一周髀算经与赵爽弦图

1、 中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝 中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至 公元14世纪。分成三个阶段：两汉时期；魏晋 南北朝时期；宋元时期。 主要数学典籍：周髀算经与九章算术 等 古代数学家：刘徽、祖冲之父子等 中国古代数学瑰宝 1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成 19831984年间考古学家在湖北江陵张家山 出土的一批西汉初年（约为公元前170年前后） 的竹简，共千余支。经初步整理，其中有历谱、 日书等多种古代珍贵的文献，还有一部 数学著作 ，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算 书的书名叫算数书， 它是中国现存最早的数学专著。 中国现存最早的 数学书算数书数学书算数书 (西汉

2、, 约公元 前 170 年 , 1983- 1984年间湖北江 陵张家山出土) 算数书算数书 算数书 研究得知，这“本”竹简算数书和九章 算术算术（公元1世纪）有许多相同之处，体例 也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、 术三部分组成，而且有些概念、术语也与九 章算术的一样。 周髀b 算经 （髀：量日影的标杆）是我国 最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应 天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要 内容是周代传下来的有关 测天量地的理论和方 法。 周髀算经也是中国最古的算书，成书确切 年代没有定论，一般认为在公元前 2、3世纪。 李约瑟认为：“最妥善的办法是把周髀算经 看作具有周代的骨架加

3、上汉代的皮肉。” 周髀算经 周髀算经中的勾股定理 周公问商高关于计算的问题，商高答曰：周公问商高关于计算的问题，商高答曰： “数之法出于圆方，圆出于方，方出于数之法出于圆方，圆出于方，方出于 矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为 勾广三，股修四，径隅五。勾广三，股修四，径隅五。” 荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾 股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪 至日者，以日下为勾，日高为股。勾、 股各自乘，并而开方除之，得邪至股各自乘，并而开方除之，得邪至 日，日，” 九章算术 九章算术九章算术成书于公元前后，是我国最重要、 影响最深远的一本数学著作。它不是出自一个 人之手，是经过历代多人修订、增补而成，

4、其 中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国 儒家的重要经典著作周礼记载西周贵族子 弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、 书、数）中有一门是“九数”。九章算术 是由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前 213年）之前，至少已有原始的本子。 九章算术九章算术 (东汉, 公元100年) 九章算术九章算术 后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳 风等人均对九章算术作过注。特别是 刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解， 阐述了重要的数学理论。九章算术注 是九章算术得以流芳百世的重要补充 和媒介。 九章算术 对九章算术的评价对九章算术的评价 日本数学家小苍金之助把九章算术说成是中 国的几何原本。吴文俊教授也

5、认为，九章 算术和刘徽的九章算术注，在数学的发展 历史中具有崇高的地位，足可与希腊的几何原 本东西辉映，各具特色。 1968年德国沃格尔（Vogel）把九章算术译 成德文出版时加的评论认为：“在古代算术中， 包含如此丰富的246个算题，现存的埃及和巴比 伦算题与之相比，真望尘莫及。以希腊而论，所 保存的古算题为我们所熟知者，也属于希腊化时 代。” ? 方田 九章算术 九章算术 ? 粟米 ? 衰分 ? 少广 ? 商功 ? 均输 ? 盈不足 ? 方程 ? 勾股 世界数学古典名著 ? 以筹算为基础的 中国古代数学体系 正式形成 第一章“方田”讲述有关平面图形（土地田 亩）面积的计算方法，包括分数算法

6、，38个 问题。如： 一今有田广十五步，从十六步，问为田几何？ 答曰：一亩。 二又有田广十二步，从十四步，问为田几何？ 答曰：一百六十八步。 方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二 百四十步除之，即亩数，百亩为一倾。 九章算术 九章算术 五今有十八分之十二，问约之得几何？ 答曰：三分之二。 六又有九十一分之四十九，问约之得几 何？答曰：十三分之七。 约分术曰：可半者半之，不可半者，副置 分母子之数，以少减多，更相减损，求其 等也，以等数约之。 九章算术 第二章第二章“粟米粟米”讲述有关粮食交换中的比例讲述有关粮食交换中的比例 问题。书中的问题。书中的“今有术今有术”给出比例式中已知给出比例式中

