111巩固练习总复习：空间向量在立体几何中的应用2

1、【巩固练习】1.如图，正三棱柱的长是A.总复习：空间向量在立体几何中的应用ABCC.B1C在 ABC中，AB= 9,点的距离是14,那么点A. 13B3. （2015 石家庄一模）2.为2的正三角形，侧棱长为7TC.PABiG的各棱长都2，E, F分别是AB,AiCi的中点，贝U EFClAC= 15,/ BAC= 120P到平面ABC的距离是（.11 C如图，在三棱柱3,，它所在平面外一点 P到 ABC三个顶 ）D . 7.9ABC - A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长 则BB1与平面AB1C1所成的角是（）7TT4 .若A(0,2,19) , B(1, 1,5) , C( 2,1

2、,5)是平面内的三点，设平面 的法向量8 8 8a (x, y, z)，贝y x : y: z5 .已知空间四边形OABC ,点M ,N分别为OA, BC的中点，且OA a, OB b ,OC c,用 a , b , c 表示 MN，贝U MN =6.（2015 浙江高考）已知已2是空间单位向量,2二+，若空间向量恒满足_ -* 斥、,b年二2, B 巴2二，且对于任意x, y R,Ib - ( xe+ye)丨匸-叭/ 1=1 Cig-衍 R)，则 x0=yo=7. (2016 渭南一模)PA / BE, AB=PA=6 ,(I)求证：CE /平面PAD(n)求PD与平面PCE所成角的正弦值.

3、在如图所示的几何体中， 四边形ABCD为正方形，PA丄平面ABCD ,BE=3 .A.&如图，三棱锥 P-ABC 中，/ ABC=90 , PA=1, ABf/3 , AC=2 PA丄面 ABC 求二面角A-PC-B的余弦值.9.是AC,BBCD BC=CD/ BCD=90，/ ADB=30.E、F 分别如图，在四面体 ABCD中, AB丄平面AD的中点.求证：平面 BEF丄平面ABC求平面BEF和平面BCD所成的角.10如图所示，AF、DE分别是圆 O 圆Oi的直径，AD与两圆所在的平面均垂直,OE / AD .AD 8. BC是圆O的直径，AB AC 6,(I)求二面角B AD F的大小；

4、(II)求直线BD与EF所成的余弦值.F11.如图，在三棱锥OP!底面ABCP ABC中，AB丄 BC, AB= BC= kPA,点 O D分别是 AC PC 的中点,PCC(I )求证：OD/平面PAB1(n )当k =时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;212.如图，正四棱锥S ABCD的高SO 2 ,底边长AB ,求异面直线BD和SC 之间的距离.彳D WZ 7/盒Ec(1)求证：BiM/面 DCN;13.如图，直四棱柱 ABCD-ABCD中，底面 ABCD为矩形，且 AB=4, AD=2 AA=8, M是(2) 在棱DD上是否存在一点 E,使MEL DC?若不存在，请说明理由；若

5、存在，求DE的长；(3) 若点F在DD上，且DF=2求二面角 Ci-FM-C的大小。i4.如图，已知四棱锥P ABCD，底面ABCD为菱形，FA丄平面ABCD , ABC 60 , E,6(n)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 竺，求二面角E2AF C的余弦值。i5.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为(I)证明：平面 A AD平面 BCCiBi ；(n)求二面角 A CC1B的大小.Qc【参考答案与解析】i. C ；【解析】如图所示，取 AC的中点G,连EG, FG,CCiAl BiCi ,BD iDC 2BAC 90o, AiA 平面 ABC

6、 , AiA 丽,AB 72 , AC 2 , ACi i ,则易得 EG = 2, EG = 1，故 EF = J5，选 C2.D ；【解析】点P在平面ABC的射影为三角形 ABC的外心，由卩到 ABC三个顶点的距离是 14和勾股定理可得点 P到平面ABC的距离为7.3.【答案】A【解析】以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系,K 41则 A (h, 1 , 0), B1 (0, 0, 3), C1 (0, 2,3), AE 1 =(-品-1, 3), BC ； =( 0,2, 0), BB 广(0, 0, 3).设平面AB 1C1所的一个法向量为1 n=

7、(x, y , z)即 ry43z=0T 2y=0取 z=1，则得 |n= (Ul, 0, 1), r BB,-n cosvBBr n-, ,-1卫口* BBi与平面ABiCi所成的角的正弦值为71- BB 1与平面AB 1C1所成的角为一丁故选64. 2:3： ( 4)uur【解析】AB7 UULT(1, 3, -),AC2,1,7 U UJU4), ABU UULT0, AC 0,4y：( y) 2:3：( 4)2x y3 ,x:y:z4z 4y5.丄(b2r rc a)【解析】uLuuuuurujuu1 rr1 rMNONOM2(bc)2a2 ； 2V2?巳=怡 Jb/cosv e 1?

