平面向量的数量积的性质

1、锯它互动探究破疑难 师生至动 扌虽”扣能J平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量a, b, &为a与b的夹角.1. 若ab= 0,则a与b有什么关系？【提示】 a b= 0, aM0,0,；cos 0= 0, 0= 90, a丄b.2. aa等于什么?【提示】|a| |a|cos 0 = |a|分配律：(a + b) c= a c+ b c；数乘向量结合律：对任意实数 入，Xa b) = (?a) b =a ( X).如果e是单位向量，则 a e= e a= |a|cos a, e(2) a丄b? a b= 0;(3) a a= |a|2 即 |a|= a a；a b(4) cos

2、 a,罔屮0)；(5) |a b| |a|b|.也.J平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a b= b a；向量的数量积运算(2013海淀高一检测)已知|a|= 5,|b| = 4,a与b的夹角为120,(1)求a b；求a在b方向上的射影的数量【思路探究】 利用数量积的定义及几何意义求解【自主解答】(1)a b= |a|b|cos 0=5X4X cos 120 = 5x4X (-2) = - 10.5|a|cos A 5X cos 120 丄一空,5a在b方向上的射影的数量为一5.I规律方法I1在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“ 连接，而不能用“x”连接,更不能省略不写2.求平面向量数

3、量积的方法(1) 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a b= |a|b|cos 9.(2) 若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积 的几何意义求a b. S H illl 练1. (2013玉溪高一检测)已知|a|= 6，|b| = 3, a b= 12,则a在b方向上的射 影的数量是()A. 4B.4C. 2D.2a b 一122【解析】cos = |a|b|= 6x3 = 3，向量a在向量b方向上的射影的 数量为 |a|cos= 6x | = 4，故选 A.【答案】A2. 已知|a| = 6， e为单位向量，当向量a、e之间的夹角9分别等于45 90 135时，

4、分别求出a e及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】 当向量a和e之间的夹角9分别等于45 90, 135时，2|a| |e|cos 45 丄 6x 1 x 2-= 3 2;|a| |e|cos 90 =6x 1 x 0= 0；2|a|e|cos 135 =6x 1 x ( 1)= 3 .2.当向量a和e之间的夹角B分别等于45 90 135时，a在e方向上的正射影的数量分别为:|a|cos 0= 6Xcos 45 丄3 2;|a|cos6Xcos 90 0;|a|cos6 x cos 135 丄一 3 2.filj与向量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120,且|a| = 4, |b|

5、= 2,求：(1)|a+ b|;(2)|(a+ b) (-2b)|.【思路探究】利用a a= a2或|a|= .a2求解.【自主解答】由已知 a b= |a|b|cos4x2xcos 120 4, a2= |af = 16,2 2b = |b| = 4.(1) v|a+ bf = (a+ b)2 = a + 2a b+ b = 16+ 2x ( 4)+ 4= 12,.|a + b|= 2/3.2 2(2)v(a+ b) (-a 2b) = a a b 2b = 16 ( 4) 2x4= 12, /.|(a+ b) (a 2b)|=12.I规律方法I1. 此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积

6、联系.2利用a a=a2= |af或|a|= a2,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. M训练设91、e2是夹角为45的两个单位向量，且 a= ei + 2e2, b= 2& + e2,试求|a + b|的值.【解】a+ b= (e1 + 2e2)+ (2e1+ e2) = 3( e1 + e2),|a+ b|= |3(e1 + e2)| = 3|& + e2|= 3 寸(e1 + e2 f=3 ei + 2ei e2 + e2= 3 2 + i 2.与向量夹角有关的问题(2014济南高一检测)若向量a, b, c两两所成的角均为120,且|a匸1, b匸2, |c匸3,求向量a+ b与向

7、量a+ c的夹角B的余弦值.【思路探究】先利用已知条件，分别求出(a+ b) (a + c), |a + b|和|a + c|的大小，再根据向量的夹角公式求解【自主解答】a+ b) (a+ c) = a2 + a b+ a c+ b co 91 + 1 x 2 x cos 120 + 1 x 3 x cos 120 + 2 x 3 x cos 120 2, |a+ b| -寸(a+bf -寸 a2 + 2a b+ b：12+ 2x 1 x 2x cos 120 +22 3,|a+ c| _ a2+ 2a c+c2 .7,9cos 0(a+ b)(a+ c) - 2 _ 3 问 |a+ b|a+

