导数有关知识点总结经典例题及解析近年高考题带答案(20210105062407)

1、导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握 函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求 导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。 【知识梳理】 、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x在Xo处有增量X ,那么函数y相应地有增量y =f ( Xo+ X ) _y f (

2、Xo),比值 x叫做函数y=f ( x )在Xo到Xo+ x之间的平均变化率，即 y f(xox)f(xo)y x =x。如果当x 0时，x有极限，我们就说函数y=f(x)在点xo处可 导，并把这个极限叫做f (x)在点Xo处的导数，记作f ( Xo)或yl X X。 .目、.f (XoX) f (Xo) *lim lim 即 f (Xo) = x o x = x ox 说明: yy (1) 函数f (X)在点Xo处可导，是指 X 时，X有极限。如果 X不存在极限，就说 函数在点Xo处不可导，或说无导数。 (2) X是自变量X在Xo处的改变量，X 0时，而y是函数值的改变量，可以是零。 由导数

3、的定义可知，求函数 y=f (x)在点xo处的导数的步骤: (1) 求函数的增量 y =f (Xo+ x ) f (Xo)； (2) 求平均变化率 y f (Xo x) f (Xo) X = (3) 取极限，得导数f (Xo)=讥:。 、导数的几何意义 函数y=f (x)在点Xo处的导数的几何意义是曲线 y=f (x)在点p (Xo，f (Xo)处的切线 的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点p （xo, f （X。）处的切线的斜率是f（X。）。相应 地，切线方程为 y yo=f/ （xo） （x x。）。 三、几种常见函数的导数 C 0 nn 1 ); x nx ; (sinx) cosx

4、. J (cos x)sin x ; 心） ex;(ax) axl na； In x 1 x ; J loga x- logae x 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差）， 即：（u V） u V. 法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函 数乘以第二个函数的导数，即：（uv） uv uv. 若C为常数,则（Cu） Cu Cu 0 Cu Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函 数的导数：（Cu） Cu. 法则3:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子 uuv

5、 uv 2 的积，再除以分母的平方：v = v （v 0）。 形如y=f （X）的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解一一求导一一回代。法则: 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数 y f (x) 在某个区间可导， 如果 f (x) 0，则 f (x) 为增函数； 如果 f (x) 0，则 f (x) 为减函数； 如果在某区间内恒有f(X)0，则f(x)为常数； 2、极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为 正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值： 一般地，在区间a , b上连续的函数f(x)在

6、a , b上必有最大值与最小值。 求函数？(x)在(a，b)内的极值； 求函数 ?(x) 在区间端点的值 ?(a) 、?(b) ； 将函数 ?(x) 的各极值与 ?(a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4定积分 (1) 概念：设函数f(x)在区间a , b上连续，用分点a = xOx1xi 1xixn = b把区 间a , b等分成n个小区间，在每个小区间xi 1, xi上取任一点E i (i = 1, 2,n) 这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间 a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被 n 作和式In = X xdx = In x + C; e dx

7、= ex + c； 曰 (E i) x (其中 x为小区间长度)，把门-即厶x-0时，和式In的极 限叫做函数f(x) n bblimf 在区间a，b上的定积分，记作：af(x)dx，即 a f(x)dx 二 n i1 ( E i) X。 积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。 基本的积分公式: Odx C; xmdx + C (m Q, mH 1); axdx x a lna + C； cosxdx =si nx + C; sin xdx = _ cosx + C (表中C均为常数) (2)定积分的性质 kf (x)dx b k f (x)dx a (k为常数); b af(x)

8、g(x)dx bb a f(x)dx a g(x)dx aa bcb f (x)dxf (x)dxf(x)dx ) aac(其中 av cv b)。 (3) 定积分求曲边梯形面积 由三条直线x = a, x = b(a0)围 成的曲边梯的面积 f (x)dx 0 如果图形由曲线yi = fi(x) , y2= f2(x)(不妨设f i(x) f 2(x) 0),及 直线x = a, x = b (a0,且x工1时，f(x) Inx k，求k的取值范围 1 /X 1 I a( Inx) 【解析】(1)f (x)= x2一 (x 1) 故 1 f(1)=- 2 由（1）知也 x 1 即、 a 2

