届全国统一考试考前预测卷(一)(理数)

1、2017届全国统一考试考前预测卷（一）数学（理科）本试卷分为第I卷（选择题）和第U卷（非选择题）两部分，满分 150分 考试时间120分钟第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设集合 M =Z , N J.xx2 x 2 ：0?，则 M N =（）A .，VB . : -1，0?C.臼，2?D . :-1，22 已知i是虚数单位，复数 2 -i2017 2的共轭复数为（）A. 3 4iB . 3 4iC. 5 4iD. 5 4i3.已知等比数列an /的公比q = 2，a16,则其前2017项和S

2、2017二（）A. 22019-4B. 2201*-2C. 2201*-4D. 22019-24下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的更相减损术”.执行该程序框图，若输出的a =2，则输入的a,b可能是（）A.15,18B.14,18C.12,18D.9,18x-y 1_05若实数x, y满足不等式组*x+2y20，贝V z = 9x2+12xy + 4y2+1的最小值为（）A . 2B . 5C . 26D . 376.在-ABC中，a,b,c分另U为A, B,C所对的边，若函数132f x x bx 亠 i a2c -ac x有极值点，则Sin（2BP）的最小值是（A. 0

3、 B2C仝27某学校需要把 6名实习老师安排到师，已知甲不能安排到 二班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（A. 24B. 36C. 48D. -1C三个班级去听课，每个班级安排2名老)D. 722 2&如图，F1,F2分别是双曲线 笃一爲=1 a 0,b 0的左、右焦点，过 只（-、万,0）的直a b线I与双曲线分别交于点A,B，若.ABF2为等边三角形，则双曲线的方程为（5x2 眩=1282x 2,B. y = 162y-=162 25x 5y ,D.1872 xBCD，若该三棱锥的外接球的体积为20 15n，则 ABC边长为（）A. 33 2B. 63 4C.63 311.如

4、图所示，A , B , 线段CO的延长线与线段C是半径为2的圆0上不同的三点,BA交于圆外的一点D，若2OC=hOA+OB 皆 R，卩 e R),yk + 卩的取值范围是（）A (0,2) B. (2, ：) C :, -2D -2,0212.已知实数a,b满足a iee 1 F2八则Jc)2nc)2(c0)的最小值为J2e2 +1 -eB eJe2 +1 -eC -e第卷（13-21为必做题，22-23为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡 相应的题号后的横线上）a x 939a 213.已知（一J）的展开式中，x的系数为，则J 一dx=.x 242

5、 x -114已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视 图为直角梯形，则该几何体中最长的棱长是 .15如图，在. ABC中，角 代B,C所对的边分别为a,b,c，且 a si nAcos C (sin Aos A8 !是D103侧视圈AC 的中点，且 cosT，B26 则 ABC的最短边的边长为216.如图，已知椭圆y2 =1的左、右顶点分别是 A, B ,2过点B作x轴的垂线I，点P是直线l的一点，连接PA交椭圆于点C，坐标原点是 O,则OP与BC所成角为.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）17.（本小题满分

6、12分）已知数列an满足 & =2an -2n 1 n（n N*）.(1 )求 a2,a3；(2)是否存在实数，使数列an 为等差数列，若存在，求出请求出的值，若不存2n在，说明理由18. (本小题满分12分)2017年两会继续关注了乡村教师的问题， 随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障， 流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题， 为此，某市今年要为两所乡村中 学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要 2万元，若三年后教师严重短缺时再 招聘，由于各种因素，则每招聘一名教 师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，以这100所乡村中学流失教师数的频率代替 1所乡村中学流

7、失教师数发生的概率，记 X表 示两所乡村中学在过去三年共流失的教师数，n表示今年为两所乡村中学招聘的教师数 .为保障乡村孩子教育部受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘(I)求X的分布列；(n)若要求P(X b，贝U a 变为 14-4=10,由 a b，贝U a 变为 10-4=6,由a b，则a变为6-4=2,由av b，则b变为4-2=2,由 a=b=2,则输出的a=2考点：程序框图5. 【答案】B【解析】作出可行域，如图所示，z = (3x 2y)2 13 卩设J =3x 2y变形成y = -x 可知过点A(0,1)时纵截距最小，此时二-2 ,2 22=) , Zmin =5

