t m tm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率) tm 1it Logistic 模 型 病人可以治愈病人可以治愈 ！ ? t=tm, di/dt 最最 大大 第5页/共45页 模型模型3 传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染 增加假设增加假设 SIS 模型模型 3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日

5、治愈率治愈率 ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模 / 日接触率日接触率 1/ 感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的 有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。 0 )0( )1( ii iii dt di 第6页/共45页 1,0 1, 1 1 )( i ) 1 1 ( ii dt di 模型模型3 i0 i0 接触数接触数 =1 阈阈 值值 / 1)(ti 形曲线增长按Sti )( 感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的 健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数 小 0 1 i 1-1/ i0 iii dt di )1 ( 模

6、型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特的特 例例 i di/dt 0 1 1 0 t i 1 1-1/ i 0 t 1 di/dt 1/ i(t)先升后降先升后降 至至0 P2: s01/ i(t)单调降至单调降至0 1/ 阈阈 值值 P 3 P 4 P2 S0 第11页/共45页 ss ss 0 0 lnln 模型模型4 SIR模模 型型 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/ 的估计的估计 0ln 1 0 00 s s sis 0

7、 i忽略 降低降低 s0 提高提高 r0 1 000 ris 提高阈值提高阈值 1/ 降低降低 (= / ) , 群体免疫群体免疫 第12页/共45页 模型模型4 SIR模模 型型 被传染人数的估计被传染人数的估计 0ln 1 0 00 s s sis 记被传染人数比例记被传染人数比例 ssx 0 0) 2 1 1 ( 2 00 s x s x 0)1ln( 1 0 s x x ) 1 (2 00 ssx 2x x 0 3) 经济增长的条经济增长的条 件件 )1 ( 1 0 12 0 yfLyf 第20页/共45页 )()( 0 0 0 L K fyf L Lyf tZ )(0 / 100 )

8、1( 00 Be KKdt dy dt dZ t 成立B 0成立时当B KK ,1 / 0 00 劳动力增长率小于初始投资增长率劳动力增长率小于初始投资增长率 每个劳动力的产值每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增增 长长 dZ/dt 0 3) 经济增长的条经济增长的条 件件 dt dy yf dt dZ 1 0 第21页/共45页 7.3 正规战与游击战正规战与游击战 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增

9、援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关战斗力与射击次数及命中率有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例领域的实际问题提供了可借鉴的示例 第一次世界大战第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模提出预测战役结局的模 型型 第22页/共45页 0),(),()( 0),(),()( tvyyxgty tuxyxftx 一般模型一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为甲乙双方的增援率为u(t

10、), v(t) f, g 取决于战争类型取决于战争类型 x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力 模型模型 假设假设 模模 型型 第23页/共45页 )( )( tvybxy tuxayx 正规战争模正规战争模 型型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力 双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战 xx prbbxg, 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援 00 )0(,)0(yyxx bxy ayx f(x, y)= ay, a 乙方每个士兵的杀伤乙方每个士兵的杀伤 率率 a=ry py, ry 射击率，射击率， p

11、y 命中命中 率率 第24页/共45页 )(ty )(tx 0 ak 0k 0k bk 0k 正规战争模型正规战争模型 为判断战争的结局，不求为判断战争的结局，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论而在相平面上讨论 x 与与 y 的的 关系关系 00 )0(,)0(yyxx bxy ayx ay bx dx dy 2 0 2 0 bxayk kbxay 22 000yxk时 平方平方 律律 模模 型型 甲方胜 0k 平局0k yy xx pr pr a b x y 2 0 0 乙方胜乙方胜 第25页/共45页 游击战争模型游击战争模型双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还

12、随着甲方兵力的增加而增加甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援 yrxxxx ssrprddxyyxg/,),( 00 )0(,)0(yyxx dxyy cxyx f(x, y)= cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率 c = ry py ry射击率射击率 py 命中命中 率率 py=sry /sx sx 甲方活动面积甲方活动面积 sry 乙方射击有效面乙方射击有效面 积积 第26页/共45页 )(ty cm 0 dm)(tx 0m 0m 0m 游击战争模型游击战争模型 00 )0(,)0(yyxx dxyy cxyx