9、丄 x 所以f（x） 解得 a=1, b=1 nx k、1 (xn 卫门(2ln x (k 1)(x2 1) )0 x 考虑函数h（x） 2ln x (k -(x x 0)，则 h(x) (k 1)(x2 1) 2x 2 x (i)设 k 0，由 h(x) k(x2 1) (x 1)2 x2 1时, h(x)0。而 h(1) 0，故 2由于直线x+2y-3=0的斜率为 -，且过点（1,1）, x2 1 当 x (0,1)时，h(x) 0，可得亠 h(x) 0 ； 1 x 1 当 x ( 1，+)时，h(x)0 1 x2 从而当x0,且x In x kIn x k 1 时，f (x)- (+)0

10、，即 f (x)+. x 1 xx 1 x 1 2 （ii）设 0k0,故 h（x）0,而 h（ 1） 1 k 1 1 =0，故当x （ 1，）时，h（x）0,可得 h（x）0,而 h （1）=0,故当 x (1, + ）时，h（x） 0,可得 1 1x2 h（x） 0, g(x) 1 e 2。 【解析】由f(x)=孕可得f (x) 1 k In x x x e ，而f 即J 0，解得k 1 ; e 1 1 In x (n) f (x) x_ e ，令f (x)0可得x 1 , 当 0 x 1 时，f (x) 0 ;当x 1时, f (x) In x 于是f (x)在区间(0,1)内为增函数;

11、 在(1,)内为减函数。 (m) 1 1 In x g(x) (x2 x)区 1x2 (x2 x) In x x， e 1 时，1 x20,lnx 0, x2 x 0,ex 0， g(x) 0 1时，要证g(x) (x2 1 1 In x ,2 、x1 x (x x)- x匚 ee x)lnx 1 只需证1 x2 (x2x)ln x ex(1 e2)，然后构造函数即可证明。 【例5】 (2012北京)已知函数 f(x)詈苴中a 0 、丨 (I)求函数f(x)的单调区间; (U)若直线x y 10是曲线y f (x)的切线，求实数a的值; 2 (m)设g(x)xI nx xf(x)，求g(x)在

12、区间1，e上的最大值.(其中e为自然对数的底数) 【解析】(I)以) a(2 x) x3,( x )，在区间 (,0)和(2, )上，f (x) 0 ；在区间(,2) 上, f (x).所以, f(x)的单调递减区间是( ，)和(2, 单调递增区间是(，2). (U)设切点坐标为 (x,y)则 ya(x 1) 2 x x y1 a(2 x) 1 31 x 解得x (m) g(x) xlnx a(x 1)，则 g (x lnx 1 a 解 g (x) ，得x )上, g(x)为递增函数. 所以，在区间(，e1)上, g(x)为递减函数，在区间(e1 当ea1，即 a 1时，在区间1，e 上, g

13、(x)为递增函数，所以g(x)最大值为 g(e) e a ae 当e 1 e,即a 2时，在区间1,e上, g(x)为递减函数，所以g(x)最大值为g(1) . a 1 当 1 e 0; 当 x 1，时，f (x)0, 所以f(x)在x=-处取得极大值，在x=-处取得极小值。 2 2 2 (2)若f(x)为R上的单调函数则f (x)恒大于等于零或f (x)恒小于等于零， 因为 a0所以 = (-2a) (2010课标全国)曲线y丄在点(-1,-1)处的切线方程为() x 2 A y=2x+1 B y=2x-1C y=-2x-3 D y=-2x-2 -.(2012 陕西)设函数 f(x)=xe

14、x,贝U() A x=1为f(x)的极大值B x=1为f(x)的极小值 C x=-1为f(x)的极大值D x=-1为f(x)的极大值 (2008广东理)设a R，若函数y eax 3x , x R有大于零的极值点，则( -4a0,解得 00.且 g g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当xv0时, 3 0 ,.则不等式f（x）g（x） v 0的解集是 A ( 3,0)(3,) B (3,0)(0,3) C , 3)U (3, + D (壬 3)U (0,3) 7.（2007海南、宁夏理） 曲线y e2在点（4, A. 9e 、 , 2 B. 4e2 C. 2e2 8. (2008 湖北理

15、)若 f(x)= 1 2 x bln(x 2 2)在(-1,+ ）上是减函数，则b的取值范围是（） A.-1 , +xB. (-1 , +x)c . ,1 D. (-%, -1 ) 9. （2005江西理科）已知函数y xf （x）的图像如右图所示（其中f （x）是函数f （x）的导函数）， 下面四个图象中y f（x）的图象大致是 （） （1）（2006江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（ A 23 B 9 2.、3 C 35 3 、填空题: 11. （2007湖北文）已知函数y f（x）的图象在M （1，f（ 1）处的切线方程是y -x+2, 2 f（1） f （1）=. 12. （ 2

