广义积分习题课

1、第九章广义积分习题课一、主要内容1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。2、敛散性判别法Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法。3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义 既是定性的一一用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的一一用于 计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy判别法用于不

2、变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。对具体广义积分敛散性判别的程序：1、比较法。2、Cauchy法。3、 Abel判别法和Dirichlet判别法。4、临界情况的定义法。5、发散性判别的Cauchy收敛准则。注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy法所起作用基本相同。注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使

3、用的顺序例1判断广义积分IpdJ 的敛散性。0 xp xq分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用解、记111 dx Idx0xp xq，21 xp xq对丨1，先讨论简单情形p q时，p 1时收敛，p 1时发散p q，不妨设p q，则Ii1 dxxp(1xq P),故,0时为常义积分,此时收敛。p 0时，由于lim xpx 01xp(1 xq p)因此，丨1与p积分同时敛散，即p 1时收敛，p 1时发散因此，对丨1，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。上述结论也可以总结为：minp,q1时收敛，maxp,q 1时发散。综上：p 1 q或q 1 p时收敛，其余发散。或者为：mi

4、np,q102x分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身 有界性一一用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性一一用于获得 收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。解：先分析绝对收敛性，由于sin(x )mX故，m1时，广义积分绝对收敛当0 m 1时，利用配因子法验证积分片段的有界性,A2 sin(x1-)dx| xA12 (12xA| 2 sin(x-)sin( x x1-)d(xx-)x1-)dx| xA 1dx Mx由 Dirichlet由于判别法，广义积分收敛而类似可以证明21 2 1 sin(x )2sin (x )xmx-) dx收敛,11 cos

5、2(x )m，xcos2(xmx发散，故0 m 1时，广义积分条件收敛。 注、从解题过程中可知，利用定义可以证明 注、不能将积分分成如下两部分sin(x 丄)x2占血发散，因而,m=0时积分发散。1|si n(x )|齐JxxI 2 m dx 二 2 x通过右端两部分的收敛性得到才成立上述的分解结论sin x 1 ,cos-dxIII2 x xI的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时,cosx . 1 , 不 sin dx， x x例3讨论I叫刃dx的敛散性。xm分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论In (1 + x)的当x 0和x时的性质，进行阶的比较。解、记I11|n(1 x)dx，

6、10 xI2ln(1 x)dx。1x对I1，由于1 ln(1lim xx)m1,X 0x故，当m-1 1，即 m 0。2时I发散。lx分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积 分，可以用比较判别法或 Cauchy判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于 被积函数是变号函数，因此，应该用分析Abel判别法或Dirichlet判别法。解：记丨1. sin x 1 e sin 2x , dx , 0 xsin xe sin 2x , dxx对丨1，当11 ,i.e 2 时,sin x1 e sin 2x lim xx 02e故，丨1收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。当 1

7、1 ,i.e2时,对I 2，由于limx 0sin x1e_2exsin xe sin2xx故当1时，丨2 （绝对）收敛。1时，由于，对任意A 1 ,且当x时,Aesin x si n2xdx11一单调递减趋于0，由Dirichlet 判别法，12收敛。x又，此时sin Atetdtsi n1sin xexsin2xsin2xx1 sin2 2x e -xe11 cos4x2 x xdx发散,x+ cos4xdx收敛，因此,11 xsin x 小e sin2xxdx发散。x因而，当01时，I 2条件收敛。综上，12时，I绝对收敛；01时,I条件收敛；2时，I发散。例5讨论I0 xpsi nxq

8、dx的敛散性，其中p、q非负。分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子sinxq，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技 巧是先易后难。解、先考虑最简情形：q0时的情形。记 l1（p）0xpdx , l2（p）和无穷限广义积分，因此， p1时，h（ p）收敛；p1时，h（p）发散;而对I2， p 1时I2（p）时收敛，p1时I 2（p）发散,故q 0时，I发散。当q 0时,令t xq， 丄丄/，则q1q_0 t q sdt =1 sin tdt0 1t sin tdt对I11 sintdt，由于lim t S1，故I1与 1dt同时敛散。因而，

9、10tot110（1） 1 , ie2时，丨1 （绝对）收敛；2时，丨1发散。对丨2 1 t si ntdt，由于t si nt t，故，1时，丨2绝对收敛；当10时，由Dirichlet判别法，丨2 （条件）收敛。当0时，利用周期函数的积分性质，贝U2nt sintdt sintdt 22n0因而，由Cauchy收敛准则，*发散。综上：q 0时，I发散；q 0时，1丄0时，|绝对收敛；q0 匕1时，I条件收敛；1 丄时，I发散 qq注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要 矛盾。注、也可以用配因子法处理。 下述的例子用阶的分析法。. 1例6讨论I（1 沁）31 dx的

