粘弹性半空间内负载沿梁的运动

1、eur. j. mech. a/solids 19 (2000) 361w712000年editions科学等医学elsevier公司的sas保留所有权。s0997-7538(99)00148-5/fla粘弹性半空间内负载沿梁的运动alexei v. kononov * , rogier a.m. wolfert代尔夫特理工大学土木工程学院，stevinweg 12628 cn代尔夫特，荷兰(1998.11.4 收录 ; 1999.7.5 修改 )摘 要 ： 粘弹性半空间等效的基础与欧拉- 伯努利梁相互作用的表达式已推导出来。 结果显示： 等效粘弹性基础取决于梁上波动的频率和波数。 等效 基础

2、真实和虚构的部分与瑞利波和剪切波速度之间的相位差有本质的不同。比此间隔的一些速率还大的速率会发生弹性波的辐射。 对于不同的速率， 可以计算出由均匀移动恒定负载产生的稳态梁位移。 负载之下的最大位移发生于瑞利波速率法则的速率。2000 editions科学等医学elsevier公司的sas关键词 ：粘弹性半空间 /欧拉伯努利梁/ 均匀移动恒定负载/ 临界速度1 . 引言在过去的几十年， 随着在铁轨现有系统高速列车的快速部署， 很多理论和实际工作致力于与轨道接触火车的动力学， 并且路堤基底也已经出现。 特别是 , 列车振动本质扩大的问题已经由不同的作者研究。 更早进行的研究是1961年由 fili

3、pov 进行的。 他分析了粘弹性半空间的欧拉- 伯努利梁上匀速移动载荷的问题， 该空间相当于的火车、 铁轨与地基相互作用的模型。 结果表明， 当火车运动的速度与瑞丽波的速率相等时， 火车震动变得无限强烈 。 之后，labra于1975年将铁轨轴向压力考虑进去，使这些结果得以延伸。在这两人的论文中， 载荷速度的考虑范围取决于瑞利波的速率， 同时梁位移也没有派生。因此, 不久前在1996年、1997年，dieterman 和 metrikine 的论文中这个模型得到了全面的研究。本文假设底层半空间也拥有粘性 ( 或内摩擦 ) 属性。 这样一个改进的模型是由物理和实际两方面描述的。因为实际中任何过程

4、总是伴随着能量耗散,这种性质应该被考虑。 因此 , 本文研究了沿着处于粘弹性半空间的欧拉- 伯努利梁的一个定载荷的运动。 本研究的目的是定性的分析半空间响应相关的内摩擦对动载的效应，该处的半空间响应是e-b梁的相互作用。在这个关键上， dieterman和metrikine在1996年、1997年得到的结果可被解释为粘性参数倾 向于零时的限制。作为一种研究方法，随时间变化的指数傅里叶变换和空间坐标被用来获得一个表达式，此式作为一个相对荷载速度的函数是对与e-b梁相互作用之粘弹性半空间的等效基础而言的。该式是使用围道积分的方法推导而来的。由于很多铁路工程师模拟了作为winkler地基梁的被支撑铁

5、轨，等效粘弹性 基础才得以被详加研究。该结果一个额外的好处就是可用在车-轨-基相互作 用更广范围的模型上。另外，不同的荷载速度可以计算出沿着在此等效粘弹 性基上的梁的荷载运动稳态位移。最后，对负载产生的位移还进行的分析。2 .傅氏域的模型和通解沿着静止在粘弹性半空间内宽2b的e-b梁的恒定载荷的匀速运动如图1 作为该模型一个视觉例子，我们可以使用一个例子，比如一个大质量（火车 头）在土层之上的混凝土板式轨道上运动。该处假定在梁和半空间之间的接 触式连续光滑的，这样接触面的剪应力xz、yz为零。此外，它假定梁和半空 问的正常应力一致分布在梁和半空间的宽度上，还假定位移沿梁的中心线等 效。对于粘弹

6、性连续介质，所谓的沃伊特固体 （kolsky,1963）被使用。这里 可能会注意到，这个假设是对模型适用性的限制，但另一方面，模型变得对分 析研究更容易理解。该问题的控制方程为：0：./7 =它5+ (a. + v ul ml九、.：- 0_ j）二一卜也.卜；十 1 - +f占 i.i - i 心）|.(21(si其中,u=iux+juy +kuz（i,j,k是基向量）,=i / x+j / y+k / z, % +/ t ,%+/ t,、是粘弹性半空间的lam常量，% %是粘性参数，是 半空间质量密度，u（x,t）梁的垂直位移图1.模型与参考系m和ei分别是梁的单位长度质量和抗弯刚度，p是

