第十四讲薄板小挠度弯曲(一)汇总

1、研究生48学时第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变 z可以不计，由:wAz = 0得到w = w（x, y）板厚度内各点具有相同的挠度。放弃物理方程：二右匚Z -飞y）目地：允许；匚7（；乙+5）= 0（2）应力分量舱、g匚z远小于其余三个应力分量，它们所引起的 应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能

2、不计），即认为xz = yz = 0（一般，薄板弯曲问题中，xz、yz是次要应力，二则为更次要应力）-：u：:wu0，:z:x: z:x:v:w_v_=w0，:z:y；z:y放弃物理方程：2(； Oxz, yz = 2(1E Oyz 即：允许xz和yz等于零，但xz和yz不为零。 只有三个物理方程Y _2(“ 叽 xy - e xy与平面应力问题相同。(3)薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u)z=0 = 0，(v)z = o = 0，因此，(；x)z = 0 = 0， ( y)z = 0 = 0， ( xy)z = 0 = 0薄板弯曲后，在xy平面的投影形状不变。弹性曲面微分方程-：u按位

3、移求解，基本未知量为挠度 w,需将其它物理量用w表示，由-：w-y积分得到:.xv = -C z+ f2(x, y)fi(x, y) = f2(x, y) = 0，因此由：(u)z=0 = 0，(v)z=0 = 0 得到:-：w:wuz， V = zexoy则:u.xxyu: VL、L、:y；x:.2w-2x y将应力分量J、匚y xy用w表示EzCy =（1 x） = 一7T -y旳一 2（1）xy2Ez ；： ww仅为x、y的函数，因此应力分量与z成正比。将应力分量xz和yz用w表示不考虑纵向荷载，fx = fy = 0,由平衡方程:x；:y ；z-xy y - - yz0.:y；z.:x

4、=x ： xyEzfc3we3w.x ：y 1 - S2Ez 2w：_yz:z.y；x1 -2因w = w(x, y)，以上二式积分得Ez23w-3yEz 2w25八 F1（x，y）Ez2yz =2dCw F2（x，y）由板的上下边界条件(Qz = 一/2 = 0，（yz）z =二/2 = 0，得到xzz2、.22（1-卩2） I 4 jex4 ；y最后，将应力分量二z用w表示，设fz = 0（如果fz = 0,可以将板的单位面积内的体力归入板面上的面力，只对二z产生影响):七 z ；： xz ： yzE:xjy: z2- Z2 、4W.z；x ；y 2(1 -)42(i2) /m 23、o

5、zz -3B4w + F3(x, y)在板的下边有边界条件（）z = ;/2 = 0,因此2卩上萬+SW-x6(1 _ +) 2 、e32 可 4w=q12(1-J)在板的上边有边界条件（L）z = -72 = 7,因此薄板的弹性曲面微分方程，薄板小挠度弯曲问题的基本方程。D 二 El12(1 - Q称为薄板的弯曲刚度横截面上的内力和应力薄板弯曲问题中，要求应力分量在板的侧面上处处满足应力边界条件 有困难，需应用圣维南原理，使板在厚度方向上的应力分量整体满足 边界条件。三边长度分别为dx、dy和：的六面体，在x为常数的横截面上二x和xy 的合力（积分）为零，分别合成弯矩 Mx和扭矩Mxy，考虑

6、单位宽度 上的内力M x 二；xzdz 二-2E312（1疋）（ax2 2j w I ： w2y2二-DMxyxyZdZ =.212(1厂D(j厂 WE3；：2w剪应力xz合成横向剪力Fsx+2d 2 Fsx = xzdz2 w - - D 、12(1 卩)&ex同理，在y为常数的横截面上2My12(14)2 2wdw:x2二-D2w ?w；x2Myx32E、： w2:w二-D（17）m12（1 ：；二）：x：y； x yxyE312(1 _ ) ：yt-.r2w = -D = 2w1. 内力为单位宽度的力，弯矩和扭矩的量纲为力，剪力的量纲为 力长度_1 ；2. 内力的符号规定：按右图为正;3

7、. 薄板弯曲问题中主要计算弯矩 和扭矩，横向剪力一般不计算。各应力分量可由内力表示为xy12MxJ.3 Z，12Mxy6Fsy E2b3 212My；.3xz按各应力分量对薄板作用效应七：挤压应力H y：弯应力;xy：扭应力；xz, yz：横向剪应力;边界条件，扭矩的等效剪力矩形薄板OABC, OA边是夹支边,OC边是简支边，AB、BC边是自由边 1.夹支边OA(w)x = 0 = 0, (-wAx)x = 0 = 0(:wA y)x = 0 = 0不是独立边界条件2.简支边0C(W)y = 0 = 0,(My)y = 0 = 0或写为如(w)y = 0 = 0得到满足，贝卩必有：2wA:x2

