一元二次方程复习课

1、 通过复习，掌握一元二次方程的概念，通过复习，掌握一元二次方程的概念， 并能够熟练的解一元二次方程，并且利用并能够熟练的解一元二次方程，并且利用 一元二次方程解决实际问题一元二次方程解决实际问题 一元二次方程的概念：一元二次方程的概念： 含有一个未知数含有一个未知数 未知数的最高次数为未知数的最高次数为2 左右两边都是整式左右两边都是整式 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 (a0） 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法： 因式分解法因式分解法 开平方法开平方法 配方法配方法 公式法公式法 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 一元二次方程一元二次方程 一、一

2、元二次方程的概念一、一元二次方程的概念 引例：判断下列方程是不是一元二次方程引例：判断下列方程是不是一元二次方程 （1）4x- x + =0 （2）3x - y -1=0 （3）ax +x+c=0 （4）x + =0 是是 不是不是 不是不是 2 1 3 不一定不一定 x 1 巩固提高：巩固提高：1、已知关于、已知关于x的方程（的方程（m-1）x+（m-1）x-2m+1=0， 当当m 时是一元二次方程，当时是一元二次方程，当m=时是一元一次方程，时是一元一次方程， 当当m= 时，时，x=0。 2、若（、若（m+2）x|m|+3m x +1=0是关于是关于x的一元二次方程则的一元二次方程则 m

3、。 一元二次方程一元二次方程 （关于（关于x） 一般形式一般形式二次项二次项 系数系数 一次项一次项 系数系数 常数项常数项 3x-1=0 3x（x-2）=2（x-2） 1 -1 013 2 x30 1 0483 2 xx3 8 4 =2 1.1.用因式分解法的条件是用因式分解法的条件是: :方程左边能够方程左边能够 分解分解, ,而右边等于零而右边等于零; ; 2.2.理论依据是理论依据是: :如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零. . 因式分解法解一元二次方程的一般步骤因式分解法解一元二次方程的一般步骤: : 一移一移-方程的右边方

4、程的右边=0;=0; 二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解; ; 三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程; ; 四解四解-写出方程两个解写出方程两个解; ; 因式分解法：因式分解法： 适应于左边能分解为两适应于左边能分解为两 个一次式的积，右边是个一次式的积，右边是0的方程的方程 例如：例如： 012 2 xx 解：解：x(x+12)=0 x=0 或或 x+12=0 x1=0, x2=-12 下例解方程过程是否正确？下例解方程过程是否正确？ 3（x-2)2=2(x-2) 解：两边除以（解：两边除以（x-2),得得 3（x-2)=2 x-2=3/2 x= 2 1 3

5、 千万记住：千万记住：方程的两边有相同方程的两边有相同 的含有未知数的因式的时候不能两边的含有未知数的因式的时候不能两边 都除以这个因式，因为这样会把方程都除以这个因式，因为这样会把方程 的一个根丢失了，要利用的一个根丢失了，要利用因式分解法因式分解法 求解。求解。 对于缺少一次项的一元二次方程对于缺少一次项的一元二次方程 用直接开平方法来解比较简便。用直接开平方法来解比较简便。 例如：例如：9y2-1=0 形如形如（1） ax2+c=0， （2）a(x-m)2=k例如：例如：3(x-2)2=12 注意：在用直接开平方法解一元二次方程时（注意：在用直接开平方法解一元二次方程时（1）中的）中的a

6、和和c要满足要满足 什么条件？（什么条件？（2）中的）中的a和和k呢？呢？ 配方法：配方法：适应于任何一个一元二次方程，但适应于任何一个一元二次方程，但 是在没有特别要求的情况下，除了形如是在没有特别要求的情况下，除了形如 x2+2kx+c=0 用配方法外，一般不用。用配方法外，一般不用。 用配方法解下列方程：用配方法解下列方程： 0423 2 yy 用配方法解一元二次方程的步骤用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形变形:把二次项系数化为把二次项系数化为1 2.移项移项:把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; 3.配方配方:方程两边都加上一次项系方程两边都加上一次项系; 4.变形变形