16、007湖南理）函数f（x） 12x x3在区间3,3上的最小值是 13. （2008全国U卷理）设曲线y eax在点（0,）处的切线与直线x 2y 10垂直，则 a 14. （2006湖北文）半径为r的圆的面积S（r） = r2,周长C（r）=2 r，若将r看作（0，+ s）上的变量，贝U （ r2） = 2 r，式可以用语言叙述为： 对于半径为R的球，若将R看作（0,+s）上的变量，请你写出类似于 的式子： 式可以用语言叙述为：. 三、解答题: 15. （2005重庆文）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格 1 2 p（元/吨）之间的关系式为：p 24200 -x

17、 ,且生产x吨的成本为R 50000 200 x （元） 5 问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入一成本） 16. （2008重庆文）设函数f （x） x3 ax2 9x 1（a p 0）.若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与 直线12x+y=6平行，求: (I) a的值； (U)函数f (x)的单调区间. 17. (2008全国I卷文、理)已知函数f(x) x3 ax2 x 1 , a R . (I)讨论函数f(x)的单调区间； 2 1 (U)设函数f(x)在区间 -,1内是减函数，求a的取值范围. 3 3 3. (2006浙江理)设曲线y e x(x 0

18、)在点M(t, e )处的切线I与x轴y轴所围成的 三角形面积为S (t )。 (I)求切线l的方程； (U)求S (t)的最大值。 19. (2007海南、宁夏文)设函数f(x) ln(2x 3) x2 (I)讨论f (x)的单调性； 3 1 (U)求f(x)在区间 -的最大值和最小值. 4 4 20. (2007 安徽理)设 a 0, f ( x)=x 1-1 n2 x + 2a In x (x0). (I)令F (x)= xf 7 (x),讨论F (x )在(0. +x)内的单调性并求极值; 2 (U)求证：当 x1 时，恒有 xln x 2a In x + 1. 【课后作业】 、选择题

19、 1. （2005全国卷I文）函数f（x） x3 ax2 3x 9,已知 f (x)在 x 3时取得极值，则 C f (x)0 Df (x)0，g (x)0 时，f (x)0 , g (x)0，则 x0，g (x)0 B f (x)0，g (x)0)有极大值9. (I)求m的值；(U)若斜率为-5的直线是曲线y f (x)的切线，求此直线方程. 【参考答案】 【课堂练习】 一、选择 1 10AADBD DDCCC (2)填空 (1) 3 ;12 .16；13.2; 14.- R34 R2,球的体积函数的导数等于球 3 的表面积函数 、解答题 15.解：每月生产x吨时的利润为f (x)(2420

20、0 1 x2)x (50000 5 200 x) 因f(x)在0,)内只有一个点x 200使f (x) 0,故它就是最大值点, 且最大值为: 1 3 f (200)-(200)324000 20050000 5 3150000(元) 答：每月生产200吨产品时利润达到最大, 最大利润为 315万元. 16.解：(I )因为 f (x) x2 ax2 9x 1, 所 f (x) 3x2 2ax 9 a x 时，f (x)取得最小值 2 9 .因斜率最小的切线与12x 3 6平行，即该切线的斜率 为-12，所以9 2 12,即 a29. 3 解得a 3,由题设a 0,所以a 3. 3 3,因此 f

21、(x) x 2 3x 9x 1, 17解:(1) f(x) 32 x ax x 1 2 求导：f (x) 3x 2ax f (x)在R上递增 当 a2 3 时， 0, 当a2 3 , f (x)0求得两根为x a a2 3 3 即f (x)在3递增, ，3 a a2 3 aa2 3 33 递减, a a2 3 3 递增 (2)要使f(x)在在区间2, 1 33 内是减函数，当且仅当, f (x)0 在 2, 3 由f(X)的图像可知，只需 2 3 1 3 ，即 0 4a 3 2a 3 解得。a2。所以，a的取值 范围2, 18.解：( I)因为 f (x) (e (U)令 y= 0 得 x=t

22、+1, x=0 所以 S(t) =1(t 1)e(t 1) e t (x t).即 e tx y 当 t (0, 1)时，S (t)0, 9 (1,+ O)时,S (t)0,所以 S(t)的最大值为 S(1)=-。 e 19解：f(x)的定义域为 OO f (x)- 2x 2x 3 4x2 2x 6x 3 2(2x 1)(x 1) 2x 3 x 1 时，f (x) 时，f (x)0 ;当 x i 时，f(x) 0 - 从而, f(x)分别在区间 3 2, O单调增加，在区间 1 2单调减少. (n) 由( (I)知 f (x)在区间 3 1 的最小值为f 1 ln2丄 4 4 2 4 3 上1

