数学三角函数公式大全

1、三角函数1.与a （ 00 12j8、同角三角函数的基本关系式：sin ： t c0s.tan .二c o t ,cos :.si n：.tan cot - -1 csc、工 sin ： -1sec：- co s =1.22122,2,21sin :-cos : =1 sec : -tan=1 csc : -cot : =19、诱导公式:把勺三角函数化为的三角函数，概括为:“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组s i n (2 k 二co s (2 k 二t an (2 k 二co t (2 k 二公式组三s i n (- x )= co s ( x )= t an (

2、 - x )= co t (一 x )=x ) = s i n xx ) = co s x x ) = t an x x ) = co t x-s i n xco s x-t an x一 co t x公式组四s i n (二co s (二 t an (二 co t (二x ):x ): x )一 x )二-s i n x-co s x t an x co t x公式组五sin（2二-x）-sinxcos（ 2 1 一 x）= cos x tan（2-x）-tanxcot（2-x）-cotx公式组六sin（1 一 x） = sin xcos（1 一 x） = - cos xtan（二-x） -

3、- tan xcot（二-x） - - cot x （二）角与角之间的互换公式组二si r2: -2si n c os公式组一cos（:工 t1） =cos : cos - -sin sin :cos（1 - .） = cos 二 cos i； sin ： sin2. 222co2: -cos: -sin? -2cos： -1=1-2sin;-sin（:工!-,） =sin .z cos i； cos 二sin i；t a 2、工2t an2-1 - t a n、：sin（: - -） =sin、工cos i；, cos.二sin p1 -co ssinr2tan（: - -）公式组三tan

4、二，tan i；1 tan、工tan i；tan : -tan :1，tan、工 tan i；公式组四a cos21 -cos、2公式组五cl2tan 2 sin、工=2 ：1 tan 2211 -tancos工211 tantan工cl 2tan 2_2 ： 1 -tan2tan 75 =cot15 =232sin15二cos75 = 6 - 2,，tan15 = cot75 =2 3,. 4-6 , 2sin 75 =cos15 =410.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y =asin(ox +中) (a、8 0)定义域rrr值域,刊1,刊rrl a,a周期性2n2n冗ji2ji

5、0奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当中00,非奇非偶当中=0,奇函数单调性-+2kn, 2jt-+2kn2上为增函数；-+2kn, 2+252上为减函数(k wz )(2k -1 *,. 2kn 上为增函 数2kn, (2k +1 加上为减函 数(k wz )1 - +kn:, +kn i 22)上为增函数(kwz )（kn, （k划初让为减函 数（k wz ）jj2kn,一邛12( a、（a）,142 k兀+一冗一中2（八）(-a).co1二为增函数；2kn +-邛2/ a(a), o3，2kn +一冗一中2 ,（a）二为减函数（kwz ）注意：y =sin x与y =sin x的单调性正好相

6、反；y =cosx与y =cosx的单调性也同样相反.一般地，若y=f（x）在a,b上递增（减），则y=f（x）在a,b上递减（增）.y =sin x与y =|cosx的周期是n.x= tan 一 2 y =sin(o)x +叼或 y =cos(x +中)(切#0)的周期 t =的周期为2n（t=t=2n，如图，翻折无效）懈tt6x+中）的y =sin(ox+9的对称轴方程是 x = kn + (kz),对称中心(kn,0) ; y =62对称轴方程是x=k n （ k wz ）,对称中心（k7r47r,0）； y =n cox+邛）的对称中心 2c原点对称 .，-、cy =cos2xy -

7、-cos(-2x) - -cos2x当 tana -tan b =1, 3 + p =依 +(kz); tana -tan b =1, 口 -p = kn +工(k z). 22 y =cosx 与 y =n x+ 2 +2kn】是同一函数，而y = （x +中）是偶函数，则21 、y =( x ”):sin( x k ) = cos( x). 2函数y =tanx在r上为增函数.（x）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,y = tan x为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是f （x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足

8、奇偶性条件，偶函数：f（_x） = f（x）,奇函数：f（e） =f （x）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函数，y =tan（x + 1冗）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特性质：若0运x的定义域，则f （x） 一定有f （0） =0. （ 0更x的定义域，则无此性质）y=sinx不是周期函数；y=sinx为周期函数（丁=元）；y=c0sx是周期函数（如图）；y = c0sx为周期函数（丁=n）；y =cos2x+1的周期为冗（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 2y = f（x） =5 = f （x k）, k 三 r. y =a cos a wsin

