微积分课件：4-7泰勒(Taylor)公式

1、一、问题的提出一、问题的提出二、二、PnPn和和RnRn的确定的确定四、简单应用四、简单应用三、泰勒中值定理三、泰勒中值定理第第4.74.7节节 泰勒泰勒(Taylor)公式公式一、问题的提出一、问题的提出0000 ( )()()()()f xf xfxxxo xx （如下图）（如下图）2. .设设 f (x) 在在 x0 0 处可导处可导, ,则有则有 例如例如, , 当当x很小时很小时, , xex 1 , , xx )1ln(1.1.设设)(xf在在0 x处连续处连续, ,则有则有)()(0 xfxf 0 ( )()f xf x )()()(000 xxxfxfxf xey xy 1ox

2、ey oxy )1ln(xy 不足不足:问题问题:误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估计、误差不能估计.设函数设函数)(xf在含有在含有0 x的开区间的开区间),(ba内内 具有直到具有直到)1( n 阶导数阶导数, , )(xP为多项式函数为多项式函数 nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误误差差 )()()(xPxfxRnn 如何如何确定确定 nP 和和 nR ？ 二二、nP和和nR的的确确定定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2

3、.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 三、泰勒三、泰勒( Taylor )中值定理中值定理 ( (或泰勒公式或泰勒公式) )泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区

4、间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶的导数阶的导数, ,则则当当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一个的一个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和: : )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在0 x与与x之之间间) ). . nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 次次近近似似多多项项式式 nknkkxRxx

5、kxfxf000)()()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式或或f(x)在在x0处的处的n阶泰勒多项式阶泰勒多项式或或f(x)在在x0处的处的n阶泰勒展开式阶泰勒展开式)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即拉格朗日型余项拉格朗日型余项皮亚诺型余项皮亚诺型余项注意注意: :1 1. . 当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()(

6、)(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0与与x之间之间, ,令令)10( x 则余项则余项 1)1()!1()()( nnnxnxfxR )(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林( Maclaurin )公式公式四、简单的应用解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112

7、 nxnxxnenxxxe由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估计误差估计误差)0( x设设!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmm

8、xx 解解2224()cos1(),2!xxo xsin( )xxo x22430()1 1()2!lim( )xxo xxxo x 原原式式44440()2lim()xxo xxo x 1.2 此题也可以用等价此题也可以用等价无穷小代换来做无穷小代换来做xy xysin 小结小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;xy xysin ! 33xxy o小结小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 小结小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o小结小