06第六编数列(共41页)

1、数学题 _数学网 6.1第六编 数列数列的概念及简单表示法自主学习S基础自测1. 下列对数列的理解有四种： 数列可以看成一个定义在N （或它的有限子集1，2，3, ,， n）上的函数； 数列的项数是有限的； 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； 数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是 （填序号）.答案2. 设Q=-n2+10n+11，则数列an从首项到第 项的和最大.答案10或113. （2008 安徽文，15）在数列an中，a“=4n-,日汁日2+, +a“=an2+bn, n N,其中 a、b 为常数，则 ab= .2 答案-14. 已知数列佝的通项公式是an= ?n Fn为奇

2、数），则a? a3=.gn _2（n为偶数），答案205. （2008 北京理，6）已知数列an对任意的p, q N满足ap+q=Q +aq且日2=-6,那么a=_答案-30典例剖析一*例1写岀下面各数列的一个通项公式:(1)3，5,7，9,J (2)1371531 5J 2481632(3)-1313135-J 23456(4)2，-110-17 -26373791113(5)3，33,333,3 333 ) 解（1）各项减去1后为正偶数,所以 an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少n d1,而分母组成数列21, 22 , 23 , 24,所以 Q=212n数学题_数学网 课件、教案、试

3、卷，全免费下载（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1 ） n;各项绝对值的分母组成数列1, 2 , 3, 4,而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1,偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，所以Q=（-1）2 (-1)_l（n为正奇数） 也可写为a= 0.1 a= (10 n-1).3二此数列为递增数列例3（14分）已知数列an的前n项和S满足an+2SS“=0 （ n2）, &=丄，求an.2解 当 n2 时，a“=Sn- Si-1,/. S- S-1+2SnS-1 =0,即丄-=2,4分Sn Sn -4数列，丄：是公差为2的等差数列.6分 又 S=a =丄，二=2

4、,2S11二=2+ (n-1 ) 2=2n,Sn二 S=丄.2n10当 n2 时，an=-2SS“=-2 丄 _1_2n 2(n _1)12n(n -1)12a= 21一2n(n /)(n =1)(n _2)14知能迁移1.根据下面各数列前几项的值，写岀数列的一个通项公式:(1)246 810315356399(2)19252, , 8 ,222(3)5,55 , 555 , 5 555 ,55 555 ,(4)5,0 , -5 , 0 , 5 , 0 ,-5 , 0 ,(5) 1, 3, 7, 15, 31,解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1 X 3, 3X 5,

5、 5X 7,7 X 9, 9 X 11 ,每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式2n(2n -1)(2n 1)9 162222(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察:可得通项公式an= .2n个1i*1 I(3) 联想 99 9=10-1,n个n个 5 5则 a = 555 = (999) = (10 -1),99即 an = - (10 n-1).9(4) 数列的各项都具有周期性，联想基本数列 1, 0, -1 , 0,贝u Q=5sin .2(5 )v 1=2-1 , 3=22-1 , 7=23-1 ,-an=2 -1故所求数列的通项

6、公式为a=2n-1.2.已知函数 f (x) =2x-2-x，数列an满足 f (log 2an) =-2 n.(1) 求数列an的通项公式；(2) 求证：数列an是递减数列.(1)解/ f (x) =2x-2-x,/ f (log 2an) =2 log2an-2 丄og2an=-2 n,即 Q- 1 =-2 n. an/ an +2n an-1=0.，又 an 0 ,&= , n21 - n.(2)证明/an0,且 a“=Jn2 十1 -n.日.斗=J(n +1)2 +1 (n +1)ann2 1 n 1.Jn2 +1 + n. (n 1)21 (n 1)/ an+1 0，Si- an-1

7、 =2,当 n=1 时，a1=1,an是以1为首项，2为公差的等差数列/ an=2n-1 ( n N*). 活页作业 一、填空题1. 数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,的第 100 项是 _.答案142. 数列an中，a1=1,对于所有的 n2, n N 都有 a1 a2 a3 , an=n2，贝U a3+a5=.答案61163.数列-1, 8，5-15，空，,的一个通项公式是79n(n - 2)答案a=(-1)2nn个图案中需用黑色瓷砖4. 下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第 块.(用含n的代数式表示)(!)(2)(3)答案

