复数与定积分练习题

1、2015届复数练习题1若复数(-3加)+ (F -5加+ 6)i ( mg R )是纯虚数，则加的值为(A)(D) 2 或 3(A) 0(B) 2(C) 0 或 32下列结论中成立的个数是()Z唁歸A. 0 冰显(丄;Z=1”B. 1n3| lull 为X o/,x i=i n 门C. 2D.33. 已知下列命题： 复数a+bi不是实数；若(x2-4) + (x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x二2; 若复数z二a+bi,则当且仅当bHO时,z为虚数. Jsin xdx = JqCOSxdx仍| sin x dx = | cosx | dx其中正确的命题有()A. 1个B. 2个C. 3个D.

2、 4个【解析】选A.根据复数的有关概念判断命题的真假:是假命题，因为当疋R且b=0时,a + bi 是实数;X2 - 4 = 0,2 是假命题，因为由纯虚数的条件得lx + 3x + 2工0,解得x=2,当x=_2时，对应的复数为实 数;是假命题，因为没强调a,beR.4. 在复平面内忆1忆2对应的点为4 ,8忆1+Z2对应的点为C ,0为坐标原点，则四边形046 :为平行四边形；若上】+刼= |Zi- Z2| ,则四边形OACB为矩形； 若加|二屣| ,则四边形OACB为菱形； 若|zi|= |Z2|S|Z1 + Z2 = |zi - Z2 ,则四边形 OACB 为正方形.其中正确的命题有(

3、)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 以初速度4OZs竖直向上抛一物体，速度p = 40-10/2,则此物体达到最高时的高度为()A.型mB.聖mC.兰mD.竺m33336. 己知集合 A = z | (a + bi)z + (a - bi)z + 2 = 0, w R, z w c , B = z | z |= 1, z w C,若= 0，则a、b之间的关系是(B )A . a2 +b 1B . a2 +b2 lD . a + b2y ,故A错，B项，=x2 -y2 +2xyi f故B错， C项，|z-z|2y ,故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共辄复数及其儿 何意

4、义，属中档题8. (2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)设函数f(x)的定义域为R,竝(竝工0)是/(X)的极大值点，以下结论一定正确的是()A. Vxg /?,/(x)/(x0)B. 一心是/(X)的极小值点C. -是-/的极小值点D. -心是的极小值点1 / 10【答案】D9.己知函数f(x)的定义域为一2, +8),部分对应值如下表，f(x)为/(x)的导函数，函数 y = f (x)的图象如右图所示：2Q24p*)4I*122若两正数满足于(a + 2b)l,则 H 的取值范围是()a + 4A. (y,-)B. (-,y)C.D. (-1,-)【答案】D10. (2007

5、年上海卷)己知2 + ai,b + i是实系数一元二次方程X2 + px+q = 0的两根，则的 值为(A)A、p = -4,q = 5 B、p = 4,q = 5 C、p = 4,q = 5 D、p = -4,q = 511.己知函数y = /(x)的图象是折线段ABC,其中4(0,0)、3(*5)、C(l,0),函数y = xf(x) (OKI)的图象与x轴围成的图形的面积为。【答案】-4【解析】当OS斗线段43的方程为y = 10x,当莽时。线段BC方程为y-0x-11325-0整理得 y = -lOx + lO10x90 x -2-lOx+10丄210x0x 丄210x + 10x,

6、3L io孑+(_T+5亍)；=1012丹腥H芒為亠哪-18113.汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度。二1.8米/秒: 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了米.解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v0 =32公里/小时二连胖米/秒88米/秒,刹车后汽车减速行驶，其速度为v(t)=v0-t=8.88-1.8t当汽车停Q QQ住时，速度 v(t)=O,故从 v(t)=8.88-1.8t=0解得 t=4.93秒1.8于是在这段时间内，汽车所走过的距离是2 / 104.93$ = (8.88_1.&)出二(8.88 1.8x丄F) 21.9

7、0 米,即在刹车后，汽车需走1121.90米才能停住.4.9314.由曲线y = x2 + 2与y = 3x, x = 0, x=2所围成的平面图形的面积是 解:由题意知阴影部分的面积是：S=Jq(x2 + 2-3x)dx + J；(3x-x2 -2)dx=(扑 + 2 |亍)|； +(討-扑- 2x) |f=115.若复数2满足囲且Z + S，复数解：&lz = ci + bi(a,b g R),由 = 1 | + 1| =即|( + 1) + 仞=(6/-l)+Z?z|/.(a + l)2=(a-i) +，得a = 0,.Z = bi,又由仞 + ?g /?得b-g = O=b = /2