8、 c| . 3x ； 714 所以向量a+ b与a+ c的夹角0的余弦值是-3211420 / 13I规律方法I1求向量a, b夹角的流程图求|a|, |b7a b计算a b| 计算cos 0面b结合 0W180,求解2. 当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算.训 9(1)(2014辽宁师大附中高一检测)若向量a与b不共线，a b0,且c a-,则a与c的夹角为()nA.O B.6nC.3nD.2(2)(2014贵州省四校高一联考角是()若|a匸2, |b匸4且(a+ b)丄a,贝U a与b的夹2nA.亍nB.34 nCP【解析】a a (1)：a c=

9、 a a2nD.23aa b= a2 a2= 0,又 a 0,cm 0,：a 丄 c,na与c的夹角为2,故选D.2 2(2)因为(a+ b)丄a，所以(a+ b) a= a + a b= 0, 即卩 a b= a = 4，所以a b 412 ncos =丽=24 = 2,又因 0 , n,所以 a 与 b 的夹角是y ,故选A.【答案】D (2)A技 升区1易我易误辨析混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误典例 设两向量ei, e2满足：|引=2,1, ei, e2的夹角为60.若向量2tei + 72与向量ei +12的夹角为钝角，求实数t的取值范围.1【错解】 由已知得& e

10、2 = 2X 1X 2= 1,于是2 2 2 2(2te1 + 7e2) (e +1e2) = 2te1 + (2t + 7)e1 e2 + 7te2 = 2t + 15t+ 7.因为2te1 + 7e2与& + te2的夹角为钝角，2 1所以 2t2 + 15t+ 70,解得7t ?.【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角.【防范措施】 若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180，其数量积也为负1【正解】由已知得ei e2 = 2x ix2= 1，于是2 2 2 2(2tei + 7e2)(ei +1e2

11、)= 2tei + (2t + 7)ei e2 + 7te2 = 2t + 15t+ 7.因为2te1 + 7e2与e1 + te2的夹角为钝角，2 1所以 2t + 15t+ 70，解得一7t-但是，当2te1 + 7e2与e + te2异向共线时，它们的夹角为180 2也有2t + 15t+ 70，这是不符合题意的.此时存在实数人使得2te + 7e2= %e + te2)，即 2t=入且 7=才，解得 t故所求实数t的取值范围是一7，号土一.课堂小结1. 两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0， 0,0 肚90时)，也可以为负(当a 0，0,90 9 180时

12、)，还可以为0(当a = 0 或 b= 0 或=90时).2. 数量积对结合律一般不成立，因为 (a b) c= |a|b|cos c是一个与c 共线的向量，而(a c) b= |a|c|cosa，c b是一个与b共线的向量，两者一般不 同3. a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区 分.隧宝练生生2L动达”更捋交盍学 可区I1. 对于向量a, b, c和实数入下列命题中正确的是()A. 若 a b= 0,贝U a= 0 或 b= 0B. 若尬=0,则a = 0或A0C. 若 a【答案】13. 已知|a| = 4, |b|= 6, a与b的夹角为60则向量a在向量b方

13、向上的射影是.1【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 60 =4Xq = 2.【答案】24. 已知|a匸4, |b|= 5,当(1)a/ b; (2)a丄b; (3) a与b的夹角为30时，分别 求a与b的数量积. 【解】当a/b时，若a与b同向，贝U皓0 a b= |a|b|cos 0 = 4x 5= 20；若a与b反向，贝U A 180 :a b= |a|b|cos 180 = 4 5X ( 1)= 20.= b2,贝U a= b 或 a= bD. 若 a b= a c,贝U b= c【解析】 由向量数量积的运算性质知 A、C、D错误.【答案】B2. (2013安徽高考)若非零

14、向量a, b满足|a3|b|= |a + 2b|,则a与b夹角的余弦值为.【解析】由a匸|a+ 2b|,两边平方，得 |a|2= (a+ 2b)2=|aj + 4|b|2 + 4a b,2a b |bf1所以 a b= |b|.又|a| = 3|b|,所以 cosa, b=肩厂_3|b|2 =一3n当a丄b时，=3.n a b= |a|b|cos2 = 4X5X0= 0.当a与b的夹角为30时，子 10 3.1?広知能检测漂下測白我L+诂找”专能自主測 评恆Ia b= |a|b|cos 30 = 4X 5X、选择题1.a|= 1, |b| = 2, c= a+ b且 c丄a,则 a 与 b 的

15、夹角为()A. 30 B.60 C.120 D.150 【解析】ca,设a与b的夹角为9,则(a+ b) a = 0,所以a贝U 1 + 2cos 9= 0,所以 cos 9= 2,所以 9= 120 .故选 C.【答案】C2.若向量a与b的夹角为60, |b| = 4,且(a+ 2b) (a 3b)= 72,则a的模为()A.2B.4 C.6D.12【解析】a+ 2b) (a 3b) = a2 a b 6b2= |af|a| |b|cos 60 6= |af 2|a| 96= 72,|af 2|a| 24= 0,|a|= 6.【答案】C 34ABC 中，ABACV 0,则厶 ABC 是()