8、 4n+85.已知数列an的前n项和Sn=n2-9 n,第k项满足52 时，an=3Sn-4, / 3S=an+4,3Sn =an *4 pSn + =an + +4可彳得:3 an+1 =an+1 - anan+=- 1，二 aI2，a3，,，an成等比数列,an2an=a2n-21 q =_ 0尸=-(1皆212丿丿1(n =1)an= 1 I丿(nH211.在数列g 中,ai = l, an=1- 1 (n2, n N*)，数列&的前 n 项和为 Sn. 2an A(1) 求证： an+3=a；(2 ) 求 a2 008.(1)证明a n+3=1=1-an 211 一an 1= 1111

9、 -an11anan=1-=1-=1-11an anan -11-1=1-(1- an)= a-31 +3 =a n.(2)解由(1)知数列an的周期T=3,1q =， a2=-1 ， a3=2.21又. a2 008 =a3 X 669+1 =3i =.2 & = 1a2 008 212.已知二次函数f (x)=x2-ax+a ( x R)同时满足：不等式f (x) 0的解集有且只有一个元素；在定义域 内存在0 X1 f(X2)成立.设数列a的前n项和Sn=f ( n).(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 求数列an的通项公式.解(1)v f (x) 0的解集有且只有一个元素，/ =a2

10、-4 a=0 =. a=0 或 a=4,当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在(0, 2)上递减， 故存在0 f(X2)成立， 当a=0时，函数f (x)=x2在(0,+ a)上递增， 故不存在0 X1 f(X2)成立, 综上，得 a=4, f ( x)= x2-4 x+4.(2)由(1)可知 Sn=n2-4n+4,当 n=1 时，a1=Si=1,当 n2 时，a n=Sn- Sn-1=(n2-4 n+4)- :(n-1) 2-4( n-1)+4 =2n-5,(n =1)(n _2)-a= 1 U n 42n -5 6.2等差数列及其前n项和B基础自测11. （2008 广东理，2）记等差

11、数列an的前n项和为S,若& =丄，S4=20,则S=.2 答案 482. （2008 陕西理，4）已知an是等差数列，日1+日2=4,日7扫8=28,则该数列前10项和$。=.答案 1003. （2008 全国I理，5）已知等差数列 认?满足a2+a4=4,日3+日5=10,则它的前10项的和5。=.答案954. 已知两个等差数列an和b的前n项和分别为An和B，且-A! = 7n 45，则使得 更为整数的正整数n的Bn n +3bn个数是个.答案55. （2009 姜堰中学高三第四次综合练习）设等差数列an的前n项和为S,若日4+日12+日17+日19=8,贝U S25的值为答案 50 典

12、例剖析 一例1已知数列 an满足a1=4, an=4- ( n2),令bn=1.求证：数列bn是等差数列an4an 2证明/ an+1-2=2- 4 = 2(an 一2)anan1 =an = an -2 2 = 1 +1 . = + an 1 _2 2(an -2)2(an _2)2 an -21 1 1- =,an1 -2 an -22 -bi+1 - bn=.2二数列bn是等差数列 例2在等差数列an中，(1) 已知 a15=33, a45=153,求 a“；(2) 已知日6=10, Ss=5,求 a8和 S8;（3）已知前3项和为12,前3项积为48,且d 0,求a1.解 （1）方法一

13、 设首项为a,公差为d,依条件得33 =a1 +I4d 53 =a1 +44d解方程组得a1 =-23, d =4. &1=-23+(61-1) X 4=217.方法二 由 d=aam ,得 d=5=Lz33=4,n m451530由 an=am+( n- d,得 a“=a45+16d=153+16X 4=217./ C、. .“ C C L . N +5d =10(2) .日6=10, S5=5, d5a1 +10d =5解方程组得a1=-5, d=3, / a8=Sb+2d=10+2X 3=16, Ss=8X (a1 匈=44.2(3)设数列的前三项分别为 a-d, a, a+d,依题意有

14、:(a _d) +a +(a +d)2(a -d) a (a d) =48a =4. a =4t(a2 -d2) =48j =d2 / d 0, . d=2,a-d=2.首项为 2.曰产2.例3 （14分）在等差数列an中，已知 并求岀它的最大值.a1=20,前项和为Sn,且S10=Sl5，求当n取何值时,Sn取得最大值,解 方法一.a1=20， Sw=S15, 10X 20+10 9 d=15X 20+15 14 d,2 2 d=-3 a=20+ (n-1 )X (- 5 )=- 5 n+色.333-ai3=0.10即当 nW 12 时，a 0, n 14 时，an=-2 2=2d d =