8、. z =/bib16.若复数z = l+i，且实数a, b满足血+ 2如= (a + 2z)，则实数Cl = 一4,十b = 2,或a = 2,b = -l.17.复数zi=l+2/, Z2=-2+/, Z3=-l-2f,它们在复平面上的对应点是一个 正方形的三个顶点，则这个正方形的第四个顶点对应的复数 为分析一：利用AD = BCt求点D的对应复数.解法一：设复数乙、Z2、Z3所对应的点为4、B、C,正方形的第四个顶 点D对应的复数为x+yi(xf yeR),是：AD = OD 一 OA =(x+yi)(1 +2/)=(x l)+(y2)i;BC = OC-OB =( -1 -2/)-(-

9、2+0=1-3/./ AD = BC ,即(al)+O2)/=l-3/, fx 1 = 1,.J c l解得彳y_2 = _3,故点D对应的复数为2 L分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心來解.解法二：因为点4与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(一2七片 (xyi)=0, x=2, y= 1.故点D对应的复数为2 L点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到 启迪解题思路的作用.解：由复数相等的定义易得x = 2, y = _l.18.设z是虚数，是实数，且一1血2,1 7(1)求上|的值及Z的实部的取值范围；(2)设“=，求证为纯虚数

10、;3 / 10求ojir的最小值.(1) 解：是虚数，可设Z二x + yi , X , yWR ,且yHO .1 . 1 . % = Z + = x + yi += x + yi + ; = x + ;2x + yiJr + yT s是实数且yHO , )丿二0，F + y2 +尸=1 ,即国=1 .此时co = 2x .*.* - 1 co 2 ,- 1 2x2 ,从而有-x 1 ,即z的实部的取值范围是(冷，、1 - z 1 -(X + yi)(2) 证明：u =二1 + Z 1 +(x + yi)(1 -x-yi)(l+x-ji)(1 +x)2 + /1 - 2yiy二二-i(1 +x)

11、2+/1 +x1) , yHO ,一工0 ,“为纯虚数 l+x(3) 解：s- u2 = 2x -2 /(y 1_疋(1+人丿(1 +x)21 - X2= 2x += 2x - 1 +1+x1+x2=2(x+ 1) + 3 1 +x*/ - | x 0 .2 于是 69 - w2 = 2(x + 1) + 31 +x讨(I吒亠1.7当且仅当2(x + 1)二亠，即x二0时等号成立1 +x69 - U2的最小值为1 #此时Z = 14 / 1019若复数z满足|z+p+i|Wl,求:(1) 国的最大值和慕小值；(2) |z-l|2 + |z+l|2的最大值和最小值；(3) |z-V3|2+|z-

12、2i|2的最大值和最小值.思路分析：本题主要考查复数模的几何意义明确满足条件z +羽+忏1的复数z的几 何意义为：圆心为(-1),半径为1的圆内区域，包括边界，恸则表示圆面上一点到原 点的距离.解：(1)如图所示：|0|二7(-帝)2 + (- 1尸二2 .|max = 2+1=3 , |/T, AP2 + AE2 = PE2 .I ZEAP = 90 , B卩 AP丄 AE又 ADHAE = A :. 4P丄平面4DE,I DE u平面ADE,AP丄DE(3)解法一:如图，分别以AP.AEAD所在的直线为兀轴建立空间直角坐标系设 AD = m(m 0)，则 4(0,0,0), D(0,0,m

13、), E(0,2,0), P(2,0,0) 易知平面ADE的一个法向量为“二0,0),x-y = 02y _ 阮=0 - -设平面DEF的一个法向量为A (x, y, z),则? ff=故2X *纣弓,即/?) = 0 I2y-皿=02 2令x=l,贝ljy = l,z = ,故齐=(1,1,_)/W“ AP n.cos = _APn即AD = V2 平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60 解法二:过点A作40丄DE交DE于Q点,连結PQ,由有AP丄DE APCAQ = A :. DE丄平面AP0 PQ u 平面 APQ,:. DE 丄 PQ. ZA0P为二面角A-DE-F的平面角，6

