高中数学计数原理知识点总结及练习教案-学生（精华版）

1、明轩教育您身边的个性化辅导专家电话：教师：学生：时间： _ 2016_年_月日段 第次课教师学生姓名上课日期月日学科数学年级高二教材版本人教版第（）课时类型知识讲解：考题讲解 ：本人课时统计共（）课时学案主题选修 2-3 第一章计数原理复习课时数量第（）课时授课时段教学目标教学重点、难点1. 明确分类和分步计数原理及应用；2. 掌握排列组合概念和计算，以及二项式定理和应用排列组合及计数原理的应用。掌握二项式定理和应用。【知识点梳理 】知识点复习计数原理基本知识点1. 分类计数原理： 做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2 种不同的方法，在第n

2、 类办法中有mn 种不同的方法那么完成这件事共有nm1m2lmn 种不同的方法2. 分步计数原理： 做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有nm1m2lmn种m教学过程不同的方法3. 排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取m （ mn ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定 的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列4. 排列数的定义： 从 n 个不同元素中，任取m （ mn ）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号an 表示an5

3、. 排列数公式 ：mn( n1)(n2)l( nm1) （ m, nn,mn ）n6阶乘：n! 表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘 规定 0!17排列数的另一个计算公式：am =n!.(nm)!8组合的概念： 一般地，从 n 个不同元素中取出mmn 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合9. 组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出 mmn 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用符号c表示mn10. 组合数公式：amcmnn(n1)(n2) l(nm1) 或 c mn!( n, mn ,且mn)amnmm!nm! (

4、nm)!1n11组合数的性质 1： c mn mcn规定：01 ；cn12组合数的性质 2： c m cm +c m 1n 1nnnnnn1. 二项式定理及其特例：（1）(ab)nc 0anc 1anblc r an r brlc nbn (nn ) ，（2） (1x)n1c 1xlc r xrlxn .nn2. 二项展开式的通项公式：tcr an r brr 1n3. 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4. 二项式系数表（杨辉三角）(ab)n 展开式的二项式系数，当n 依次取 1,2,3 时，二项式系数表，表中每行两端都是1

5、，除 1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5. 二项式系数的性质：（1） 对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（c mc n m ）直线 rn是图象的对称轴nn2nnn 1n 1（2） 增减性与最大值： 当 n 是偶数时， 中间一项取得最大值nn（3） 各二项式系数和：c 2 取得最大值； 当 n 是奇数时， 中间两项cn 2，cn 2 (1x)n1c1xlc r xrlxn ，令 x1 ，则 2 nc 0c1c 2lc rlc nnnnnn特别提醒1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式tcr an r brnn，注意 ( ab) 与 (ba) 虽然相同，但具rr1n体到它们展

6、开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指cn ，而后者是指字母外的部分。2. 在使用通项公式tc r an r br时，要注意：r1n（1） 通项公式是表示第r 1 项，而不是第r 项.n（2） 展开式中第 r+1 项的二项式系数 c r与第 r +1 项的系数不同 .（3） 通项公式中含有a， b，n，r，t r 1 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式， 把问题归纳为解方程（

7、或方程组） .这里必须注意 n 是正整数， r 是非负整数且r n.排列组合复习巩固21. 分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有m1 种不同的方法，在第2 类办法中有m2 种不同的方法，在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：nm1m2lmn 种不同的方法2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事， 需要分成 n 个步骤， 做第 1 步有m1 种不同的方法， 做第 2 步有m2 种不同的方法， ，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有：3. 分类计数原理分步计数原理区别nm1m2lmn 种不同的方法分类计数原理方法相互独立，

8、任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件 一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法 .要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列 ,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题 : 某人射

9、击 8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有3 枪连在一起的情形的不同种数为三. 不相邻问题插空策略例 3. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场 , 则节目的出场顺序有多少种？元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四. 定序问题倍缩空位插入策略例 4.7人排队 , 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题