15、2d (n 2).2 2又 a=bi，a2=2d b2 b12_ 2d +b2_ 2d +b2 b)_ 3d-a2- a1 =- b1=2 2 2综上，an+1- an= d ( n N).2所以an是等差数列.2.设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S?=7, $5=75,为数列的前n项和，求Tn.解 设等差数列an的公差为d,则 S=na1+ n(n-1) d,2：S=7, S5=75,.7印 +21d =715a1105d =75即a1 3d =1 ,解得引Y, a1 7d =5d =1.巫=31 + ( n-1) d=-2+ -(n-1), n 22-Sn +Sn = 1.

16、 1 n 1 n 2.数列乞堤等差数列，其首项为-2,公差为1,2T,= 1 n2- 2n.443.等差数列an中，日!0, S9=S12,该数列前多少项的和最小?解由条件S=S12可得陽什口 d=12a+12 11 d，即 d=-丄 a. 2 2 10由a 0,即数列an为递增数列.方法一由具RE1)d0，an 屮=a1 +nd 工01(n -1) _ 010 n 11.10,解得1 ,n :、010 -当n为10或11时，Sn取最小值，二该数列前10项或前11项的和最小方法 Sg=Sl2，日10+日11 +日12=3日11=0， 日11=0.又0，从而前10项或前11项和最小.方法三/ S

17、=S2 Sn的图象所在抛物线的对称轴为x=9 12 =10.5,2又n N*，a1 0, an的前10项或前11项和最小.方法四 由S=na+吗z9d专n2 + ad n，结合d=- a1得10S= 一丄 a1 n2+ 21 a1 nl 20印丿 n (20a1 丿a4480+2al-20由二次函数的性质可知 n= =10.5时，Sn最小.2又n N*,故n=10或11时Sn取得最小值.i活页作业一*一、填空题1. 等差数列an的前n项和为S，若a2=1, a3=3,则S=.答案82. 在等差数列an中，已知 a1 =2, a2+a3=13,则 a4+a5+a6 =.答案 423. 已知某等差

18、数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为答案34.已知等差数列an的前三项分别为a-1,2 a+1, a+7,则这个数列的通项公式为答案an=4n-35. ( 2009 东海高级中学月考)设 an是公差为正数的等差数列，若ai+a2+a3=15, aia2Sb=80 ,则Qi +已12+已13 =.答案1056. (2009 兴化市板桥高级中学12月月考)数列an的通项公式是&=1-2n,其前n项和为S，则数列2, n N*),数列bn满足 bn= 1 (n N*).5an Aan 1(1) 求证：数列 bn是等差数列；(2) 求数列an中的最大项和最小项，并说明理由(

19、1)证明因为an=2-1(n2, n N), bn=1an 11 - 1-1 an 4、-1所以当n 2时，an /bn- bn-1 =an= 11 =an丄 -1 =1.1an -1 1an -1 1an d T2 -1an又b= 1=- 5 .所以，数列bn是以-5为首项，以1为公差的等差数列设函数f(x)=1 +2,易知f (x)在区间(-3 ,2x 一77 )和(7，+)内为减函数.2 2a1 -122所以，当n=3时，an取得最小值-1 ;当n=4时，an取得最大值3.10. 等差数列an的奇数项的和为216,偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公 式.解

20、设等差数列an的项数为2m+1,公差为d,则数列的中间项为am+1,奇数项有m+1项，偶数项有 m项.依题意，有S 奇=(m+1) am+1=216S 偶 =man+1=192一,得m需，解得,映数列共有2m+仁17项，把m=8代入，得 空=24,又.a+ai7=2a9,日17=2日9-日1=47, 且 d=日17 _a9 = 23 .17 _982323n15*a=1+(n-1) X 23 = 23n 15 (n N, n 17).8 811.设Sn是等差数列an的前n项和，已知丄S, - S4的等比中项为 丄Sq 1S3,丄S的等差中项为1,求数列3 4534an的通项公式.解 方法一 设