7、恒定负载，v是负载速度，(g)是dirac函数，h (。是heaviside阶梯函数。式(1)的解如下：(4)u= + a其中，标量势(x,y,z,t)、矢量势a(x,y,z,t)可以满足所谓的约束条件ga=0(见(achenbach, 1993)。式(4)代入式(1)得下列方程:，产7 .加不)v # 一寸=，其中，cl = j(_2 )/ 、ct ，/ 分别是纵波和横波的速度,t /l (2 )/(2) t是粘性系数(这里假设)。应用下面随时间变化的傅里叶变换和平面空间坐标：代入到式(2)、(3)、(5),得以下傅氏域内的方程组: 半空间运动：约束条件：fm,l + “止i九十七4)二 口

8、()*以z=0的边界条件：；ib h /2人、2f上1 十i i 4让 1遇，一ik2/；) 0.(?- ?; /r门小 h /04上、.,.口电主 一二一 at)+!”1$ 4之小) = 0,w.3.,皿电m(2卜 ： + 2i -a)义-*,l)=mk 3 5 t-t- . 7即t丁 一打丽丁 / /二 3打比“川协调条件：h，*1t =-广 ur出.g = 0, r)#、，(9)21另外：工二奸 + 政 f；m 卜 tn) h 认h 由/)m , m + 2# 产别枷ji v) and d(k1,和)=-tnar + elky表示了自由e-b梁的竖向振动的色散关系。式(6)的通解解释了对

9、于较大的正值z适当的行为，表示如下：山=先上即一：麻小二 也 f.,t = i 1 一再mf,/)c=k +jc, +kc:,将上式代入(7)、(8)式的下列线性代数方程：阳 c 4 “式；-r- * if +。小口底、一= a/j (上+ mi.(il) 行/小泌帅（11）式的解如下:(w.c,=. ac j/a,其中:占=一孑八评/（?阂+忖af） -4归十后）心也卜3月7所*11卜储+后）t a卜31讣 pat = -zra-i rj fadi.m.*t/由t一 ,ar i( = 2ja(r$ r$ff(】.3cl = 0siudj/ij为了满足相容性条件，半空间位移z轴分量的傅立叶图像

10、应该被推导出 来。这样有：w2a| klf由，mh 二士 j + kj)匕 a 7 / 4i fr j + k 1) rrl isun a-j j)4曲h口箝将上面的（13）式代入协调条件（9）得到:ftj-arftjt 产 用|酊一人.“疝|氏切4 -；小=o.一另外，应该记住的是(k1, )= -2 c；/j。将积分窜为对数值计算有用的形式的一种有效方法是围道积分。这 样，式(17)中的被积函数映射到一个复杂的s平面。该被积函数包含自由基 rl和rt ,故此应该找分叉点和被其诱发的切口。求解rl,t(%,t) 0包含了分叉点，结果如下：前士业川-生)-l弓二 /解*-明1-l假定k1 0,

11、从而,t位于复杂s平面的一、三象限。此外，适当的切口 应该在积分路径都符合必要条件：re( rl ) 0和re(rt) 0。为了满足上述两个条件，切口须沿着满足下述条件的曲线：, isr.e(； f) = 0 q ni(y 0) = 0 a rei jd以及自由基参数（s） 1 s22,t/（1 i l,t l,t）。将s it代入此参数并利用（18）式，就可以发现分叉切口的下述参数 表不：明附t其中：、；-，:;芯卜 5=一阀力也=%九re（rl,t）通过选择顺着图2所小分叉切口的im（rt）的标志来保持在复 杂s平面正向。复杂s平面的其它奇异点都是极点，（17）式被积函数的分母等 4.一*

12、于0时才会发生，并导致极点的e 0及8,2可通过求解0（s）=0而得具体值最后，等值线接近图2所示的上半面。im(f) 1图2奇异点和积分的等值线这样，方可算出式（17）中的积分j。由于顺着分叉点周围的大半圆等值线c0（s）和循环的等值线是随着它们的半径而减小至消失，因此下式是有依据的：k汽川 exp 口派dao(tii (1+煤)(19)其中，f（g）是式（17）的被积函数，il,t沿着分叉切口的积分。il,t参数 化得到的最终形式为：“ 产睚河副1 +碓） 一号想一曲酊通）ij, （2h十1和一防11-m那丁1+me卜1盼-）,_氢/fl+ 4述出叮通打收犬斗小/股14（u【十后）一用7u

13、 一应由尸十的i十“铲kwj器/*其中:fir =（v2 应j1 +整泮:/h +/此丁龙_7 + 11 -虎了鸟/仅1 +叱5龙j）j） -依据式（19） , （17）式的积分通过给出如下等效粘弹性基表达式而被细 化：2., 岁曲（1一啊打酊代*再1 = 7父#承禾i用式（20）,（ 丁）结果如图3,其参数设置：v 0.31cl/ct 1.9 ,bkj 0.7。由数据可得以下结论：（1）等效粘弹性基取决于梁中波的频率和波数，且当cr vph ct时它会有本质的改变（cr是零粘性参数下稳定的rayleigh波速）。 -4、 、. * *（2）等效粘弹性基的实部有个局部最小值t t（cr/ctt