10、 :10 人身高各不相等 , 排成前后排，每排 5 人, 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五. 重排问题求幂策略例 5. 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地nn不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为 m 种练习题：1. 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中， 那么不同插法的种数为2. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法六. 环排问题线排策

11、略例 6. 8人围桌而坐 , 共有多少种坐法 ?一般地 ,n 个不同元素作圆形排列 ,共有 (n-1)! 种排法 . 如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有练习题： 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？七. 多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法1 a mmn一般地 , 元素分成多排的排列问题 , 可归结为一排考虑 ,再分段研究 .3练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是八. 排列组合混合问

12、题先选后排策略例 8. 有 5 个不同的小球 , 装入 4 个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少不同的装法.解决排列组合混合问题 , 先选后排是最基本的指导思想. 此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是九. 小集团问题先整体后局部策略例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 两个奇数之间 , 这样的五位数有多少个？练习题：. 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , 幅油画 , 幅国画 ,

13、排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2. 5男生和女生站成一排照像, 男生相邻 , 女生也相邻的排法有种十. 元素相同问题隔板策略例 10. 有 10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？将 n 个相同的元素分成 m 份（ n，m 为正整数） , 每份至少一个元素 ,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1cn 1个空隙中，所有分法数为m 1练习题：1 10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法？2 .xyzw100 求这个方程组的自然数解的组数十一. 正难则反总体淘汰策略例 11.

14、 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的偶数 , 不同的取法有多少种？有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷 ,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰 .练习题：我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 ?十二. 平均分组问题除法策略例 12. 6本不同的书平均分成3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？an平均分成的组 ,不管它们的顺序如何 ,都是一种情况 ,所以分组后要一定要除以练习题：1将 13 个球队分成 3 组, 一组 5 个队, 其它两组 4 个队,有多少

15、分法？n ( n 为均分的组数 )避免重复计数。3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名，则不同的安排方案种数为 十三.合理分类与分步策略例 13. 在一次演唱会上共 10 名演员 , 其中 8 人能能唱歌 ,5 人会跳舞 , 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 , 有多少选派方法解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这4 人中必须既有男

16、生又有女生，则不同的选法共有2.3 成人 2 小孩乘船游玩 ,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人, 他们任选 2 只船或 3 只船, 但小孩不能单独乘一只船 ,这 3 人共有多少乘船方法.本题还有如下分类标准：* 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准* 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准* 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果4十四. 构造模型策略例 14.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 , 现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相邻的2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的 2 盏, 求满足条件的

17、关灯方法有多少种？一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？十五. 实际操作穷举策略例 15. 设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子 , 现将 5 个球投入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1. 同一寝室4 人, 每人写一张贺年卡集中起来,

18、然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？2. 给图中区域涂色 , 要求相邻区 域不同色 , 现有 4 种可选颜色 , 则不同的着色方法有种十六.分解与合成策略例 16. 30030能被多少个不同的偶数整除分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成, 从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到 这种解题策略练习: 正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线？十七. 化归策略例 17. 25 人排成 5 5 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行

19、也不在同一列, 不同的选法有多少种？处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题练习题 : 某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从a 走到 b 的最短路径有多少种？ba十八. 数字排序问题查字典策略例 18由 0， 1， 2，3，4， 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数？数字排序问题可用查字典法, 查字典的法应从高位向低位查, 依次求出其符合要求的个数, 根据分类计数原理求出其总数。练习: 用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小

20、到大排列起来, 第 71 个数是十九. 树图策略例 19 3人相互传球 , 由甲开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5 次传求后 , 球仍回到甲的手中 , 则不同的传球方式有对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果练习:分别编有 1， 2，3，4， 5 号码的人与椅，其中 i 号人不坐 i 号椅（ i1,2,3,4,5 ）的不同坐法有多少种？二十. 复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各5 只, 分别标有 a、b、c、d、e 五个字母 , 现从中取 5 只, 要求各字母均有且三色齐备, 则共有多少种不同的取法一些复杂的分类选取题,要满足的条件