21、等差数列an的首项a1=a，公差为d,则S=na+巴!2d，依题意，有2d3X4+a G4.41 - 4 1 - 4xkld2X3+a a3.3.1 -ip-d2X3+2Xd3X4+2d4X 25+a5 .丄2523ad 十5d2 =0, 整理得52a =2,/ a=1, d=0 或 a=4, d=- / d=0 或 d=-.5 .5 an=1 或 an=32 上 n55经检验，a=1和an = 32Mn均合题意.55二所求等差数列的通项公式为a=i 或 a = 32 一咚 n55方法二因Sn是等差数列的前n项和，易知数列乞：是等差数列.依题意得n |鱼选=2鱼,354*鱼鱼鱼134(5 丿S

22、3 .S43 + 4 =2.34,解得S4S3=3,=4,或 $4=5,S52458J5-4由此得 a4 =S4- S3=1 ， a5 =S5- S=1,或,a5=-28 ,55-a“=a4+ (n-4 )X 0=1或 an=a4+ (n-4)X (-邑)= 3?5512 n.5故所求等差数列的通项公式an=1 或 an=2? - 12 n.5512.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为S，且满足：日3 日4=117, a2+as=22.(1)求通项a”;(2)若数列bn满足5=丑 n +c,是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出 c的值；若不存在,请说明理由.解 (1)由等差

23、数列的性质得，日2+日5=日3+日4=22,所以日3、日4是关于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以日3=9,日4=13.易知 a1=1,d=4,故通项为 an=1+(n-1) x 4=4n-3.(2)由(1)知 Sn=n(1 4n -3) =2n2-n,2所以5=仝1 -2a? nn +c方法一所以b1 = , b2= , b3= 15 (c 工 0).1亠c2亠c 3亠c1令 2b2=b1+b3,解得 c=-.2当 c=-丄时,bn=n=2n,2n-12当 n2 时，bn- bn-i =2.故当c=- 1时，数列bn为等差数列.2方法二当n2时,2 2bn-b.1=n

24、2(n -1) -(n -1)n +c=2n2 +(4c 2)n -3cn2(2c -1)n - c(c -1)欲使bn为等差数列，只需 4c-2=2(2 c-1)且-3c=2c(c-1) ( c 工 0)n -1 c解得c=- !.2 6.3 等比数列及其前n项和自主学习1. （2008 海南、宁夏理，4）设等比数列an的公比q=2,前n项和为S,则竺=.a2答案I522.等比数列an中，33=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为 .答案3. 如果-1, a, b, c,-9成等比数列，那么b= , ac=答案-3 94. 在等比数列an中，已知aia3aii=8，贝U日2日8=.答案

25、45. (2008 浙江理，6)已知an是等比数列，a2=2,a5=1,则 aia2+a2a3+, +a“an+i=.4 答案(i-4 -n)3例i 已知 an为等比数列，a3=2，a2+a4=，求an的通项公式3解 方法一 设等比数列an的公比为q，则q工0，_ a3 _ 2a2=_ =， a4 =a3q =2q，q q2 +2q= 20 .q 3i解得 qi = -，qz=3.3 当 q=i 时，ai=i8，3an=i8X ( i 八8 =2X 33-n.33n2 当q=3时，ai=，9.a=2 X 3n1 =2 X 3n3.9.an=2x 33-n 或 an=2X 3n-3.方法_二由

26、a3=2,得 a2a4=4，又 a2+a4=空，3则a?，a4为方程x2- 20 x+4=0的两根,32a2 =6解得f2 =3或2 .日4 =634 =3 当 a2 = 时，q=3, a=as q3=2x3 当 a2=6 时，q= 1 , an=2 x 33-n3a=2x 3n-3 或 an=2x 33-n.例2 (14分)已知数列an的前n项和为S，且对任意n N a=-( 1) +1.212有an+S=n.(1) 设bn=a-1,求证：数列bn是等比数列；(2) 设 C1=a1 且 Cn =an-an-1 ( n 2)，求Cn的通项公式.(1)证明 由a+S=1及a1=S得日产丄.2又由