7、已知 三数求第四数的方法，欧洲迟至三数求第四数的方法，欧洲迟至15世纪才出世纪才出 现。 第三章第三章“衰分衰分”讲述配分比例和等差、等比讲述配分比例和等差、等比 等问题。 第四章第四章“少广少广”讲述由田亩面积求边长，由讲述由田亩面积求边长，由 球体积求经长的算法，这是世界上最早的多球体积求经长的算法，这是世界上最早的多 位数开平方、开立方法则的记载。位数开平方、开立方法则的记载。 九章算术 第五章第五章“商功”讲述各种土木工程中的体 积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、 修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造 了许多有关土方体积计算和估算的方法， 本章即为经验和方法的理论总结，诸如长 方体

8、、台体、圆柱体、锥体等体积的计算 公式都与现在一致，只是圆周率取3，误 差较大。 九章算术 第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计算 问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。 第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的解 法。盈不足术实际上是一种线性插值法。该 方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特 别重视，被称为“契丹算法”。后来传入欧 洲，洲，1313世纪意大利数学家斐波那契的算经 一书中专门有一章讲“契丹算法”。 九章算术 第八章“方程”讲述线性方程组的解法， 还论及正负数概念及运算方法。 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下 禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾

9、二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、 中、下禾实一秉各几何？ 勾股术 第九章第九章“勾股”在周髀算经中勾股定理 的基础上，形成了应用问题的“勾股术”， 从此它成了中算中重要的传统内容之一。 今有池方一丈，葭ji生其中央，出水一尺。 引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？ 答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。 术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。 余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得 葭长。 刘徽和祖冲之父子 2、中算发展的第二时期：数学稳步发展 从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝 建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动 荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独 尊儒学之后，学术界

10、思辨之风再起，在数学上 也兴起了论证的趋势。许多研究以注释周髀 算经、九章算术的形式出现，实质是寻 求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这 是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中 国传统数学稳步发展的时期。 九章算术注 公元263年撰九章算术注 阐述了中国传统数学的理 论体系与数学原理 中国传统数学最具代表性 的人物 刘徽(魏晋, 公元3世纪) （中国，2002 ） 刘徽的数学成就 刘徽的九章算术注包含了他本人的许 多创造，其中最突出的成就是“割圆术” 和求积理论。和求积理论。 圆周率 刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出 发，算到圆内接正192=625边形，得到 “徽率”3.14。 推测祖

11、冲之可能也是沿用了“割圆术”， 计算到圆内接正24576=6212边形，即可 得祖冲之的结果。 祖冲之(南朝宋、齐, 429-500 年) 刘徽的求积理论 刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而 又基本的原理之上，这就是“出入相补原 理”。刘徽用这条原理成功地证明了九 章算术中的许多面积公式。章算术中的许多面积公式。 刘徽在推证九章算术中的一些体积公 式时，灵活地使用了两种无限小方法：极 限方法与不可分量方法。 祖冲之祖冲之 刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖 冲之推进和发展。 祖冲之（429500年），范阳遒县（今河北涞源 ）人，活跃于南朝的宋、齐两代，

12、曾做过一 些小官，但他却成为历代为数很少能名列正 史的数学家之一。 祖冲之祖冲之 祖冲之的著作缀术，取得了圆周率的计 算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之 关于圆周率的贡献记载在隋书（唐，魏 征主编）的律历志中：“古之九数，圆 周率三，圆径率一。自张衡、刘徽、王蕃、 皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。祖冲之 算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，并 以355/113（=3.1415929）为密率，22/7（ =3.1428）为约率。 缀术缀术 缀术的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积 不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或 不可分量原理，因为1635年意大利数学家卡瓦 列里

13、（15981647年）独立提出，对微积分的 建立有重要影响。 在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够 与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美 的数学大家，主要的数学成就在于建立中国数 学教育制度。为了教学需要唐初由李淳风等人 注释并校订了算经十书（约656年）。 算经十书 出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自下 令对以前的数学著作进行整理。公元656年 由李淳风负责编定了算经十书：周髀算 经、九章算术、孙子算经、 五曹算经、张邱建算经、夏侯 阳算经、缉古算经、海岛算经、 五经算术和缀术，后因缀术 失传，而以数术记遗替代。 孙子算经 鸡兔同笼鸡兔同笼今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足。