10、敛散性。0 7分析 首先将积分分段处理，记丨11 （1 沁）？1 dx0x. 1 sin x121（1 ）31 dx。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理1x的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。对I1，分析奇点附近被积函数的阶。由于sin x. 2/ 3、 sin x , xo(x ) ,1 -o(x2)，3!3!x1 2sin x -二-因而，(1-) 3 : x 3，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。x对I 2 ，对被积函数作阶的分析，由于x充分大时sin x a,它们都在a, A上可积，证明：若f(X)# g(x) h(x)且广义积f(x)dx、

11、+ ?q h(x)dx都收敛，则+ ?q g(x)dx也收敛。分析 题目类似极限的两边夹定理，但是条件较弱，证明思路是通过条件寻找它们之间的关系，利用性质或定义或比较法进行判断。证明：由所给的关系式，则0? g(x) f(x)? h(x) f(x)，由条件和广义积分性质，则q (h(x)- f(x)dx收敛，由比较判别法，则+ ?Q (g(x)- f(x)dx 收敛，由于 g(x)= g(x)- f (x)+ f (x)， 再次利+ ?用积分性质，则 q g(x)dx收敛。注、例10结论表明，对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计，去掉一些次要因素的影响，由此得到收敛性，体现了研究广义积分

12、收敛性的又一思想。注、尽管例8和例10体现的处理问题的思想类似，但是，由于例 8是一个等价的转化，得到的是同敛散的结论，因此，例8的结论比例10要好。F面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。例11设f(x)0且单调递减，证明f (x)dx 与f (x)sin2xdx 同时敛散。aa证明:因为f(x)0且单调递减,故lim f (x)存在。x若limxf (x) = 0,则由 Dirichlet判别法，f (x)cos 2xdx收敛。由于a故,时,故,a f (x)sin 2 xdxf(x)dx 与aaf(x)dxa f (x)cos 2xdxf (x)sin 2 xdx同时敛散。若 lim

13、f (x) = b0,此时xf (x)dx 发散。由极限定义，存在Aa,使得xAf(x)取n充分大，使得A 2nA2a f (x)sin xdx2 A 2n8b，4 A，则2故,f(x)sin 2 xdx发散。因而，此时二者同时发散。a下面的例子用上述结论很容易处理。sin x2尹例12讨论Idx的敛散性。 sin x解、由于sin xsin xsin xxp2sin xxp(xp si nx)I1 2p0时收敛，p0时发散为讨论sin2 xxp(xp sinx)dx 的敛散性,注意到2sin x2sin xP/ px (x 1)2sin xP/ px (x sin x).2sin xx (x

14、 1)2sin2 x2px故,时敛散,2 sdx同时敛散，由例11,又与2 sin xp pdx 与1-时发散。21 1p dx当p -时收敛，p 一时发散。2 xp sinx22注、这类题目的讨论技巧性高，得到的结论也深刻。事实上，和(x sinx)1时收敛，2sin xpxsinx , dx2 xp 作对比可以发现，分母上增加因子 sinx，深刻改变了其敛散性，使得收敛范围 变小。这也反映了广义积分敛散性的复杂性。注、例12也表明了因子sinx的复杂作用，当它处在分子上时，可以充分 利用其本身有界和积分片段的有界性得到一些敛散性结论；但是，当这个因子 处在分母上时，其变号且非单调的性质起到

15、了很大的作用，从而影响到了广义 积分的敛散性。也可以通过与例 9的结论对比发现这些差异，例 9中，分母为1 xqxq，因子1不起作用，此例中，分母中的因子sinx起到了影响敛散性的 作用。1例 13 若 f (x)dx 收敛，f (x)在a,)单调，则 f(x) o(-)(x ), ax即 lim xf (x) = 0。x? ?分析 要证明的结论表明，要研究的是被积函数的极限行为( 即要控制当x充分大时的xf (X),而从广义积分的收敛性的条件能产生与被积 函数的无穷远处的行为有关的结论就是 Cauchy收敛准则，因此，建立二者的桥A卅梁为Cauchy收敛准则。因此，证明的关键就是如何从Cau

16、chy片段 q f(t)dt 中分离出xf (x),因此，必须通过选择与x有关的ApA?达到目的，特别注意 f (x)可以由被积函数产生，即从积分号下把被积函数分离出来，而系数显然 要通过积分限产生。证明：设f (x)单调递减，由f(x)dx收敛，贝U f (x) 0。由Cauchy收敛a准则，存在充分大A0 0，使得对任意A A1A0，成立Aq f(t)dt e，对任意x 2A0，取A2 x , A, x1x 11f (t)dttf(t) - dt xf (x) dtxf (x)l nx。-x- xt：X t2，则xQ f (t)dt N，使得n ? Mn+ 1，故f (x)dxMaf (x

17、)dxna f(x)dxna f (x)dx|f(x)|f(x)dxMI n f(x)dx|(M n)故， f (x)dx = Aoa下面给出几个广义积分的计算题目关于广义积分的计算，基本思路和方法是利用N-L公式、分部积分、极限运算。技巧是选择合适的变量代换例18 ( Frullani积分)证明：若f(x) C0,)且对任意A 0，广义积分收敛，则 If (0)l nA x0xa分析解题思想是将待计算的未知的积分转化为已知的积分，手段是利用变量代换。事实上,已知的是积分形式f(x)xdx，待计算的量是形式f(ax)- f(bx)dx，因此，可以利用极限将两种形式，也将已知和未x知的量联系起来