27、 a+Sn=n 及 a“+1+Sn+1=n+1 得an+1 - an+a+1=1, 2an+1=an+1.2( an+1-1)= an-1,即 2bn+1 = bn.数列bn是以bi=a-1=-丄为首项,21214分分分分1为公比的等比数列2(2)解 方法一 由(1 )知 2an+1=an+1. 2an=an-1 +1 ( n2),2an+1-2 an=Q- Q-1, . 2Cn+1=Cn ( n 2).1 3又 C1 =a1= , a2+a1+a2=2, a2=.2 4 C2= 3 - 1 = 1 ,即。2=丄 C1.4242数列Cn是首项为1，公比为1的等比数列 Cn= 12 (-)n-1

28、=(1)n.22方法二由（1）bn=(-1)(丄)n-1=-( l)n22 2(n 2)2 2又Ci=ai= 1也适合上式，2 丿14例3 在等比数歹y an中，日1扫2+日3+日4+日5 = 8且-1 + 1 + 1 + 1 + -1 =2,求日3, ai 日2 日3 日4 日5解 方法一 设公比为q,显然q工1,/ an是等比数列，丄 也是等比数列，公比为 1.an q日曲_q5)1 -q由已知条件得 丄(1丄)日1q5,解得 a? q4 =4,1 一丄222/ a3 = (a1q )=4,. a3= 2.方法二由已知得：1 .2111 = ai a5 + 竺岂+冬 可 a2 a3 a4

29、a5 a1a5 a2a4 a2=a1 加2 七3 +日4 +日5 = 8 =2 a/ a3 =4. / a3= 2.例4某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩(全部成活)(1) 问需要几年，可将此山全部绿化完？(2) 已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？(精确到0.1 )解 (1)每年植树的亩数构成一个以日1=100, d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=am+- (n-1) d=100n+ n(n 一1)

30、x 50=3 250.2 2解此方程，得n=10 (年).(2)第一年种植的树在第10年后的木材量为2q (1+0.1 ) 10，第二年种植的树在第 10年后的木材量为2日29(1+0.1)， 第10年种植的树在年底的木材量为 2日1。(1+0.1), 第10年后的木材量依次构成数列6，则其和为T=b+b+, +bi0109=200X 1.1+300 X 1.1 +, +1 100 X 1.11.0 (万立方米).答 需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.1.已知等比数列an中，a3=2,S3=41,求a.2 23 1解 当 q=1 时，a=a2=a3=_,满足 S3

31、=4 ,22当q工1时，依题意有aq2 =_丿3ai(-q3)1 -q2解得q2= 1, a =6.综上可得：q = ?或日1=6.4 22. 设数列an是等差数列，日5=6.（1 ）当日3=3时，请在数列an中找一项am使得日3,日5, am成等比数列;,an ,(2)当 a3=2 时，若自然数n1,n2,nt,(t N)满足5vmv mv, 5 时，an=a5+(n-5) d=2n-4,又乱，a5, ari1 , an2 , , , ant ,成等比数列,则 q=丄=3, ant =a5 3 ,t =1,2,3, a32又 at=2nt-4, 2n t -4= a5 34=6 34, 2n

32、t =2 3t+1 +4.即 nt=3t+1+2,t =1,2,3,.3. （1）在等比数列 an中，a+a2=324, a3+a4=36，求 a5+a6的值；（2 ）在等比数列an中，已知日3日4日5=8，求日2日3日4日5日6的值.解 （1）由等比数列的性质知，日1+日2, a3+a4,日5+日6也成等比数列，则（日3+日4）2 =（日1+日2）（日5+日6）.-日5+日6=4.（2 ）-日3日5=日4，日3日4日5=日4 =8， a4 =2，又.&日6=&日5=日2， a2日3日4日5日6=日4 =32.据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.解 设该地区总面积为1,2006年底绿化面积

33、为 a=2，经过n年后绿洲面积为 日讯，设2006年底沙漠面积5为bi，经过n年后沙漠面积为bn+i，则ai+bi=1，a“+bn=1.依题意a+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分 8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%- bn，所以a+1=92% an+12%(1-an)=爲+仝,5 25即 a+1- 3 = 4( a- 3),-为公比的等比数列,5“5。%,|-i i.V 1. nlog 4 !=聖=3.2& 21 _3lg2则当n4时，不等式所以至少需要4年才能使绿化面积超过 50%. 活 页作业 一* -*一、填空题1. （2008 福建理）设an是公