9、 0 =va2 w2 sin（a +中）+cos 邛=b 有 ja2+b2 之 y .三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y= asin （x+ &的振幅|a| ,周期 2n ,频率f_回，相位切x +中；初相中（即 t二画 f厅一三当x=0时的相位）.（当a0, co 0时以上公式可去绝对值符号），由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变 ，纵坐标伸长（当 冏1）或缩短（当0v|a|v1） 到原来的 冏倍，得到y = asinx的图象，叫做振幅变换 或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/a替换y） 由y = sinx的图象上的点的纵坐标保持不变 ，横坐标伸长（0心|1）到 原来

10、的111倍得到y = sinco x的图象，叫做周期变换 或叫做沿x轴的伸缩变换.（用cox替换x）由y= sinx的图象上所有的点向左（当（） 0）或向右（当（）0）或向下（当b0,0） （xc r）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换白先后顺序不同时，原图象延 x轴量伸缩量的区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法1 .三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特另1j是 “1” 的代换，如 1=cos2 9 +sin 2 9 =tanx . cotx=tan45 0 等。2）项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin 2x+2cos2x=（sin 2x+cos2x）+cos 2x=1+c

11、os2x； ct + p ot _ p配凑角： a=（a + b） b, b =等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin 9 +bcos 9 =va2 +b2 sin（ 8 +中），这里辅助角邛所在象限由a、b的符号确定，中角的值由tan中上确定。a2 .证明三角等式的思路和方法。1)思路：利用三角公式进行化名，化角,改变运算结构，使等式两边化为同一形式2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3 .证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调 性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4 .解答三

12、角高考题的策略。(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例1 .已知tane 2 12 ；1 - tan 1-2( sini 1 -解：(1)cos sin 二coscos? sin s sin -1 _cosu2 .2 , sin21 - sin bcos1 2cos2 b(2) sin s -sin icos 1 2cos f =22sin 二 cos u2sinsin 2=cos2 1 cos _ 2 - 2 2 = 4 - 2一sin2i d -

13、2 1-3 .1cos 1说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到) 切互化，就会使解题过程简化。例 2.求函数 y =1+sin x + cosx+ (sinx+cosx)2 的值域。角鱼 设 =sinx十cosx=72sin(x +/)w立后,则原函数可化为4y=t2+t+1=(t+1)2+3 ,因为 twv2,衣| ,所以 24当 t =72 时，ymax=3+72,当 t=j 时，ymin=3, 24所以，函数的值域为y-,3 + v204例 3.已知函数 f (x) =4sin2x+2sin 2x-2, xr。(1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的

14、集合;(2)证明：函数f(x)的图像关于直线x=-支对称。8解：f (x) =4sin2 x 2sin 2x -2 =2sin x -2(1 -2sin2 x)= 2sinx2_ 2 cxs=212 2xs/n ( 2)4(1)所以f (x)的最小正周期t =/，因为xw r ,所以，当2x - =2卜冗+/gp x = ku +邢时，f(x)最大值为2j2; 428(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x =-；对称，只要证明对任意xwr,有 f (-x) = f (- +x)成立， 88因为 f (支x) =2v2sin2( _ nx) =2v2sin(_ 7t_2x) = _272

15、cos2x ,8842f (-十x) =20sin2(-+x) - =2%/2sin(- +2x) = 272cos2x , 8842所以f ( j x) = f (- +x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x=-对称。888例 4.已知函数 y=1 cos2x+*3 sinx cosx+1 (xcr),22(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2)该函数的图像可由y=sinx(x c r)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？(1 ) y= cos2x+ sinx - cosx+1 = - (2cos 2x1)+ + (2sinx - cosx) +1 22444i=1 cos2

16、x+ sin2x+ 5 = (cos2x - sin +sin2x - cos )+ 5 =- sin(2x+ )+ -444 2664 264tt tttt所以 y 取最大值时，只需 2x+0=+2k7t , (kcz),即 x= j+kt, (kcz)。tt所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为xx= =+ktt ,k c z(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：(i)把函数y=sinx的图像向左平移 彳，得到函数y=sin(x+ ：)的图像；1 一一(ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数2y=sin(2x+ 二)的图像； 6(iii )把得到的图