18、。证明：对任意的0,则f(ax)dxt axf(t)dt ；xa t同样，。因而，xb tI limf(ax) f(bx)dxlim b f(x)dx0x0 a x利用积分中值定理,b 1bI lim f( ) dx f(0)ln 。0 a xab1.例 19 证明： f(ax )dxf ( t2 4ab)dt，0x a a其中a 0,b0，积分有意义分析 从证明的结论中可以发现所应该采取的方法和手段，即应该是选择一个合适的变换，使得4ab，从这一关系式中可以发现，变换不唯一。证明：令ax -xt，则ax(t、t2 4ab),2adx12abxt 、t2 4ab ., dt，故、t2 4ab.

19、t2 4abf (ax )dxx12a*t . t2 4ab lxf ( t 4ab)dtvt2 4abItf( t2 4ab) t匚雪醴，4ab0 f( t2 4ab)t 4abdtVt2 4abo f(lt2 4ab)兰24ab t. dt，t 4ab由此可证明命题。注、也可以取ax = t，此时 x =例20计算I(t + t2 + 4ab)。 2aIn x ,2 dx。1 x2分析 这类题目是无法直接计算出来的,常用的技巧是分段，选择适当的变量代换，在两个积分段之间寻找连续。解、由于1 1tIn x ,ydxxI nx例21 证明I1 ln今dx，而二者都收敛，故,xInxdx = 0

20、。1 x2012 dx xdx (0)与无关。0 (1 x2)(1 x )I011证明：由于亠1(1x2)(111.x 1 t -dx)0(1 t2)(1-dt)i1因而I2dx0 (1 x )(1 x )(1 x2)(1 x )dXdt01 t2故其与无关。下面讨论广义积分和无穷和的极限的关系。1例22设f (x)在(0，1单调，x=0为其奇点，广义积分f(x)dx收敛，证明：1f (x)dx = lim0nf(-)n分析与例16类似，将积分转化为有限和，进而考察相互的关系。证明:设f(x)在(0, 1单调递增，则10k 1nknf(x)dx,kkn 1 f (x)dxVn n因而，利用1o

21、 f (x)dx的收敛性，则10 f(x)dx 二n kkn1 f (x)dxk 1 nf(-)nn 1 1k1-f(-) -f(1)k 1 nnnf (x)dxf(1)11 f(x)dxn1-f(1),n由此，命题得证。注、由此可得limnlimnk InnIn xdx即：n! e nn例 23 设对任意 A0, f(x) R0, A且 lim f(x) a,证明：xlim t e tx f (x)dx a 。t 00分析 题目中所给的定量条件只有lim f(x) a，为了利用这个条件，仍然x可以利用形式统一方法对结论进行变形，从中可以看到要证明结论等价于txlim t q e (f (x)

22、 a)dx 0 ,为利用条件，只需分段处理即可，即分别研究A txt 0 e (f(x) a)dx、tAt A etx(f (x) a)dx “ e y(f(=) a)dt的极限行为。f(x)由于证明：因为lim f (x) a，故存在xR0, M 1，因而，f(x)有界 Co注意到t 0 e txdx由于对任意 0 ,txe | f(x)1，故只需证明M0,使得 xM 时，|f(x)tx帆 t 0 e 1 f(x)a|dx 0 oa| 1 ； 又存在A0,使得xA时| f (x)Aa|dx t0etx| f (x) a | dx + tA tx(C a)t 0 e dx(C a)(1 etA

23、)txte dx (C a)(1a|etx| f(x)AetA) e7 0a | dxxdx1 etA0 ,( t 0)，故，存在0, 0 t时，11A1厂，因而txt 0 e | f(x) a|dx 2故,txlim t q e | f(x) a | dx 0。F面是一些判断题22、判断下列命题是否成立。1)、设f(x)在任意区间a,A上可积，若对任意的0、B 0，存在 A0,A B使得对任意的A Ao，都成立 f (x)dxA，则a f (x)dx收敛解：错。正确理解Cauchy收敛准则反例。如! gdX，则对任意的B 0都有B1dxBln(1 -)A2)、设f(x)在任意区间a, A上可积，若xf (x)dx收敛，则f(x)dx收敛。1解、正确。利用f (x) xf (x)和Abel判别法即可。xXn 13)、若存在Xn使得f(x)dx发散，则f(x)dx发散。Xnan 1解、正确。事实上，f(x)dx收敛充要条件为对任意的Xnaf (x)dx 收敛。证明：若af (X)dx 收敛，Xn，贝u由于XnX1n0k 1f (x)dx =f (x)dx +x f(x)dxaak 1 Xk故n 1Xn