16、+ a b= 0,2所以 a + |a|b|cos 9= 0,A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 【解析】-AB AC= |AB|AC|cos Av0,cos Av0；.A是钝角./ABC是钝角三角形.【答案】C4. (2014怀远高一检测)已知i与j为互相垂直的单位向量，a= i 2j, b= i + 5且a与b的夹角为锐角，则实数 入的取值范围是()A. ( 8, 2)U 2, 1B. 2，+8C. 2, 3 U 2，+8D. 8, 2【解析】4 b= (i 2j) (-i+ 5) = 1 2 心 0,1 V2,又 a、b同向共线时，ab0,设此时 a= kb(k0)

17、,则 i 2j = k(i+ 5),k=1,5= 2,：a、b夹角为锐角时，5的取值范围是(一8,I 2二 k52)U 2, 2，故选 A.【答案】 A5. (2014皖南八校高一检测)在/ OAB中，已知OA= 4, OB= 2,点P是AB的垂直平分线I上的任一点，贝U OPAB=()A.6B. 6 C.12D. 12【解析】设 AB 的中点为 M，则OP AB= (OM + MP) AB = OM AB=OB) (OB OA) = 1(OB2 OA2) = 6.故选 B.【答案】B二、填空题6. (2014北大附中高一检测)向量a与b的夹角为120 |a|= 1, |b| = 3,则|5a

18、-b| =.【解析】因为 a b= |a|b|cos 120 丄一2，所以 |5a- bf = 25a2-10a b+ b2=(3、25- 10X -2 + 9= 49,所以 |5a-b|= 7.【答案】77. 已知a丄b, |a| = 2, |b|= 3,且3a + 2b与2a- b垂直，则 入等于.【解析】.(3a + 2b)丄(2-b)(2a- b) (3a + 2b) = 0,2 23 2a2+ (2 3) a b- 2b2 = 0.又T|a|= 2, |b|= 3, a丄b,12 2+ (2 入一3) X 2 X 3 X cos 90 18= 0,3 12 2- 18= 0,. =

19、23【答案】38. (2014温州高一检测)已知a是平面内的单位向量，若向量 b满足b (a- b)=0,则|b|的取值范围是.【解析】设a,b的夹角为9,由b(a-b) = 0,得|b|a|cos9-|b|2 = 0.解得|b|= 0 或|b|= |a|cos 9= cos 其 1,所以 |b|的取值范围是0,1.【答案】0,1三、解答题9. 已知向量a、b的长度|a| = 4, |b|= 2.(1) 若a、b的夹角为120求|3a- 4b|;若|a+ b| = 2 .3,求a与b的夹角9【解】(1)a b= |a|b|cos 120 =4X 2X-24.2 2 2 2又|3a-4b| 2

20、2 9, (3a 2b)2 = 9|a|2+ 4|b|2 12a b= 7,= (3a- 4b)2 = 9a2 24a b+ 16b22 2=9X 4 24X ( 4)+ 16X 2 = 304,|3a 4b|= 4.19.2 2 2 2(2) v|a+ b|2= (a+ b)2= a2 + 2a b+ b2=42 + 2a b+ 22= (2 3)2,a b 41a b= 4，8S 0=丽二 4X2= 2.又庚o, n, =2n10. 已知a丄b,且|a|= 2, |b|= 1,若有两个不同时为零的实数 k, t，使得a + (t 3)b与一ka + tb垂直，试求k的最小值.【解】ta丄b

21、,：a b= 0,又由已知得a+ (t 3)b (- ka+tb)= 0,2 2ka2 + t(t 3)b2 = 0.Ja|= 2, |b|= 1,a4k+ t(t 3) = 0.1 213 29 k= 4(t 3t) = 4(t 2) 16(t 0).故当t= I时，k取最小值一1611. (2014淄博高一检测)设向量a, b满足|a|=|b匸1,且|3a 2b匸 7.(1)求a与b夹角的大小； 求a+ b与b夹角的大小;求|3a+ bl|3a b|的值.解(1)设a与b的夹角为又 |a|= |b|= 1，a b= 2,|a|b|cos 0= 1,1即 cos 0= 2n又0 0, n：a与b的夹角为3.213设 a+ b与 b 的夹角为 a, v(a+ b) b= b + a b= 1 + 2= 2,|a+ b|= a2 + b2+ 2a b= .3, |b|= 1,3但+ b )b 2 羽 COS aq ,|a+ b|b| 灯32n 又