韦达定理及其应用竞赛题上课讲义

1、精品文档【内容综述】设 一 元 二 次 方 程。韦达定理及其应用有 二 实 数 根 ， 则 ，这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a，b，c 的关系，称之为 韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学 竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】1求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。例 1 若 a，b 为实数，且思路 注意 a，b 为方程，的二实根；（隐含，求）。的值。解 （1）当 a=b 时，；（2）当 韦达定理得时，由已知及根的定义可知，a，b 分别是方程， ab=1.的

2、两根，由说明 此题易漏解 a=b 的情况。根的对称多项式， ，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设 ，为方程的二根，则有递推关系。其中 n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。例 2 若 ，且 ，试求代数式的值。思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为 ，由根的定义知 m，n 为方程精品文档的二不等实根，再由韦达定精品文档理，得，2构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根 的一元二次方程。例 3 设一元二次方程的二

3、实根为 和 。（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以 程。和为根的一元二次方程仍为 。求所有这样的一元二次方解 （1）由韦达定理知， 。，所以，所求方程为（2）由已知条件可得。解之可得由得 ，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，( -1 ,0)，(0,1)，(2,1)，( -2 ,1)或(0, -1 )。于是，得以下七个方程 ， ， ， ， ，x2+2x +1 =0 ， x2-1 =0 ，其中 x2+1 =0 无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。3证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 例 4 已知 a，b，c 为实数，且满足条件： ，

4、，求证 a=b。精品文档精品文档证明 由已知得 ， 。根据韦达定理的逆定理知，以 a，b 为根的关于 x 的实系数一元二次方程为由 a，b 为实数知此方程有实根。 c20 ，故 c=0，从而。这表明有两个相等实根，即有 a=b。说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0 后，由恒等式可得 ，即 a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。4研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程1 方程有二正根2 方程有二负根3 方程有异号二根4 方程两根均为“0”的实根符号判定有下述定理： ，ab0；，ab0，ac0；，a

5、c0；，b=c=0， ；例 5 设一元二次方程 范围。1 二根均大于 1；2 一根大于 1，另一根小于 1。的根分别满足下列条件，试求实数 a 的思路 设方程二根分别为大于 1，另一根小于是等价于， ，则二根均大于 1 等价于 和异号。和同时为正；一根解 设此方程的二根为，则。方程二根均大于 1 的条件为精品文档2精品文档解之得-7 0,(x -1)(x -1) =6 -a -( -2a) +1 0.1 2解之得。a -7。说明 此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二 次不等式的解法，请参照后继相关内容。此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。5求参数的值

6、与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。例 6 解方程 解：原方程可变形为。令，。则,。由韦达定理逆定理知，以 a， -b 为根的一元二次方程是 。解得 ，或。即 a= -8 或 a=9。通过求解 x 结果相同，且严谨。解之得，（舍去）。此种方法应检验：是或否成立强化训练a 级1.若 k 为正整数，且方程 k 的值为_。有两个不等的正整数根，则2.若精品文档， ，则 _。精品文档3 .已知和是方程的二实根，则 _。4.已知方程 （m 为整数）有两个不等的正整数根，求 m 的值。级5.已知： 和 为方程 中 n 为正奇数，且。及方程的实根，其求证： ，是方程的实根。6.已知关于 x 的方程参考答案12的二实根 和 满足 ，试求 k 的值。提示：原方程即，所以 ，由知k=1，2，3，5，11；由整数根，不合题意。故 k=2。知 k=2，3，4，7。所以 k=2，3，但 k=3 时原方程有二相等正2 3 21提示：由 x，y 为方程的二根，知 ， 。于。提示：由 ， ，知，4设二个不等的正整数根为 ， 精品文档，由韦达定理，有42精品文档消去 m，得。即。则且。，。故。5由韦达定理有，。又，。二式相减得。，。将代入有 。从而 ，同理和是方程的根。6