理学定积分的概念和性质PPT学习教案

1、会计学1 理学定积分的概念和性质理学定积分的概念和性质 梯形面积梯形面积 （五个小矩形）（五个小矩形）（十个小矩形）（十个小矩形） 显然显然,小矩形越多小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边矩形总面积越接近曲边 Ox y Ox y 第1页/共31页 ab )(xfy 个个分成分成把区间把区间nba, , 1ii xx 在每个小区间在每个小区间 采取下列四个步骤求面积采取下列四个步骤求面积： (1) 分割分割任任意意用用分分点点 , 1210 bxxxxxa nn (2) 近似近似 为底，为底，以以, 1ii xx 的窄曲边梯形的面积的窄曲边梯形的面积 上对应上对应表示表示, 1iii xxA ;

2、1 iii xxx ，小区间小区间, 1ii xx 长度为长度为 )( i f 为高的小矩形为高的小矩形 的的 面积近似代替面积近似代替 Ox y i x 1 x 1 i x 1 n x ，上任取一点上任取一点 i i i A nixfAA iiii , 2 , 1,)(, 有有 第2页/共31页 A i n i i xfA )(lim 1 0 (3) 求和求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形这些小矩形面积之和可作为曲边梯形 面积面积A的近似值的近似值. (4) 取极限取极限 为了得到为了得到A的精确值的精确值, 时，时，趋近于零趋近于零)0( 取极限取极限, 形的面积形的面积: 分割无限加

3、细分割无限加细, i n i i xf )( 1 极限值就是曲边梯极限值就是曲边梯 ,max 21n xxx 即小区间的最大长度即小区间的最大长度 第3页/共31页 2. 2. 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 设某物体作直线运动设某物体作直线运动,已知速度已知速度)(tvv 是时间间隔是时间间隔tTT上上, 21 的一个连续函数的一个连续函数, 0)( tv且且 求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程. 思想：思想： 把整段时间分割成若干小段把整段时间分割成若干小段, 每小段上每小段上 速度看作不变速度看作不变,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加, 便

4、便 得到路程的近似值得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值 第4页/共31页 (1) 分割分割 212101 TtttttT nn 1 iii ttt iii tvs )( (3) 求和求和 ii n i tvs )( 1 (4) 取极限取极限,max 21n ttt i n i i tvs )(lim 1 0 路程的精确值路程的精确值 (2) 近似近似 i s ), 2 , 1(ni 0 令令 表示在时间区间表示在时间区间内走过的路程内走过的路程., 1ii tt 某时刻的速度某时刻的速度 第5页/共31页 设设函数函数

5、f (x)在在a,b有定义有定义,在在a,b中任意插入中任意插入定义定义 若干个分点若干个分点bxxxxxa nn 1210 把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间, 各小区间长度依次为各小区间长度依次为 ), 2 , 1( , 1 nixxx iii 在各小区间上任取在各小区间上任取 一点一点),( iii x 作乘积作乘积), 2 , 1()(nixf ii 并作和并作和 ii n i xfS )( 1 记记,max 21n xxx 如果不论对如果不论对 (1) (2) (3) (4) ,ba 6.1.2 6.1.2 定积分的定义定积分的定义 第6页/共31页 被积函被积函 数数 被

6、积表达被积表达 式式 记为记为 积分和积分和 怎样的分法怎样的分法, 也不论在小区间也不论在小区间 , 1ii xx 上点上点 i 怎样的取法怎样的取法, 只要当只要当,0时时 和和S总趋于确定的总趋于确定的 极限极限I, 称这个极限称这个极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的上的 定积分定积分. . i n i i b a xfIxxf )(limd)( 1 0 积分下限积分下限 积分上限积分上限 积分变量积分变量 a,b积分区间积分区间 第7页/共31页 b a xxfd)( b a fd)( ,)()1( 1 1 iii n i i xxbaxfS 的分法及在的分法及在是与是与

7、 ,)(lim 1 1 0 iii n i i xxbaxfI 的分法及在的分法及在是与是与 (2) 的结构和上、下限的结构和上、下限, 定积分是一个数定积分是一个数, 定积分数值只依赖于被积函数定积分数值只依赖于被积函数 取法取法上上 i 有关有关; ; 注注 取法取法上上 i 无关无关. . 而而与积分变量的记号无关与积分变量的记号无关. tt b a fd)(u u 第8页/共31页 , 0)( xf b a Axxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 , 0)( xf b a Axxfd)(曲边梯形面积的曲边梯形面积的 负值负值 b a xxfd)( 定积分的几何意义定积分的几何意义

8、2 A 1 A 3 A Ox y a b )(xf 1 A 2 A 3 A 第9页/共31页 几何意义几何意义 b a xxfd)( 各部分面积的代数和各部分面积的代数和. 取负号取负号. 它是介于它是介于x轴、函数轴、函数 f (x) 的图形及两条的图形及两条 直线直线 x = =a, x = = b之间的之间的 在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号;在在 x 轴下方的面积轴下方的面积 Ox y a b )(xf 第10页/共31页 例例xx d1 1 0 2 求求 解解 4 2 1xy o x y 1 1 xx d1 1 0 2 第11页/共31页 当函数当函数上上在区间在区间,

9、)(baxf的定积分存在时的定积分存在时, 上上在区间在区间称称,)(baxf可积可积. . 定理定理 （可积的必要条件）（可积的必要条件） 若若函函数数在在上上可可积积 则则在在上上有有界界( ) , ,( ) , .f xa bf xa b 第12页/共31页 定理定理1 1,)(上连续上连续在在设设baxf上上在在则则,)(baxf 可积可积. . 定理定理2 2,)(上有界上有界在在设设baxf且只有有限个间且只有有限个间 上上在在则则,)(baxf可积可积. .断点断点, , 充分条件充分条件 定理定理3 3,)(上单调在设baxf上上在在则则,)(baxf 可积可积. . 第13页