34、比为正数的等比数列，若a1=1，日5=16,则数列an的前7项的和为.答案 1272. 若数列an的前n项和S=3n-a，数列a为等比数列，则实数 a的值是 .答案13. 设a, a4成等比数列，其公比为 2，空1_聖 的值为2日3 +日4答案-44. 等比数列an前n项的积为Tn,若日彳日点如是一个确定的常数，那么数列，J,7,T25中也是常数的项是 .答案 T175. 已知等比数列an的前n项和为S=x 3n-1-丄，则x的值为6答案丄26. 已知等比数列an中，日1+日2=30,日3+日4=120,贝U as+a6=.答案4807. 设数列an的前n项和为S, Sn=a1（3 -1）（对

35、于所有n1），且日4=54,则a的值是2答案28. 设等比数列an的前n项和为S, S4=1, S=17,则通项an=.答案丄 2n-1 或-1 (-2 ) n-1155二、解答题9. 数列an的前n项和为S，且S=(an-1).3(1)求 日1,日2； 证明：数列an是等比数列；(3 )求 an 及 Sn.11(1)解t a=S = 一 (a1-1 ),日1=-.32S=13-2n-1-又 a +a2S2= (a2-1),a2 = 1.34证明1-Sn=( an-1),3二 Sn+1=(an+1 -1 ),两式;相减，3得 a +1=an+1 - 31,即 an-=1 a1-1 an,332

36、数列an是首项为-丄，公比为-的等比数列22(3)解由( 2) 得 an=-1 11 (- 1)n-1 1 n=-(-),2 2210.数列 an中，a1=2, a2=3,且a“an+1是以 3 为公比的等比数列，记bn=a2n-1 +a2n ( n N).(1) 求日3,日4,日5,日6的值；(2) 求证：bn是等比数列.(1)解T anan+1是公比为3的等比数列，-aan+1=a1a2 3 =2 3 ，-93 =2 32=6，a4=2-3-=9,a2a5=2 34=18,a6=27.a5(2)证明/ anan+1是公比为3的等比数列, -aan+1=3an-1 an，即 a+1=3an-

37、1,二ai,a3,a5, ,a,与a2,a4,a6, , a2n,都是公比为3的等比数列二 Obn-1 =2 3n-1, 0bn=3 3n-1,-bi=a2 n-1 +a2n=5 3n-1.=_空=3,故bn是以5为首项，3为公比的等比数列.bn 5 3n411.设数列an的前n项和为3“，且(3-n)Sn+2ma=n+3(n N*),其中m为常数，且m工-3,0.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列a；的公比 q=f(n),数列5满足 bi=a，bn=? f (bn“)( n N, n2),求证: 2求bn.为等差数列，并证明 (1)由(3- n)S+2ma=n+3, 得(3- m) S

38、n+1+2ma+1=n+3,两式相减，得(3+m) an”=2ma,说-3, an是等比数列/ a!= 2m 工 0 ( n 1). an m 亠3(2)由(3- m S+2ma=n+3,解出 a=1,5=1.2 mq=f ( n)=, n G N 且 n 2 时,m +3bn=2f(bn-1)= 3 2bn J22bnd 3111 bbn-1 +3bn=3bn-1，推出 -=.bnbn3d丄 是以1为首项、1为公差的等差数列D:3.丄=1+口=丄2. . 0=丄.bn 33n 2 12. ( 2008 四川文,21)设数列an的前n项和S=2an-2n.(1 )求 a3, a4;(2) 证明

39、：an+1-2 an是等比数列；(3) 求an的通项公式.(1) 解 因为 a1=S,2 a1=S+2,所以 a=2,S=2.由 2an=Sn+2 知 2an+1=Sn+1 +2 =an+1+Sn+2 ,得 Q+1=S+2n+1.所以 a2=S1+22=2+22=6, S=8,=S+23=8+23=16, S3=24, a4=S3+24=40.(2) 证明由题设和式知a+1 -2 an=( S+2n +1)-( S+2n )=2n+1 -2 n=2n,所以an+1-2 an是首项为2,公比为2的等比数列.(3) 解 an=(an-2a1)+2( an-1-2an-2)+, +2n-2(a2a1)+2n-1a1=( n+1) 2n-1. 6.4 数列的通项公式及求和自主学习 一i*S基础自测1.如果数列an满足ai, Q-ai, a3-a2, , , an-an-i,是首项为 1，公比为3的等比数列，贝U an=.答案211112.数列 1