专业题材训练蚂蚁爬行的最短路径

1、蚂蚁爬行的最短路径1 一只蚂蚁从原点 0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5 , -3 , +10 , -8 , -9 ,+12，-10 -1Q9-B -7 -6-5-4 -3 -2T6- I 2 3 4 5 7 8 910回答下列问题：(1 )蚂蚁最后是否回到出发点0 ;(2 )在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0 ;(2 ) (|+5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜9|+|+12|+卜10|)X 2=114 粒2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外

2、表面爬到顶点最短距离是.解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线.AB= 22 12,5 3 .（ 2006 ?茂名）如图，点 A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁 从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm解：由题意得，从点2+2=44 .如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A. A? P? BB. A? Q? BC. A? R? B D. A? S? B故选A.5.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为解:如图，AB=. 1221210 故选 C.6 正方体盒子

3、的棱长为 2 , BC的中点为M，只蚂蚁从 A点爬行到M点的最短距离为( )解：展开正方体的点 M所在的面, BC的中点为 M ,1所以 MC=BC=1 ,2在直角三角形中 AM=I 爲=. /7 如图，点A和点B分别是棱长为20 cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cm。1111AB= CD= DF+ FC=EF+GF=X20+X20=20 cm .2 2 2 28.正方体盒子的棱长为为.2，BC的中点为M，只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离第7题故选C.EAEF8CQM、D1，,32 2213解：将正方体展开，连接 根据两点之间线段最短，M

4、D = MC + CD=1+2=3MD 1 =, MD2 DD19 .如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3 X3个小正方形.其边长都为1cm , 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的 B点，最少要用 2.5秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线.(1) 展开前面右面由勾股定理得 AB= : =J_ cm ;(2) 展开底面右面由勾股定理得 AB= =5 cm ；所以最短路径长为 5cm，用时最少：5 +2=2.5秒.10 . (2009 ?恩施州)如图，长方体的长为15 ,宽为10 ,高为20 ,

5、点B离点C的距离为5,解：将长方体展开，连接 A、B,根据两点之间线段最短，AB= 11 =25 .A C11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点条棱长如图所示）为.，问怎样走路线最短？ 最短Ci处（三路线长ACi，ABCi是直角三角形,解：正面和上面沿AiBi展开如图，连接12 .如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到解：由题意得，路径一：AB= - +：= J.；路径二：AB= ： ! =5 ;二 5 ,5米为最短路径.13 .如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表

6、面爬到顶点 B.求：(1 )蚂蚁经过的最短路程；(2 )蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.解：(1) AB的长就为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为. ：-(cm )；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为】：-(cm),或T _(cm )所以蚂蚁经过的最短路程是皿cm .(2)5 cm +4 cm +5 cm +4 cm +3 cm +4 cm +5 cm =30 cm , 最长路程是30 cm .14 .如图，在一个长为 50 cm，宽为40 cm，高为30 cm的长方体盒子的顶点 A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点 B处去觅食，最短的路程是多少?解：图1图2中

7、,图3中,r /on/I1050團1国3A中, 殆二询俗朋 = 407889.4 cm -一：-I- : -.7 cm -I- .I-cm 采用图3的爬法路程最短，为 :- . .-cm15 .如图，长方体的长、宽、高分别为6cm , 8cm , 4cm .一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面,则这个长方形的长和宽分别是12 cm和6 cm ,则所走的最短线段是1 人=6 : cm ；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10 cm和8 cm ,第三种情况：把我们所看到的

8、前面和右面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是14 cm和4 cm，所以走的最短线段是丁一 - =2 cm ；三种情况比较而言，第二种情况最短.16 .如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm . A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点 B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20 cm，宽为(2+3 )X3cm ,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程为xcm ,由勾股定理得：x2=20 2+ (2+3 )X32=25

9、2,解得x=25 .故答案为25 .17 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm , 3cm和1 cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短线路是 cm。解：将台阶展开，如下图，因为 AC=3 X3+1 X3=12 , BC=5 ,所以 AB2= AC2+ BC2=169 ,所以 AB=13 (cm),所以蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .答：蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .从P点开始经过18 . (2011 ?荆州)如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5c

10、m .若一只蚂蚁解:PA=2 x(4+2 ) =12 , QA=5PQ=13 .故答案为：13 .19 .如图，一块长方体砖宽 AN =5 cm，长ND =10 cm , CD上的点B距地面的高 BD=8 cm ,地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少?解：如图1，在砖的侧面展开图 2上，连接AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程.解：在RtKBD中,U因为 AD = AN +ND =5+10=15, BD=8 ,所以 AB2= AD2+ BD2=15 2+8 2=289=17 2所以 AB=17 cm .故蚂蚁爬行的最短路径为17 cm .20 . (2009 ?佛山)

