复数运算的常用规律和几何意义

1、则 w/=1,1+w+w 2=0,6. Z1 Z2 Z1 Z2Z1 Z2 Z1Z2Z1咗)Zi久|2 石(Z2工0)乙=乙(Z2工0)7. | Zi 乙 | 二 | Zi8. Z= ZZ R9. Z=- ZZ=ki(k10. r1(cos 0 1+isk+isin 0 k)=rr k cos( 0 1+ 02+03+0k)+isin(01+02+ 03+ +0 k)其中123r k 0(0 1、0 2、0 30 k R)R) Z=Z n 0 1) r2(cos0 2+isin 0 2) rk(cos 0复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式 是代数形式的运算。多样性的运算

2、使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：1. (1+i) 2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a (a,bR)(a+bi)(a-bi)二a2+b2 (a+bi)2=a2-b 2+2abi (a,b R)2 2 2(a-bi) =a-b -2abi (a,bR)等4k4k+14k+24k+32.i=1,i =i,i =-1,i=-i (b N)3. Z+ Z=2ReZ Z- Z=2(ImZ)i(其中 ReZ,ImZ 分别表示复数 Z 的实部和虚部)24. Z Z= | Z | = |1 仝5. 设 w=-2 + 2 i复数的几何意

3、义加法的几何意义：设。乙，OZ2各与复数乙，乙对 应，以。乙， 0Z2为边的平行四边形的对角线 OZ就与乙+乙对应。减法的几何意义：设。乙，OZ2各与复数Z 1, Z2对应，则图中向 量乙乙所对应的复数就是 乙-Z1。|乙-Z2 |的几何意义是分别与Z1,乙对应的两点间的距离。乘法的几何意义：设AB表示复数r(cos 0 +isin 0 )(r 0)，把AB绕A点按逆时针方向旋转a角，旋转后再把所得向量的长度变为原来的 k倍(k 0)得到AC , 则 AC 对应的复数是r(cos 0 +isin 0 ) k( cos a +isin a )，如果 把ab绕A点按顺时针方向进行同样方式的旋转 和

4、伸缩，那么所得向 量对应的复数是r(cos 0 +isin 0) k(cos a -isin a )除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，乙丄Z2=Zi ( Z2)因此除法运算的几何意义与乘法运算的几何意义实质相 同。复数方根的几何意义：设OZ对应的复数是 乙Z的n次方根(n 2,n N)对应于 从原点 出发且在 原点处n等分圆周角的n个向量，这n个向量的模都是 Z , 其中一个向量的辐角是复数 Z的辐角的n分之一，图中画出了模为8 的向量OZ所对应的复数的三次方根。乙,OZ2 , OZ3其中0乙的辐角取 OZ辐角的三分之一。由复数的几何意义推导的结论Zi1. Z1 Z2 工 0,贝,

5、Z+Z2 | = | 乙-Z2 |Z2=入 i ( 入 R 且入工0)对应的向量OZi丄OZ22. 设P点对应的复数为 乙，点Q对应的复数为Z2,贝y向量PQ对 应的复数是乙-Z13. 向量PQ绕点P顺时针方向旋转角0 ( 0 0)所得到的向量对 应的复数 应是(Z2-Z1):cos(- 0 )+isin(- 0门 而旋转之后点Q对应 的复数应是(Z 2-ZJ :cos(- 0 )+isin(- 0 门 +Z4. | Z-Z1 | = | Z-Z2 |表示以复数 乙、乙在复平面内对应的点为端 点的线段垂直平分线的方程。5. | Z-Zo | =r表示以Z0为复平面内对应的点Z0为圆心，半径是r 的圆的方程。6. | Z-Zi | + | Z-Z2 | =2a(2a | ZZ | )表示以乙、乙在复平面内 对应的点Z 1、乙为焦点，长轴是2a的椭圆方程。7. | Z-Zi | - | Z-Z2 | =2a(2a v| Z1Z2 | )表示以乙、乙在复平面内对应点乙、Z2为焦点，实轴长是2a的双曲线方程，在复数集上的方 程主要有三个问题：复数集上方程的求解；根据方程解的情况讨论参数的取值范围；与复数集上方程有关的计算或证明。求解复数集上的方程主要有以下四种解法： 设Z=x+yi(x , y R)从而转 化为关于实数x, y的方程。 若是复数