17、像上各点纵坐标缩短到原来的1倍(横坐标不变)，得到函数2y=1sin(2x+ 工)的图像； 26(iv)把得到的图像向上平移 也个单位长度，得到函数y=1sin(2x+4)+支的图 4264像.综上彳4至u y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1 的图像。说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图 像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幕后最终化成y=ja2 +b2 sin ( cox+中)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下：当 cosx=0时，y=1；当cosxw。时，y=1 c

18、“23 cos x sinxcosx2 22 -2sin x cos x+1 =22,21 tantan x+1化简得：2(y 1)tan 2x 0,解之得：3y- 44yma=7,此时对应自变量x的值集为x|x=k tt + ,k c z 46例 5.已知函数 f (x) = sin xcosx，、3cos2 二 333(i)将f(x)写成asinqx+e)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；(h)如果 abc的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x 的范围及此时函数f(x)的值域.1 . 2x.32x、1 . 2x32x3. ,2x二、,3f (x) = -sin (1

19、cos) = - sin cos =sin( ) 232323232332(i)由sin3 + 3=0即四s=k/zz)得x二” 33332即对称中心的横坐标为 型二1n,kwz22(h )由已知b =ac22, 222a c -b a c - ac 2ac - ac 1cosx = = =一2ac2ac2ac 21,.一 一 cosx :： 1, 2ji0 x ,3二2x 二 5一 + s 333 一 931312x 二、一、.3，二 v3 /2,且2=5 求u abc的面积。cosc 3a-c - cosc 3sina - sinc解：(1)由正弦定理及= ，有 =,cosb b cosb

20、 sin b即 sin bcosc =3sin acosb -sin c cos b ,所以 sin(b +c) =3sin acosb ,又因为 a+b+c =冗，sin(b +c) =sin a ,所以 sin a = 3sin acosb ,因为 sin a# 0 ,1 一 _ _,- 2 2所以 cos b =-，又 0b 冗所以 sinb = h - cos b =。332(2)在llabc中，由余弦定理可得a2+c2-ac = 32 ,又2=一所以有4a2 =32,即a2 =24,所以abc的面积为311 2 .- -二s = acsin b =a sin b =8/2 。 22三

21、角函数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1 .已知点p (tan% cos”)在第三象限，则角”的终边在()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限2 .集合 m=xx=k；7 土：，kc z与 n = x|x= k5 , kc z之间的关系是()a.m至 nb.nmc.m = nd.man=03 .若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是()a.60 b.-60c.30 d. 304 .已知下列各角(1 ) 787, (2) 957, (3) 289, (4)1711 ,其中在第一象限的角是()a. (1) (2) b. (2) (3) c. (1) (3) d.(

22、4)5 .设a0,角a的终边经过点 p (3a, 4a),那么sin a+ 2cosa的值等于()6.7.8.2a. 5升1右 cos(兀+ a) = - 2 ,若a是第四象限角，则2b51c. 51 d.-53332 tt a 1, （xc （0,兀）的解集为 . 114 .右。满足cos。2 ,则角。的取值集合是 .15 .若 cos130 = a,则 tan50 =.16 .已知 ）=，若 ac （2, t）,则 f（cosa） +f（cos a）可化简为 三、解答题（本大题共 5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 .（本小题满分12分）设一扇形的周长为 c（c

23、0）,当扇形中心角为多大时，它有最大面 积？最大面积是多少？18 .（本小题满分14分）设90 a 180,角a的终边上一点为p（x,加），且cosa=乎x,求sin a与tan a的值.19.（本小题满分14 分)已知丁 (x tt, sin 0= m , cos 0= ,求 m 的值.2m+ 5m+ 520.（本小题满分-2 lg2,求15分）已知0 a/3 cos( 0) = v2 cos(兀+ 3,且0v a tt, 0v 3v 为求a和3的值.三角函数、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50分)1 tan2x d.片布末x1.下列函数中，最小正周期为 兀的偶函数是a. y= sin2x_ x 一 一 一b.y= cos2 c.y=sin2x+ cos2x2 .设函数 y=cos(sinx),贝u ()a.它的定义域是1, 1 b.它是偶函数 c.它的值域是cos1, cos1 d.它不是周期函数3 .把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两然后把图象向左平移4个单位.则所得图象表示的函数的解析、 一 _ . _一 兀x 714.函数)a.y= 2sin2xb.y=2sin2x c.y=2cos(2x+ 4)d.y=2cos(2 +4y= 2s