21、比较多, 无从入手 , 经常出现重复遗漏的情况,用表格法 ,则分类明确 ,能保证题中须满足的条件 ,能达到好的效果 .5二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复， 另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”， 能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例 21. 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.排列组合易错题正误解析1 没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提 .例 1 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取

22、5 台, 其中至少有原装与组装计算机各两台, 则不同的取法有种.例 2在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种.a4（a）3（b） 43（ c） 34（d） c 342 判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？3 重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。例 45 本不同的书全部分给4 个学生，每个学生至少一本，不同的

23、分法种数为（）（a）480 种（ b） 240 种（c） 120 种（d）96 种例 5某交通岗共有3 人，从周一到周日的七天中， 每天安排一人值班， 每人至少值 2 天，其不同的排法共有 （）种.（a）5040（b） 1260（c） 210（d）6304 遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。01，3例 6用数字 0，1，2， 3，4 组成没有重复数字的比1000 大的奇数共有（）5（a）36 个（ b）48 个（c） 66 个（ d）72 个2315 忽视题设条件出错4在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多

24、解或者漏解.例 7如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）例 8 已知ax2b0 是关于 x 的一元二次方程，其中a 、 b1,2,3,4，求解集不同的一元二次方程的个数.6 未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例9 现有 1角、 2角、 5角、 1元、 2元、 5元、 10元、 50元人民币各一张， 100 元人民币 2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）(a)1024 种 (b)1023 种 (c)1536种 (d)1535 种67 题意的理解

25、偏差出错aaaaaa例 10现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种.aa6（a）35（ b） a863（ c）33（ d） 84856353868 解题策略的选择不当出错例 11高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）.（a）16 种（b） 18 种（c） 37 种（ d） 48 种排列与组合习题1. 6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为()a 40b50c 60d 702. 有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有

26、()a 36 种b48 种c72 种d 96 种3. 只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数， 规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现， 这样的四位数有 ()a. 6 个b9 个c 18 个d 36 个4. 男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有()a. 2 人或 3 人b3 人或 4 人c3 人d4 人5. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8 步走完， 则方法有 ()a 45 种b36 种c 28 种d 25 种6. 某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下

27、属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()a 24 种b36 种c38 种d 108 种7. 已知集合 a 5 ，b 1,2 ，c1,3,4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 ()a 33b 34c35d 368. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ()a 72b 96c 108d1449. 如果在一周内 (周一至周日 )安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天， 其余

28、学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()a 50 种b60 种c120 种d 210 种10. 安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有种 (用数字作答 )11. 今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这9 个球排成一列有种不同的排法 (用数字作答)12. 将 6 位志愿者分成4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务， 不同的分配方案有种(用数字作答 )13. 要在如图所示的花圃中的5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要

29、求相邻区域不同色，有 种不同的种法 (用数字作答 )14. 将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放2 张，其中标号为1，2 的卡片放入7同一信封，则不同的方法共有（）（a）12 种（ b）18 种（c） 36 种（d）54 种15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有a.504 种b.960 种c.1008 种d.1108 种16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1

30、、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（a） 72（b）96（ c） 108（ d） 14417. 在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）a.10b.11c.12d.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案 的种数是（）a 152b.126c.90d.5419. 甲组

31、有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的 4人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 ()（a）150 种 （ b）180 种 （c） 300 种 (d)345 种20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班， 则不同分法的种数为（）a.18b.24c.30d.3621. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）a.60b. 48c. 42d. 3622. 从 10 名大学生毕业生中

32、选3 个人担任村长助理， 则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位为（ ）a85b 56c 49d 2823. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）a. 360b. 188c. 216d. 9624. 12 个篮球队中有3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个队），则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为 （）1311a. bcd55554325. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答） 26. 锅中煮有芝