向量及线性运算三PPT学习教案

1、会计学1 向量及线性运算三向量及线性运算三 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. . 向量表示：向量表示： 以以 1 M为起点，为起点， 2 M为终点的有向线段为终点的有向线段. 1 M 2 M a 21M M 模长为模长为1 1的向量的向量. . 21M M 00 a 零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0 |a 21M M| |向量的模：向量的模：向量的大小 向量的大小. . 单位向量：单位向量： 或或 或或 或或 第1页/共24页 自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量 不考虑起点位置的向量. . 相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且

2、方向相同的向量. .记作记作 负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. . a a b a a ba 第2页/共24页 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念： , 0 a, 0 b a b 向向量量a 与与向向量量b 的的夹夹角角 ),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 第3页/共24页 b,a,OB OA作作 ),( 0AOBAOB 设设

3、的的规定不超过规定不超过 称为向量称为向量a与与b的夹角。的夹角。 第4页/共24页 ba / 两个非零向量如果它们的夹角为两个非零向量如果它们的夹角为0或或 （方向相同或相反）（方向相同或相反） ，都称这两个向量平行。记作，都称这两个向量平行。记作 两个非零向量如果它们的夹角为两个非零向量如果它们的夹角为 ，称这两个向量垂直，称这两个向量垂直. 记为记为 可以认为零向量与任何向量都平行。可以认为零向量与任何向量都平行。 两向量平行，又称两向量共线。两向量平行，又称两向量共线。 向量的共面向量的共面 设有设有k（k2)个向量，当把它们起点放在同一点时，如个向量，当把它们起点放在同一点时，如 果

4、果k个终点和公共起点在同一个平面上，就称这个终点和公共起点在同一个平面上，就称这k个向个向 量共面。量共面。 2 ba 第5页/共24页 1 加法：加法：cba a b c （平行四边形法则）（平行四边形法则） 特殊地：若特殊地：若a b a b c |bac 分为同向和反向分为同向和反向 b a c |bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则） 第6页/共24页 向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律： （1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa 2 减法

5、减法)( baba a b b b c ba bac )( ba ba a b 第7页/共24页 babababa 或或 其中等号在其中等号在a 与与b同号或反号时成立同号或反号时成立 第8页/共24页 , 0)1( a 与与a 同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a 反向，反向，|aa a a 2 a 2 1 第9页/共24页 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律： （1 1）结合律：）结合律：)()(aa a )( （2 2）分配律：）分配律：aaa )( baba )( . 0 ab aba ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在

6、唯分必要条件是：存在唯 的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理 两个向量的平行关系两个向量的平行关系 第10页/共24页 证证充分性显然；充分性显然； 必要性必要性a b 设设, a b 取取 取正值，取正值，同向时同向时与与当当 ab 取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab .ab 即有即有 .同向同向与与此时此时ab aa 且且a a b .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a ，故故0 . 即即 第11页/共24页 O i 1 P x x 第12页/共24页 . . ),( ,/, ix

7、OPxP 。Px， ，xP xixOPP 。xOP OPx ixOPx， iOPOPP 的的充充分分必必要要条条件件是是的的坐坐标标为为轴轴上上的的点点 的的坐坐标标为为轴轴上上的的点点定定义义实实数数据据此此 有有一一一一对对应应的的关关系系与与实实数数从从而而数数轴轴上上的的点点 实实数数向向量量于于是是点点 一一一一对对应应与与实实数数 并并知知的的值值称称为为数数轴轴上上有有向向线线段段实实数数 使使的的实实数数根根据据以以上上定定理理必必有有唯唯一一 对对应应一一个个向向量量对对于于轴轴上上任任一一点点 第13页/共24页 同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零

8、向量设设aa 0 按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定， 0 |aaa . | 0 a a a 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量. 第14页/共24页 例例1 1 化简化简 5 3 2 1 5 ab bba 解解 5 3 2 1 5 ab bba ba 5 5 1 2 5 1)31( . 2 5 2ba 第15页/共24页 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形. 证证 AMMC BMMD A

9、D AM MDMC BMBC AD与 与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证. A B C D M a b 习题7-1.2 第16页/共24页 向量的概念向量的概念 向量的加减法向量的加减法 向量与数的乘法向量与数的乘法 （注意与标量的区别）（注意与标量的区别） （平行四边形法则）（平行四边形法则） （注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向） 第17页/共24页 思考题思考题 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线 AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba , 第18页/共24页 思考题解答思考题解答 BCAD AM M

10、D).( 2 1 ba DC AB AM MB ).( 2 1 ba A B C D M a b 第19页/共24页 一、一、 填空：填空： 1 1、 向量是向量是_的量；的量； 2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模； 3 3、 _的向量叫做单位向量；的向量叫做单位向量； 4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量； 5 5、 与与_无关的向量称为自由向量；无关的向量称为自由向量； 6 6、 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做_，三，三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做_ _ _； 7 7、两两向向量量_

11、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我们们称称这这两两个个向向量量相相等等； 8 8、两两个个模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互为为逆逆向向量量； 9 9、把把空空间间中中一一切切单单位位向向量量归归结结到到共共同同的的始始点点，则则终终点点 构构成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 练练 习习 题题 第20页/共24页 1010、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 始点，则终点构成始点，则终点构成_； 1111、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba ,应满足

12、应满足_ _ _； 1212、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba , 应满足应满足_ _ _ _ . . 二、二、 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形行四边形 . 三 、 把三 、 把ABC的的BC边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为 4321 ,DDDD， 再 把 各 分 点 与 点， 再 把 各 分 点 与 点A连 接 ， 试 以连 接 ， 试 以 aBCcAB ,表示向量表示向量ADADADAD 4321 ,和和 . . 第21页/共24页 练习题答案练习题答案 一、一、1 1、既有大小、既有大小, ,又有方向；又有方向； 2 2、大小；、大小； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起点；、起点； 6 6、共线向量、共线向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同；