7、:方程左边分解因式方程左边分解因式,右边合并同类右边合并同类; 5.开方开方:根据平方根意义根据平方根意义,方程两边开平方方程两边开平方; 6.求解求解:解一元一次方程解一元一次方程; 7.定解定解:写出原方程的解写出原方程的解. 用配方法解方程用配方法解方程2x +4x +1 =0， 配方后得到的方程配方后得到的方程 是是 。 （x+1)2=1/2 公式法：公式法： 适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程 用公式法解下列方程用公式法解下列方程 ：（1）4x2+1=-4x （2） 用公式法解一元二次方程，先将方程化为一般形式，用公式法解一元二次方程，先将方程化为一般形式， 再求出

8、再求出b2-4ac的值，的值， b2-4ac0则方程有实数根，则方程有实数根， b2-4ac0则方程无实数根。则方程无实数根。 0)79( 3 1 )5 2 1 ( 2 xx 注意注意: (1)当方程中各项系数为分数时，在整理方程过程中，当方程中各项系数为分数时，在整理方程过程中， 方程两边同乘以适当的数，化分数系数为整系数，这样便于运算。方程两边同乘以适当的数，化分数系数为整系数，这样便于运算。 （2）在计算）在计算 -4ac时，将时，将 -4ac化为含有某数平方的因式化为含有某数平方的因式 (如本题中如本题中16213）。便于开方运算）。便于开方运算 b 2 b 2 用公式法解一元二次方程

9、用公式法解一元二次方程 acb4 2 00 2 acbxax 04 2 acb 两不相等实根两不相等实根 两相等实根两相等实根 无实根无实根 一元二次方程 一元二次方程00 2 acbxax 根的情况定理与逆定理 04 2 acb 04 2 acb 两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解) 三三、 acb4 2 04 2 acb 04 2 acb 04 2 acb 例例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况 （1）0432 2 xx （3） 0715 2 xx （2）yy24916 2 判别式的应用: 1、不解方程，判别方

10、程的根的情况 2、已知关于、已知关于x 的方程：的方程： 有两个有两个 不相等的实数根，不相等的实数根，k为实数，求为实数，求k 的取值范围。的取值范围。 011221 2 xkxk 3、设关于、设关于x 的方程：的方程： ，证明，不论，证明，不论m 为何为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。值时，方程总有两个不相等的实数根。 0422 2 mmxx 选择适当的方法解下列方程选择适当的方法解下列方程: 0 04 42 2) )3 3( (x x2 2) )( (x x1 10 0 2 2) )x x( (x x2 2) )3 3( (x x9 9 0 03 3- -7 7x x2 2x x8

11、 8 1 1x x2 22 22 2x x7 7 0 05 5- -4 4x xx x6 6 0 01 1x x- -x x5 5 6 6x x2 2x x4 4 1 1) )( (x x4 4x x3 3 0 02 25 53 3) )( (x x2 2 9 9x x3 3x x1 1 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 22 2 2 22 2 1、一块矩形地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别、一块矩形地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别 挖挖2条和条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保

12、证余下的可耕地面积为 9600m2。那么水渠应挖多宽？。那么水渠应挖多宽？ 162m 64m 解：设水渠应挖xm.由题意得 （162-2x)(64-4x)=9600 解得 x1=1 ,x2=96 2、如图，、如图，AO=BO=50厘米厘米,OC是一条射线，是一条射线，OCAB，一只蚂蚁从点，一只蚂蚁从点 A 以以2厘米厘米/秒的速度向点秒的速度向点B爬行，同时另一只蚂蚁从点爬行，同时另一只蚂蚁从点O以以3厘米厘米/秒的速度秒的速度 沿沿OC方向爬行，问经过几秒两只蚂蚁所在的点与点方向爬行，问经过几秒两只蚂蚁所在的点与点O组成的三角形的组成的三角形的 面积为面积为450平方厘米？平方厘米？ A

13、BO C C1 A1 C2 A2 解：设经过t秒两只蚂蚁所在的点与点两只蚂蚁所在的点与点O组成的三组成的三 角形的面积为角形的面积为450平方厘米。根据题意，得平方厘米。根据题意，得 (50-2t) 3t=450 解得，解得，t1=10 , t2=15 答：经过答：经过10秒或秒或20秒两只蚂蚁所在的点与点秒两只蚂蚁所在的点与点O组组 成的三角形的面积为成的三角形的面积为450平方厘米。平方厘米。 2 1 检查你的复习效果检查你的复习效果： 1、一元二次方程、一元二次方程ax +bx +c =0， 若若x=1是它的一个根，则是它的一个根，则a+b+c= ， 若若a -b+c=0，则方程必有一根为