8、.考点：简单的线性规划6. 【答案】Da0有两个不等实根【解析】由已知可得f x = 2x 2 b x 2 a 2 c2 2 2 2 2 2-.：-4b -4 a c -ac 0= a c -b : aca2 c2cosB 二-b22ac36二二 5 二二2B(:,),sin(2 B)min = -1 3 333考点：函数的极值,余弦定理，三角函数最值7. 【答案】C【解析】先考虑甲不能到止班的方案:(c2c5C60，减去其中乙和丙安排到同一班级的方案(C2C3)C2 =12，即 48 种，选 C.考点：排列组合8. 【答案】C【解析】由已知 BF2 BF)=2a , AR AF2 =2a，又

9、 ABF?为等边三角形，所以AR - AF2= BF|= 2a ,所以BF2= 4 a.在AAF-i F2中,AFi= 6 a,AF2= 4a ,2 2 2RF2 =2c, NFiAF2=60巾，由余弦定理得 4c =36a +16a 2疋 6a疋 4a疋 cos60 ，解2 得 a2 =1，所以b2 =6，双曲线的方程为 X2-1，故选C.6考点：双曲线的定义和标准方程.9. 【答案】B【解析】由已知可得f ( -X)二-f (x)= f (x)是奇函数=排除 A、C ;又f(2C2c0es2 1 2 2排除D,故选B.考点：函数的图象.10. 【答案】D【解析】取BC的中点为M, E、F分

10、别是正三角形 ABC和正三角形BCD的中心，O是该 三棱锥外接球的球心，连接 AM、DM、OF、OE、OM、OB，贝U E、F分别在AM、DM上, OF丄平面BCD , OE丄平面 ABC , OM丄BC, AM丄BC , DM丄BC，所以/ AMD 为二面角A BC D的平面角，因为平面ABC丄平面 BCD，所以 AM丄DM，又 AM=DM=1所以EM =FM =AMa，所以四边形OEMF为正方形，所以OM=a，在直角三角形OMB中，球半径0B=善2，所以外接球的体积为4n筈，故选D.考点：三棱锥的外接球问题11. 【答案】D【解析】因为0A =OB = 0C= 2,200= 0A0B，所以

11、 40C0A0B展开得 42 422-0A OB =16,所以2 - 2- cos A0B = 4 ,NA0B =60时，九2 +卩2 +2川=（人+卩）2 人卩=4即（扎+卩f =4 +人卩4 ,所以-2 ： 2 .当0A,0B趋近于射线0D时，由平行四边形法则可知0C =0E 0F 二一0A堆,此时2 2:, 0,、占 0 且， ,所以 ： 0,因此 / J的取值范围是-2,0，故选D.考点：平面向量的数量积12.【答案】C【解析】用x代换a，用y代换b，贝U x,y满足x i e=1 ,以x代换c，可得点（x,ln x）,满足y = In X ,所以求（a -c）2，（b - In c）

12、2的最小值即为求圆x- e 1 y2 =1上的点Q到曲线y=lnx上的点P的距离的最小值由圆的对称性! Ie丿f 1、知,只需考虑圆心 C e+-,0倒曲线y=lnx上的点距离的最小值设曲线y = lnx上任一点 I e丿1 1 1P t,l nt,yy /,即经过P的切线斜率为-，由切线垂直于直线PC,所以xtt01 = _1，即：ln t t2 - e - t = 0.不妨设 g x = ln x x2 - e - x，贝Vel tI e丿gI e丿I e丿1f1 g x2x I e x 0 X 2 x . 3时，g x i，0,. g x 在 2,3 为增函数，又xIe丿g(e)=lne