14、问雉、兔各几何？答曰： 雉二十三，兔一十二。 术曰：上置头，下置足，半其足，以头除 足，以足除头，即得。 物不知数物不知数今有物，不知其数。三三数之， 剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。 问物几何？答曰：二十三。 孙子歌 明代数学家程大位的算法统宗中所明代数学家程大位的算法统宗中所 载的载的“孙子歌孙子歌”以诗歌形式介绍了物不以诗歌形式介绍了物不 知数问题的解法：“三人同行七十稀， 五树梅花廿一，七子团圆整半月，除百五树梅花廿一，七子团圆整半月，除百 零五便得知。零五便得知。” 这一问题的解法后经秦九韶推广到一般 情形，被称为情形，被称为“孙子定理孙子定理”，又称为，又称为 “中国剩余定理中

15、国剩余定理”。 宋元数学中国古典数学宋元数学中国古典数学 的全盛时期的全盛时期 3、中数发展的第三阶段：宋元数学 宋元时期（960-1368）的杰出数学家秦九 韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为“宋元 四大家”。 宋元时期的数学代表著作有数书九章 （秦九韶）、详解九章算法（杨 辉）、益古演段（李冶）和四元 玉鉴（朱世杰）等 宋元数学宋元数学 社会背景：公元960年，北宋王朝的建立结束 了五代十国（907960年）割据的局面。北 宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技 术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发 明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛 应用。雕版印书的发达，特别是北宋中期， 在宋仁宗庆历年

16、间（约10411048年），毕升 活字印刷术的发明，完成了印刷史上一项重 大的革命。 贾宪三角 贾宪（约公元11世纪）是北宋人，在 朝中任左班殿值，约1050年完成一部 叫黄帝九章算术细草的著作，原 书丢失，但其主要内容被杨辉的详 解九章算法摘录，因能传世。贾宪 发明了“增乘开方法”，是中算史上 第一个完整、可推广到任意次方的开 方程序，一种非常有效和高度机械化 的算法。 贾宪三角 在此基础上，贾宪创造了“开方作法本源图” （即“古法七乘方图”或贾宪三角），西方人 叫“帕斯卡三角”或“算术三角形”，因为法 国数学家帕斯卡（16231662年）于1654年发 表论文论算术三角形，以及另外一些类似

17、的 小问题。 天元术天元术 李冶（金、元，11921279年），金代真定 栾城（今河北栾城）人，出生的时候，金 朝（11151234年）正由盛而衰，曾任钧州 （今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古 军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心学问 。1248年撰成代数名著测圆海镜，该 书是首部系统论述“天元术”（一元高次 方程）的著作。 天元术天元术 “天元术”与现代代数中的列方程法相类似， 称未知数为天元，“立天元一为某某”，相 当于“设x为某某”，可以说是符号代数的 尝试，在数学史上具有里程碑意义。刘徽注 释九章算术“ 正负术”中云：“正算赤 ，负算黑”，李冶感到用笔记录时换色的不 便，便在测圆海镜

18、中用斜画一杠表示负 数。 李冶的天元术列方程： x3+336x2+4184x+2488320=0 。 大衍术 秦九韶（约12021261年），南宋普州安岳 （今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和县 ）守，1244年，因母丧离任，回湖州（今浙 江吴兴）守孝三年。此间，秦九韶专心致志 于研究数学，于1247年完成数学名著数书 九章， 内容分为九类：大衍类、天时类、 田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类 、军旅类、市易类，其中大衍使得宋代算书 在中世纪世界数学史上占有突出的地位。 中国剩余定理中国剩余定理 秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一 算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和 高斯

19、（1801）分别对一次同余式组进行了详细 研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术” 相同的定理，并对模数两两互素的情形给出 了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还 解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国 人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算 法是一致的，因此关于这一算法被称作“中 国剩余定理”。 垛积术垛积术 杨辉（公元13世纪），南宋钱塘（今浙江 杭州）人，曾做过地方官，足迹遍及钱塘 、台州、苏州等地，是东南一带有名的数 学家和数学教育家。杨辉的主要数学著作 之一详解九章算法（1261年）是为了 普及九章算术中的数学知识而作，它 从九章算术的246道题中选择了80道有 代表性的题目，进行详解，其中主要的数 学贡献是“垛积术”。 垛积术 垛积术垛积术是由多面体体积公式导出相应的 垛积术公式。另一贡献是所谓的“杨辉 三角”，其实