14、 1）。当粘性参数趋于0时，该取值变成 t cr/ct,成为0。（3）与完全弹性半空间矛盾的是，这里的等效粘弹性基总有个不为0的虚 部（t 0）。. * . . .、 . （4）当t t ,此时耗能过程是半空间和弹性波辐射中的粘滞损失导致 的，故此等效粘弹性基的虚部显著增加。l 0.3, t 0.1 ,(b) l 0.09, t 0.03图3. tvph/ct的等效粘弹性基；（a）4 .临界速度及梁的位移此处，我们用前面得到的等效粘弹性基的结果来计算垂直稳态梁位 移。该位移是用来研究载荷的临界速度的。 本文中临界速度指的是梁位移在 有负载速度功能的负载下所具有的速度有一个最大值。为了得到梁位移

15、，以下的傅里叶映像（见式（15）应该被反积：叫小叫=留酶寸2_.广威pi一 i,川矗为了求得该积分的数值解，应该改写上式，为此，可用如下的函数 的 对称关系：rc疗mj/)=faj 卜 a|耳 ，比卜= 一如/1泮i -4j).如果将（见式（20）的表即可达式推演得到上边这些关系，其中假设 ki 00值得注意的是，这样的话等值线会近似于复杂 s域的下半部分。的性质也可物理化。自等效粘弹性基（动态响应函数）作为时空域中的真信函数以 来，众所周知的是它的傅里叶映像都有式（22）一样的对称性（landau和lifshitz,1975)由(22)式，可将(21)式改写成:其中:(产孙 户 用 .渥 +

16、炉rei;(，仇出口j加、f1|口出：,ai i)sia(h)用 一or书明+ mrje(/h&nf + whnfx烟前“产这里能p/ ei , 2=mc2/ei ,v/ct , 2 1/ei , x vt。式(23)(24)分别描述了对于装载点梁位移的对称与非对称部分。最后，梁位移 的计算被推导并呈现在图4上，(a)d)对应了四种不同相对负载速率(其它 所有参数都是定值，cr 0.928gct和t 0.97gpt)o在图4(a)中，描述了准静态的情况。所谓的本征场即是随负载运动。该 场由于粘性损失而稍微不对称(im( ) 0)。随着增加负载速率，负载下的位 移逐渐增大。如果负载速率是具有cr

17、的性质，则对于准静态情况而言负载 下的位移会显著增大，见图4(b) o im()的反应显示，两种情况下的弹性波 都不会产生辐射。 一 * 一 - .、图4(c)中(t 1),可以看到波依赖于负载而产生辐射。这很容易理解，是由于im()的切线显著增加(见图3)。主波(dbefore负载)波长要比尾 波(dbehind负载)的小很多。由于尾波、主波的不同振幅，波场也是相当的 不对称。辐射仅仅导致波沿表面移动。对于1波不仅沿着表面辐射还还会进入粘弹性半空间以至于辐射变得更强，如图 4所示。从图4(a)-(d)中， 易知负载下的梁位移依据负载速率而不同。因此，有趣的是寻找使该位移为最大值的速率。图5中

18、显示了与相对的负载up下的梁位移绝对值，其中 是三套粘性参数(l,t)所对应的相对负载速率。分析该图，可得以下结论：(1)对于一个比cr略小的速度即对于所有相对较小的粘性参数(l- 0.01gcl,t) vcritical 。.97的，负载下的最大位移才会产生。随着粘性参 数的增大，最大位移转向更小的速率，但同时最大值的相对值显著增加 (显然，在这些情况下，术语 临界速度 变得毫无意义)(2)负载下的最大位移对于所有负载速率任然是有限的。应该指出的是,1.55.结论本文分析了沿着粘弹性半空间上欧拉-伯努利梁的恒定载荷的均匀运动。首先，导出等效粘弹性基。该等效基由两部分组成，实部描述半空间的弹性

19、特性， 而虚部描述了由弹性波的内摩擦和辐射导致的能量损失。 结果显示，实部、虚部都严重依赖于梁内波的频率和波数，其中该梁是伴随着rayleigh波、剪切波速率间相速度的。另外，实部在此间隔内对某些速率有局部最小值，而虚部由波辐射导致显著增加。不同的负载速率可计算出稳态梁的位移。对于较 rayleig波而言相对小的速率，本征场略不对称，而且不产生波。而对于相对大的速率，负载在半空间内产生体积波， 也会在梁上产生伴有不同波长和振幅的尾波。 最后， 负载下的最大位移依据相对负载速率推导而出。对于约为rayleigh波速的速率它有一个有限的最大值。referencesachenbach j., 199

20、3. wave propagation in elastic solids, 7th ed. north-holland, amsterdam.dieterman h., metrikine a., 1996. the equivalent stiffness of a half-space interacting with a beam. critical velocities of a moving load along a beam. eur. j. mech. a/solids 15 (1), 67 0.dieterman h., metrikine a., 1997. steady-state displacement of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load. eur. j.mech. a/solids 16 (2), 295 w06.duffy dean g