13、+e2 e+1e = 0 ，即当 P(e,1)时线段 PQ长度最小，为考点：1求切线方程; 二、填空题.913.【答案】ln .5l e丿2.函数的单调性；3.两点间距离公式【解析】由二项式r a g rJ 2 r的展开式为1 =Cg()()x V xr 亠 r9-rC9 axlr =8，可得 T9 =( - 1)8C8a( 2)8x3 =9 2，ax3，令 9 2a=9，解得 a =4.4)dx = ln (x1)：I n( x+1)考点：二项式定理的应用，定积分计算.14.【答案】8.【解析】由题设三视图中所提供的信息可知该几何体的直观图如图所示:BAB 二 AD 二 DE 二CF =4,

14、 CD 二 EF = 8 , AE = BC =4、2, BF =J16 32 =4._3 .故最长的棱长为8.考点：三视图15【答案】2、2【解析】* * 1 asin AcosC csin A cos Ac ,311sin Asin AcosC sinCsinAcosAsinC，即 sin AsinBsinC.33由 cosB空得sinB5：C -二-A B , 3sin A - 5sin A B ,则 sin A = cosA，得 tan A = 1兀212 V2- A，则 c b be = 26,4 42:sin AnC 且 sinB531sin C，23辽A辽-远a ,5351 a

15、10-3a2 =26.5解得 a = 2、5 , b = 2/2, c = 6. ABC的最短边的边长2j.考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.16.【答案】ji【解析】设P(&,t)，则直线PA的方程为y =2X + 2彳y =1_由 2，整理得(4 t2)x2 2.2t2x 2t0,y =寺3 + 72 )X2二4,2 - 24 2 -2t2 4t4 22，则点C的坐标是(土严，),4 + t4 t24 t2故直线BC的J2t斜率kBC，由于直线OP的斜率kOP，故kBC kop - -1 ,. OP _ BC .t.2考点：直线与椭圆的位置关系 三、解答题.a f17.【答案】（1）3

16、9,325 ；（ 2）存在实数九=-1，使数列号丁为等差数列【解析】(1)v Sn =2an -2n 1 n Snj =2ani -2n - n -1(n _2)从而an =2a2an j -2n 1,即：an =2an 2n -1(n _ 2)可得a3 = 2a2 + 23 _ 1 二 a3 = 25 .2a1 = 3 , a2 = 2 a12 -1 = a2 = 9 ,若乩 2n325+:2 8(2)为等差数列，则 Za3a2 丁 儿)厂2(丁),当= -1时,2务2n -22n2na+12心即: an 一12nan 1 -1存在实数考点：递推公式的应用=1,数列葺二为等差数列.a +九使

17、数列色一为等差数列.2n,等差数列的定义，数列探索性问题18.【答案】（I）见解析；（n） 19； （m） n =19.【解析】8, 9, 10, 11（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一所高校在三年内流失的人才数为的概率分别为0.2, 0.4, 0.2, 0.2，从而P(X=16)=0.2 0.2 =0.04 ；P(X =17) =2 0.2 0.4 =0.16；P(X=18)=2 0.2 0.2 0.4 0.4 =0.24；P(X=19)=2 0.2 0.2 2 0.4 0.2 =0.24 ；P(X =202 0.2 0.4 0.2 0.2 = 0.2 ；P(X =21) =2 0.2

18、0.2 =0.08；P(X =22) =0.2 0.2 =0.04.X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04所以X的分布列为(n)由(I)知 P(X18)=0.44 , P(X N +x2设1 上式转化为罟(1)，设 g(t) = In t2(t -1)一 t 1g(t)(t -1)22t(t 1)g(t)在(1, ：)上单调递增，- g(t) g(1) = 0I nt 坐也, t+1- In x1 In x22 .考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数与方程、不等式 22.【答案】(1) x2 (y - .3)2 =3 ； (2)【解析】(1)由题意知，曲线 C1的直角坐标方程为x2 y2 12. 3y 30.x = 2x 6 设点N (x, y) , Q(x, y).由中点坐标公式得 丿J= 2y代入 x2 y2 12x 4、3y 36 = 0 中，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为x2 （y -、_ 3）2 = 3 .（t为参数）（2） P的坐标为（、,3,0），设I的参数方程为代入曲线C2的直角坐标方程得：t2 -（3 、一