13、 00 dxcym mdxcy 乙方胜 时 000yxm yryy xrxx ssr ssr c d x y 0 0 线性线性 律律 模模 型型 甲方胜 0m 平局 0m c d dx dy 第27页/共45页 )(ty )(tx 0 乙方胜, 0n 平局, 0n 甲方胜, 0n 00 )0(,)0(yyxx bxy cxyx 混合战争模型混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队甲方为游击部队，乙方为正规部队 0 2 0 2 2 2 bxcyn nbxcy 0 2 0 0 2 cx b x y 乙方胜 0n 100)/( 2 00 xy 0 2 0 0 2 xsr spr x y ryy x

14、xx 乙方必须乙方必须10倍于甲方的兵倍于甲方的兵 力力 设设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=0.1(km2), sry=1(m2) 第28页/共45页 7.4 药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除 药物进入机体形成药物进入机体形成血药浓度血药浓度( (单位体积血液的药物单位体积血液的药物 量量) ) 血药浓度需保持在一定范围内血药浓度需保持在一定范围内给药方案设给药方案设 计计 药物在体内吸收、分布和排除过程药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学药物动力学 建立建立房室模型房室模型药物动力学的基本步骤药物动力学的基本步骤 房室房室机体的一部分，药物在

15、一个房室内均匀机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布分布( (血药浓度为常数血药浓度为常数) )，在房室间按一定规律转移，在房室间按一定规律转移 本节讨论本节讨论二室模型二室模型中心室中心室( (心、肺、肾等心、肺、肾等) ) 和周边室和周边室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) ) 第29页/共45页 中心室中心室 周边室周边室 给药给药 排除排除 )( 0 tf 1 11 )(),( V txtc 2 22 )(),( V txtc 12 k 21 k 13 k )()( 02211131121 tfxkxkxktx 模型假设模型假设 中心室中心室(1)和周边室和周边室(2), ,容积不变容

16、积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率药物在房室间转移速率及向体外排除速率 ，与该室血药浓度成正比，与该室血药浓度成正比 药物从体外进入中心室，在二室药物从体外进入中心室，在二室 间相互转移间相互转移, ,从中心室排出体外从中心室排出体外 模型建立模型建立 2 , 1 )( )( i V tc tx i i i 容积 浓度 药量 给药速率 0 f 2211122 )(xkxktx 第30页/共45页 tt tt eBeAtc eBeAtc 222 111 )( )( 1321 132112 kk kkk 221112 2 1 2 1 0 221 1 2 113121 )( )( )()(

17、 ckck V V tc V tf ck V V ckktc 2 , 1),()(itcVtx iii 线性常系线性常系 数非齐次数非齐次 方程方程 对应齐次对应齐次 方程通解方程通解 模型建立模型建立 第31页/共45页 )( )( )( )()( )( )( 2 120 2 2121 1 0 1 tt tt ee V kD tc ekek V D tc 0)0(,)0(,0)( 2 1 0 10 c V D ctf 几种常见的给药方几种常见的给药方 式式 1. .快速静脉注射快速静脉注射 t=0 瞬时瞬时注射剂量注射剂量D0 的药物进入中心室的药物进入中心室, , 血药浓度立即为血药浓度立

18、即为 D0/V1 221112 2 1 2 1 0 221 1 2 113121 )( )( )()( ckck V V tc V tf ck V V ckktc 1321 132112 kk kkk 给药速率给药速率 f0(t) 和初始条件和初始条件 第32页/共45页 1 221 13121 21 221 13121 2 21321 012 222 113 0 111 )( , )( 0,)( 0,)( B Vk kkV BA Vk kkV A Tt Vkk kk eBeAtc Tt Vk k eBeAtc tt tt 0)0(, 0)0(,)( 2100 ccktf 2. .恒速静脉滴注