23、 3 9 7 1 3 1 1 49 又f f - InIn ln 1 ln 0 . 4 4 2 16 2 16 7 2 2 6 5 H J 丿 V IJ=LXI III 4 44162 所以f(x)在区间 31的最大值为f 1 丄ln- 20. (I)解：根据求导法则得f(x) 1如2a,x 0. 故 F(x) xf (x) x 2Inx 2a,x 0,于是 F (x)1 -,x 0. 列表如下: x (0,2) F( x) - F(x) 2 (2,+ %) 0 + 极小值F (2) T 故知F (x)在(0, 2)内是减函数，在(2, +x)内是增函数，所以，在x = 2处取得极 小值 F

24、(2)= 2-2In2+2 a. (U)证明：由a 0知，F(x)的极小值F(2) 2 2In2 2a 0. 于是由上表知，对一切 x (0,)，恒有F(x) xf (x) 0. 从而当x 0时，恒有f (x) 0,故f(x)在(0,)内单调增加. 所以当 x 1时，f(x) f(1)0,即x 1 ln2x 2aInx 0. 故当x 1时，恒有x In2 x 2a In x 1. 【课后作业】 一、选择 1-10 DBDAB ACABD 、填空 11. 5x y 20 ；12.8 ； 13. 32 ; 14. 2 , -2 . 3 三、解答题 15.解：(I ) f (x) = 3x + 6x

25、+ 9.令 f (x)0，解得 x3, 所以函数f(x)的单调递减区间为(汽一 1), (3,+7 . (II )因为 f( 2) = 8+ 12 18+ a=2 + a, f (2) = 8+ 12+ 18+ a = 22 + a, 所以 f(2)f( 2) 因为在(一1, 3) 上 f (x)0，所以f(x)在1,2上单调递增, 又由于f(x)在2, 1上单调递减, 因此f(2)和f( 1)分别是f(x)在区间2, 2上的最大值和最小值，于是有 22 + a= 20, 解得a= 2. 故 f (x)= x3+ 3x2 + 9x 2,因此 f( 1) = 1 + 3 9 2= 7, 即函数f

26、(x)在区间2, 2上的最小值为一7. 16.解(I)： f xx3 bx2 cx，二 f x 3x2 2bx c。从而 g(x) f(x) f (x) x3bx2ex(3x22bx c) =x3(b 3)x2(c2b)xc是一个奇函 数，所以g(0)0得c 0，由奇函数定义得b 3 ; (U)由(I)知g(x) x 6x，从而g (x) 3x 6，由此可知， (,、一2)和2,)是函数g(x)是单调递增区间；(2八2)是函数g(x)是单调递减区间; g(x)在x,2时，取得极大值，极大值为 4.2，g(x)在x .2时，取得极小值，极小值 为42。 一、解：(I )由f (x) x3 bx2

27、 cx d的图象过点P (0，2) ,d=2知,所以 f(x) x3 bx2 cx 2, f (x)=3x 2+2bx+c,由在(-1,(-1)处的切线方程是 6x-y+7=0,知 -6-f(-1)+7=0, 即 f(-1)=1, f (-1)=6, 3 2b c 6,即 1 b c 2 1, 2b c 3,解得b=c=-3。故所求的解析式为f(x)=x -3x3x+2 2 (II) f (x)=3x -6x-3, 令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 X1=1-、2 ,x 2=1 + 、2 , 当 x1 +、2 时，f (x)0;当 1- _2x1+、2 时，f (x)0 f(x)=x 3-3x2-3x+2 在(1+、2,+ s)内是增函数,在(-s, 1- .2)内是增函数,在 (1- 2 ,1+、2)内是减函数. 18.解：设长方体的宽为x (m，则长为2x(m)，高为h 葺空4.5 3x(m)0 xv弓 故长方体的体积为 V(x) 2x2(4.5 3x) 9x2 6x3(m3)(0 x 0；当 1vxv 2 时，V (x) v 0, 3 故在x=1处V (x)取得极大值，并且这个极大值就是V (x)的最大值。 从而最大体积V= V(x)= 9X12-6 x 13 (mi),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.