14、/ 10由 ZA0P二60, AP二BF二2 得 AQ= AP =,tan 603又 ADAE=AQDE得2AD = -22 + AD2，解得 AD =忑,即= 时,平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为6021. 己知函数/(x) = (2-)(x-l)-21ux, g(x) = xei (aWR, e 为自然对数的底数).(I)当。=1时，求/的单调区间；(11)若函数“丫)在(0,|) 无零点，求。的最小值; (III)若对任意给定的xe(O,可，在(0,可上总存在两个不同的兀(心1,2),使得/a)= gg)成 立，求a的取值范围.解：(I)当 a = Ri,f(x) = x-1 -

15、21iix,贝if(x) = l-?,X由 f(x) 0,得x 2;由 fx) 0,得 0 x).(II)因为/(A-) 0恒成立, 即对(0,丄),a 2 - 2E恒成立。2x-l令 l(x) = 2-生二 x G (0 丄)，x-122 ?-(x-l)-21iix2111X + -2则/=_ ;=，(1)(1)21再令 mx) = 2 In x + - 2, x w (0、一)，x2贝mx) = -4+-= _2叮 町)=2-21112 0, 从而,心) 0, T是/(x)在(0,扌)上为增函数， 所 1/(%) 0,函数g单调递增； 当x e (l,e时,g，(x) v 0,函数g (x

16、)单调递减.又因为g(0)=0, g(l)=l, g(e)=e.e1_f 0, 所以，函数g(x)在(0厨上的值域为(0,1.7分当a = 2时，不合题意；7 / 10当ah 2时/= 2_a_Z=(2_小_2 =x x(0，可2 当= 时 J x) = 0.2-a由题意得J(x)在(0间上不单调，故0 丄“即a2-？9分2-ae(0,宀22-&4广(00十/W最小值此时,当x变化时/加的变化情况如下:2?/(-)m-21h J(e) = (2-fl)(e-l)-2,2-2-。所以，对任意给定的xw(0,4在(0同上总存在两个不同的豹= 1,2), 使亀(人)=gw成立，当卫仅当a满足下列条件

17、：2/(-)02-a艮卩2fl-21n 0,函数/i(a)单调递增;2当a e (0,2 一)时 0,函数(a)单调递减e2所以,对任意a e (-oc,2 - 一),有力l恒成立，求R的最大值；X-1(3) 当 mnl 5, neZ )时，证明：(nmm)n (mnn)m .【答案(l)/(x)是奇函数，所以f(-x) = -f(x),即8 / 102分，3分,4分，当xl时，设g亠=2皿,则g二口二攀6分x-1x-1(x-l)设h(x) = x-2-kix,贝!| /? (x) = 1 - 0 , /心)在(1,+8)上是增函数8 分x因为 /?(3) = 1 - lii 3 0,所以 1

18、xog(3, 4),使h(xo) = 010 分，xe(l, x0)时，h(x) 0 , g(x)0,即 g(x)在(1,兀)上为减函数;同理g(x)在(兀，+00。)上为增函数从而g(x)的最小值为g(x) = “ + 严=Ao耳-1所以k (/?/?),即要证nnn + nviln.ni mnrn+nvikin6 分,八 “n lii n m lii mR卩 证(1 一 7)hl11 加(1 一 n) hl /w , 1X-1rilIi /z、 x-l-hix 则(P (x)=十(x-1 广设 g (x) = x _ 1 _ In 牙，贝|J g (X)= 1 + 013分8分,12分,9

19、分,10分11分,a(-x) + (/)lii | -x + Z?|= (ax+ lii x + b)所以 hi | -x + b= lii | x + Z? |,从而 b = 0此时/(x) = ax+xln |/ (x) = n +1 + hi | x|依题意广(w) = a + 2 = 3,所以q = 1g(x)在(1, +8)上为增函数12分，Vxl , g(x)g(l) = l l lnl = 0 ,从而 0(x)O,久x)在(1,+8。)上为增函13分,因为m 7? 1,所以(p(ii) (p(m),n lii n m lii m (rnnn)m14分已知函数 /(x) = alnx-dx 3(a w R且a H 0).(I)求函数/(x)的单调区间；(I【)若函数y = /(x)的图像在点(2J(2)处的切线的斜率为1,问：/“在什么范I韦I取值耐，对于任意的虫1,2,函数g(x)= x5 +x2- +广在区间(/,3)上总存在极值？2(III)当a = 2时，设函数/?(Q = (p 2)x 圧空_3 ,若在区间1，可上至少存在一个心，使得 x加X。) f(xQ)成立,试求实，数p的取值范围.解：