19、恒速静脉滴注 221112 2 1 2 1 0 221 1 2 113121 )( )( )()( ckck V V tc V tf ck V V ckktc t T, c1(t)和和 c2(t)按指数规律趋于按指数规律趋于 零零 药物以速率k0进入中心室 0T t 第33页/共45页 0010 xkf )( 0 tx 吸收室 中心室 00 0010 )0( )( Dx xkt x tktt EeBeAetc 01 )( 1 tk eDtx 01 00 )( tk ekDtxktf 01 0100010 )()( 3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射 相当于药物相当于药物( 剂量剂量D0)先进

20、入吸收室，吸收后进入中心室先进入吸收室，吸收后进入中心室 吸收室药量吸收室药量 x0(t) 221112 2 1 2 1 0 221 1 2 113121 )( )( )()( ckck V V tc V tf ck V V ckktc EBAcc,0)0(, 0)0( 21 第34页/共45页 tt BeAetctc )()( 11 参数估计参数估计 各种给药方式下的各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数取决于参数k12, k21, k13, V1,V2 t=0快速静脉注射快速静脉注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti) )()( )( )( 2121

21、1 0 1 tt ekek V D tc 充分大设t , 由较大的由较大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A, , )(, 1ii tct 由较小的由较小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B, , )( , 1ii tct tt Aee V kD tc )( )( )( 1 210 1 第35页/共45页 211312 kkk BA V D c 1 0 1 )0( 0 11130 )(dttcVkD 0, 21 cct 1321 132112 kk kkk BA VkD 1130 AB BA k )( 13 13 21 k k 参数估计参数估计 进入中心室的药物全部排进入中心室的药物全部排 除

22、除 第36页/共45页 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关 系系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中 哪些因素影响大，哪些因素影响小。哪些因素影响大，哪些因素影响小。 模型模型 分析分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立 吸烟过程的数学模型。吸烟过程的数学模型。 设想一个设想一个“机器人机器人”在典型环境下吸烟在典型环境下吸烟 ，吸烟方式和外部环境认为是不变的。，吸烟方式和外部环境认为是不变的。 问题问题 7.5 香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用 第37页/共45页 模型模型 假设假

23、设 定性分定性分 析析 QvaMl, 2 ?, 1 Qlb?Qu 1）l1烟草长，烟草长， l2过滤嘴长，过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均匀分布，密度均匀分布，密度w0=M/l1 2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟 穿行的数量比是穿行的数量比是a :a, a +a=1 3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行 的毒物的的毒物的(单位时间单位时间)吸收率分别是吸收率分别是b和和 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃，香烟燃 烧速度是常数烧速度是常数u， v u Q 吸一支烟毒物进入人

24、体总吸一支烟毒物进入人体总 量量 第38页/共45页 v x lxlxq lxxbq xxqxq ,)( ,0,)( )()( 1 1 lxlxq v lxxq v b dx dq 1 1 ),( 0),( ulTdttlqQ T /,),( 0 1 模模 型型 建建 立立 xx )(xq )(xxq x v 0 x 1 l l t=0, x=0，点燃香，点燃香 烟烟 0 )0 ,(wxw 00 0 )0( uwH aHq q(x,t) 毒物流毒物流 量量 w(x,t) 毒物密毒物密 度度 1) 求求 q(x,0)=q(x) 第39页/共45页 lxleeaH lxeaH xq v lx v bl v bx 1 )( 0 10 , 0, )( 11 ),()(tutuwtH lxleetaH lxutetaH txq v lx v utlb v utxb 1 )()( 1 )( ,)( ,)( ),( 11 v l v utlb eetutauwtlq 21 )( ),(),( t时刻，香烟燃至时刻，香烟燃至 x=ut 1) 求求 q(x,0)=q(x) 2) 求求 q(l,t) 第40页/共45页 t v txq btxwttxw ),( ),(),(