10、/共31页 解解 ii n i xf )( 1 ii n i x 2 1 i n i i xx 1 2 例例 用定积分定义计算由用定积分定义计算由 , 2 xy ,等分等分n, n i xi 分点为分点为分成分成将将 1 , 0 和和x轴所围成的曲边梯形面积轴所围成的曲边梯形面积. 直线直线1 x ni2 , 1 小区间小区间, 1ii xx 的长度的长度 , 1 n xi ni2 , 1 取取, ii x ni2 , 1 nn i n i 1 2 1 n i i n 1 2 3 1 n i 2 xy 1 2 xxd 1 0 y Ox 第14页/共31页 nn i n i 1 2 1 n i

11、i n 1 2 3 1 6 )12)(1(1 3 nnn n nn 1 2 1 1 6 1 0 xx d 1 0 2 ii n i x 2 1 0 lim nn n 1 2 1 1 6 1 lim 3 1 n 第15页/共31页 对定积分的对定积分的补充规定补充规定 ,)1(时时当当ba b a xxfd)(0 ,)2(时时当当ba b a xxfd)( a b xxfd)( 第16页/共31页 证证 b a xxgxfd)()( iii n i xgf )()(lim 1 0 ii n i xf )(lim 1 0 ii n i xg )(lim 1 0 b a xxfd)( b a xxg

12、d)( (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 性质性质1 1 b a xxgxfd)()( b a b a xxgxxfd)(d)( 第17页/共31页 证证 b a xxkfd)( ii n i xkf )(lim 1 0 ii n i xfk )(lim 1 0 ii n i xfk )(lim 1 0 b a xxfkd)( 性质性质2 2 性质性质1和性质和性质2统称为统称为线性性质 线性性质. . b a xxkfd)( b a xxfkd)()( 为常数为常数k 第18页/共31页 例例 cba 若若 c a xxfd)( b a xxf

13、d)( b a xxfd)( c a xxfd)( b c c a xxfxxfd)(d)( 定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性 则则 性质性质3 3 c b xxfd)( c b xxfd)( 假设假设 bca b a xxfd)( a xxfd)( b xxfd)( c c cba, 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.不论不论 第19页/共31页 证证0)( xf0)( i f ni, 2 , 1 0 i x 0)( 1 ii n i xf ,max 21n xxx ii n i xf )(lim 1 0 b a xxf0d)( 性质性质4 4 性质

14、性质5 5 b a xd1 b a xdab 如果在区间如果在区间上上,ba , 0)( xf 则则 b a xxf0d)()(ba 第20页/共31页 推论推论1(1(保序性保序性 ) ) 证证)()(xgxf 0)()( xfxg 0d )()( xxfxg b a 0d)(d)( b a b a xxfxxg 如果在区间如果在区间上上,ba ),()(xgxf 则则 b a b a xxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 b a b a xxgxxfd)(d)( 第21页/共31页 )(ba 证证| )(|)(| )(|xfxfxf 推论推论2(2(定积分的绝对值不等式定积分的绝对值

15、不等式) ) b a b a xxfxxfd| )(|d)( b a b a xxfxxfd| )(|d)( b a xd b a xd b a xd 第22页/共31页 解解 令令xexf x )(0, 2 x 0)( xf0d)( 0 2 xxe x xe xd 0 2 xxd 0 2 于是于是xe xd 2 0 xxd 2 0 比较积分值比较积分值xe xd 2 0 和和xxd 2 0 的大小的大小. 例例 第23页/共31页 证证Mxfm )( b a b a b a xMxxfxmdd)(d )(d)()(abMxxfabm b a 此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积

16、分值的大致范围 性质性质6(6(有界性有界性) )mM和和设设分别是函数分别是函数 上的上的在在,)(baxf最大值及最小值最大值及最小值. )(d)()(abMxxfabm b a 则则 第24页/共31页 解解 x xf 3 sin3 1 )( , 0 x 1sin0 3 x 3 1 sin3 1 4 1 3 x xx x xd 3 1 d sin3 1 d 4 1 00 3 0 3 d sin3 1 4 0 3 x x 估计积分估计积分.d sin3 1 0 3 的值的值x x 例例 第25页/共31页 解解 x x xf sin )( 2 sincos )( x xxx xf 2 )t

17、an(cos x xxx 0 2 , 4 x 估计积分估计积分.d sin 2 4 的值的值x x x 例例 上上在在 2 , 4 )( xf , 22 ) 4 ( fM , 2 ) 2 ( fm dx x x 2 4 sin 4 22 4 2 2 2 2 1 第26页/共31页 性质性质7 7（积分中值定理（积分中值定理) )如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 上上,ba 连续连续, , 则在积分区间则在积分区间上上,ba至少存在一点至少存在一点 , 使下式成立使下式成立: )(d)(abfxxf b a ).(ba 积分中值公式积分中值公式 第27页/共31页 例例0d sin lim x x x an n n 求证求证 证证 由积分中值定理由积分中值定理有有 x x x an n d sin ann n x x x an n n d sin lim a n n n sin lim 0 (a为常数为常数) n n sin )(nan 第28页/共31页 思考题思考题 ,d2 2 6 xx xyyxx20, 2, 6 及及由由 解解由定积分几何意义可知由定积分几何意义可知 的面积的面积就等于就等于 OABxx 2 6 d2 轴轴下下在在的的面面