11、如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙) 一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬到柜角 C1处.(1 )请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2 )当AB=4 , BC=4 , CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；，有(3)求点B1到最短路径的距离.木柜的表面展开图是两个矩形 ABCiDi和ACCiAi.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AiCi和ACi.（2分）（2 ）蚂蚁沿着木柜表面经线段 AiBi到Ci,爬过的路径的长是-1-.（ 3分）蚂蚁沿着木柜表面经线段BBi到Ci ,爬过的路径的长是 ； ，一. （4 分）li 12,故最短路径的长是】一；.（5

12、分）(3)作 BiE丄ACi 于 E,则L?必A二戸？ 一；切所求.(8 分)2i.有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径5cm , A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离.3CE I*事/rAL*FAF=2 n?5=10 n AD =5 n! 2 2AC= - AD CD 16cm. 故答案为：16 cm .22 .有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面 1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 .:22-解: AB=51213m23 .如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为 -， 高为5，则蚂蚁爬行的最短

13、距离为解：因为圆柱底面圆的周长为2 nX =12，高为5 ,所以将侧面展开为一长为 12，宽为5的矩形, 根据勾股定理，对角线长为 =13 .故蚂蚁爬行的最短距离为13 .24 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm , BC是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是 解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为 24 cm ,1则 AD =24 X - =12 cm 2又因为 CD=AB=9cm ,所以 AC= 1=15 cm 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm 故答案为：15 25 （ 2006 ?荆州）有一圆柱体高为

14、 10cm，底面圆的半径为 4cm , AA1, BB1为相对的两条母线.在AA1上有一个蜘蛛 Q, QA=3 cm ；在BB1上有一只苍蝇 P, PB1=2 cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P点吃苍蝇，最短的路径是cm （结果用带n和根号的式子表示）解：QA=3，PBi=2 ,即可把PQ放到一个直角边是 4 n和5的直角三角形中,根据勾股定理得:26 同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.A处爬行到对问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从 A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这

15、条最短路线图.A、 B分别位于如图所示的位置,解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则连接AB，即是这条最短路线图.如图，将正方体中面 ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连接 AM，即是这条最短路线图.27 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线是.AC的中点 P处的食物，那么它爬行的最短路程B第5题n 4180解：圆锥的底面周长是 4 n,贝U 4 n=n=180。即圆锥侧面展开图的圆心角是 180在圆锥侧面展开图中 AP=2 , AB=4，/BAP=90这只蚂蚁爬行的

16、最短距离是 2. 5 cm .故答案是：2 .5 cm .28 .如图，圆锥的底面半径 R=3 dm ,母线l=5 dm , AB为底面直径，C为底面圆周上一点，/COB=150 D为VB上一点，VD= 护验现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点 C爬到D 则蚂蚁爬行的最短路程是（1 吕 Dtth 日解：.,.=设弧BC所对的圆心角的度数为 n,5rr tlx次弓:.= .解得n =90 ,dCVD=90 ,.CD=!-=4,29 .已知圆锥的母线长为 5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且/ AOAi=120。，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为。

17、解：连接AA ，作OC丄AA 于C圆锥的母线长为5cm，/AOAi=120AA =2 AC=5 . 3 .30 .如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是解：由题意知，底面圆的直径为2,故底面周长等于2 n.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得,4 n180解得n=90所以展开图中圆心角为90根据勾股定理求得到点 A的最短的路线长是：16 16 ,32 4.2 .31 . （2006 ?南充）如图，底面半径为 1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从 A点出发,绕侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长

18、是 。解：由题意知底面圆的直径 =2 , 故底面周长等于2 n设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n ,根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4n2 n=-180解得n=90 ,所以展开图中的圆心角为90 ,根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为4 2 .32 . （2009 ?乐山）如图，一圆锥的底面半径为 2，母线PB的长为6, D为PB的中点. 只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点 D，则蚂蚁爬行的最短路程为 解：由题意知，底面圆的直径 AB=4 ,故底面周长等于4 n.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4 n=2n 6360解得n =120根据勾股定理求得 AD= 3,3 ,所以蚂蚁爬行的最短距离为 3 3 33 .如图，圆锥底面半径为 r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于 A点，它从A点出 发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点， 请你给它指出一条爬行最短的路径， 并求出最短路 径.解：把圆锥沿过点 A的母线展成如图