8、 = 0,简支边的边界条件简化为-2 w-2y3.自由边AB 自由边的弯矩、扭矩和横向剪力均为零，三个边界条件(My)y = b = 0 , (M yx)y = b = 0 , 简化：将扭矩变换为等效横向剪 力，与第三式合并。设任意边界 上的微段EF = dx上作用有扭矩Myxdx,可以变换为等效的两个力Myx，分别作用于E点和F点。相邻微段FG = dx上作用有扭矩Myx+如dxdx ,可以变换为等效的 泳 丿两个力Myx 匹dx，分别作用于F点和G点。fix在F点合成向下的 丛dx，边界上的分布扭矩Myx变换为等效分布剪 力：Myx，自由边AB上的总剪力：Fsy二Fsy M.x: X角点（

9、A点和B点）还有未被低消的集中力FsA = (Myx)A，FsB = (Myx)B自由边AB的边界条件（不包括角点）最终可简化为(M y)y zb - 0，M yxFsy =二 0y=b或写为2 2 :-W | : w .:y2：x2y =b=0，-3-3歸+(2显)宀:y:x :y4.自由边BC与AB边类似，边界条件(M x)x=a =0，：Mxy或写为-2 -2:w x - w-2xIC 3w. 3w。审S)存xj0角点（B点和C点）还有未被低消的集中力FSB = (Mxy)B， FSC = (Mxy)c两自由边的交点B,总的集中反力（注意方向定义）FsB =(Myx)B(M xy)B=_

10、2D(1 7)注意：按内力方向的规定，Fsb沿Z轴的负向为正，同理，Fso也沿Z 轴的负向为正，Fsa和Fsc则沿z轴的正向为正 如B点无集中力作用，则=0B点有沿z轴正向的集中力F，则壬cw壬 Fw F、泳创B却 L J2D（i）讨论:1. B点有支撑时，角点条件（W）B = 0 或（W）B =其中 为支柱沉陷，解出w后，可由上式求支柱反力。2. 与梁刚性连接的板，梁的弯曲和扭转刚度都很大时，板边可作为 夹支边。3. 梁的弯曲和扭转刚度都很小时，板边可作为自由边。4. 梁的弯曲刚度大而扭转刚度小，板边可作为简支边。例一，两边简支，两边自由的矩形薄板，边长分别为OC = a, OA = b,

11、试求板的内力和角点反力；（1）在角点B处受向下的集中力F作用；（2）在角点B处设有支柱，且支柱有一微小沉陷(1)考虑板的边界x = 0和y二0时要求挠度为零，可设板的挠度为w = mxy可满足AO和OC两边简支条件 容易验证，挠度w满足弹性曲面微分方程D、4w = q = 0板的内力-2-0M y 二-D2w -2w=0M x - -D一 D(1 7)mFsx D2w=0,exSxE 2FSy = -D 、w = 0自由边界上Fsx 二 Fsx：M xyxy -0，ycM yx门Fsy 二 Fsy 0满足薄板的全部边界条件角点B处作用有沿z轴正向的集中力F，则Fsb 2D(1 - J12w-F

12、得到：Fm 二一2D(1 _ T板的挠度和内力Fwxy2D(1 7M x = M y = Fsx = Fsy = 0 , M xy 二一专FSA = 2(M xy) A = -F , Fsb = 2(M xy)B = -FFsc =2(Mxy)c 一 -F , Fso =2(Mxy)o - -F(2)仍设挠度表达式为w = mxy板的内力表达式同上 角点B处的位移边界条件，(w)b =得到6m =一ab板的挠度和内力5w 二 一 xyab,6M X 二 M y 二 Fsx 二 Fsy = 0， Mxy _ _D(1 -)二ab1X dFsa = Fsb = Fsc = Fso = -2D (1

13、 ：)ab例二，半椭圆形薄板，边界AB为简支边，ACB为夹支边，受荷载q二 qox/a作用，试证MJ能满足一切边界条件，并求挠度及最大值。解：在简支边x = 0上，板的边界条件要求yb2=0x -02 2f c WC W(W)x=0, (Mx)x一D 22x；y容易验证，挠度w满足边界条件 在夹支边ACB上，要求(w)acb = 0，(:w/：F)acb = 0n为椭圆边界的外法线方向，第一式恒满足，第二式要求kcx dn dy cn=0ACB亦i/AcBm| b：-1 5x：./_1I =0ACBI/Acb=0ACB因此第二式也满足。由薄板弯曲基本方程:得到：Dmx 120.24_ qxb4am42 2 r24aD5/a42/(a2b2) 1/b4板的挠度/ 2 2 W = 24aD5/a4 +爲甘)+1/b4_1.J求最大挠度，需要解联立方程求驻点-Wmx咚话T淳话