8、巳 =,不妨设石讳,惨专m+爭n=2 , t 舌=仪 2x-2 2 2 2b (严 eT=(p-x - y) +k)=x2+xy+y 2- 4x - 5y+t2+7= (x+ _ ) 2企(y - 2) 2+t2 ,2由题意当 X=X0=1 , y=y0=2 时，(X+ _-) 2 (y - 2) 2+t2 取最小值246.【答案】1;【解析】 u =COSV u,0),亡2= (1 , 0 , 0) , b= (m , n , t),则由题意可知b 巳 b-(y,解得逅-並建,t),八,2+t21,珂中J (爭)j=2/7.【解析】证明：(I)设PA中点为G ,连结EG , DG, / PA

9、 / BE ,且 PA=6 , BE=3 , BE / AG ,且 BE=AG , 四边形BEGA EG / AB ,且正方形ABCD EG / CD,且此时t2=i，故是平行四边形，EG=AB , CD / AB , CD=AB ,EG=CD,四边形CDGE是平行四边形， CE/ DG,/ DG ?平面 PAD , CE?平面 PAD , CE / 平面 解：(n)如图，以A为原点，AB为X轴，ADPAD .为y轴，AP为z轴,建立空间直角坐标系,石.J则 C (6, 6, 0), E (6, 0,3), P (0, 0, 6),D (0, 6, 0), pi5= (0 , 6, - 6),

10、 pc=(6 , 6, - 6),阮=(6 , 0, - 3),设平面PCE的一个法向量为m=( X , y , z).缶疋二旳-三二0彳/曰L- 一，取 z=1，得 m =( 1, 1, 2),z=0*设PD与平面PCE所成有为a,贝U sin a =|cg 二而 |=I = I - &l , PD与平面PCE所成角的正弦值为逅.6&【解析】以A为坐标原点，分别以AB AP所在直线为y轴、z轴，以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系在直角 ABC中,/ AB=/3 , AC=2 二 BC=14A(0,0,0), B(0, 73,0) , C(1, 73,0) , P(O,O,1).

11、L厂JAB (0, U3,0) , PC (1, V3,1),设平面 PAC的法向量 m=(a,b,c),则 ml AP ,ml AC，且 AP =(0,0,1) ，AC =(1, 73,0),0 0ca J3b0,不妨取 m=( 73,1,0),0r 则n丄PB,V3fg0,不妨取 n =(0,1,J3)0T设平面PBC的法向量n =(e,f,g),n 丄 BC ,且 PB=(0, 73,1) , BC =(1,0,0),LTcos=m n 0 1 0_丄|m | | n I 41 _0 71 _34故二面角1A-PC-B的余弦值为丄.由/ ADB=30可得:9 .【解析】(1)建立如图所示

12、的空间直角坐标系，取A(0,0,a).D(0,73a,0), C(逅a,並a,0),2 2V3a 匚yf3a)X a,丁a,；), F(Qa,T).442227373uuu 皿 a半a,0), BA (0,0, a), BCLjum uuuEF BC 0 , EF 丄 AB, EF 又EF 平面BEFABC.E”相屈0)E , E(a,a,0)443作 FF丄 BD于 F,F(0,a,0 , S2a uuu,.a,-), EF (442* I II MEF 0 , BE丄EF怖,uuu；血a, I EF I a443 2直堡用25 ,a16B(0,0,0),uuu 二 EF(uuciBA 0,

13、uuu/ EF EF丄平面ABC平面BEF丄平面作EE丄BC于uuu73a/3BE ( a, uuu4uuu 显然BEuuu I BE |cos即平面BEF和平面BCD所成的角为BEF一a,一44- S bef(f a,fa,0)2 2丄BC.32一a16a,0),/15 216 a ,寸15arccos5715arccos510.【解析】(I ) AD与两圆所在的平面均垂直 故/ BAD是二面角 B AD- F的平面角， 依题意可知，ABCD是正方形，所以/ BAD= 450. 即二面角B- AD- F的大小为450;(n )以0为原点，BC AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(

14、如图所示)，二 ADX AB, AD 丄 AF,则 0( 0, 0, 0) , A (0,B（ 3运，0，0）,D（ 0，8), E (0, 0, 8), F (0 ,372, 0)所以，BD （372,迈8),FE(0,迈8)212uur uu cos BD, EF18 64uu uurBD FE-uuu_tuu-|BD|FE|设异面直线BD与EF所成角为，则 COSuuu uLur|cos BD, EF|辰1 10直线BD与EF所成的余弦值为迥2。1011.【解析】 OPI平面 ABC,OA=OC,AB=BC；. OAL OB,OAI OPQBOP. 以O为原点，射线OP为非负x轴，建立空

15、间坐标系 O-xyz如图）,设 AB=a,则 A(Z0,0) , B(0,2a,0),C(-么0,0).设 OP=h，则 P(0,0,h).2 2Luur(I ) D为 PC的中点， ODa,0,-h),2uuu 血uuur又 PA (-a,0, h),ODuuu PA,lujltuuuOD / PA ,OD/平面 PAB.(n ) k ,则 PA=2a,.h J7a,2V2uuu - PA(f a,0,2ga),可求得平面PBC的法向量n(i,1, J7),cosuLur rPA,nuur rPA n-uuur-|PAlln|30设PA与平面PBC所成角为Buuuuu r,刚 sin 0 =

16、|cos PA, n7210P. PA与平面PBC所成的角为7210300xx12.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ,f,0)，2,0)，C722po)血 0) , S(0,0,2).2uLurDB(72,72,0)uuu,CS(ff,2).令向量(x, y,1),uuir rDB,nuuu CS ,uuurDBuuuCS(x,y,1) (/2, 72,0)n ( G,i), 异面直线BD和SC之间的距离为:于是，可得平面CEM的一个法向量n(16, -3 , 2),LUU r(,0)( 72,72,1)OC nr2 2|1 1 0|11 n(72,72,1)间2 (d)2 1

17、2dDC DD分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐2/5513.【解析】(1)证明：如图, 标系，以 D为原点，DAy则 D(0，0，0)，N(1，0，8)，B1(2，ULUUB1M(lult1,0, 8),DN又面 DCjN，DN(1,0,8),8)，M(1, 4，0)，C1(0，4, 8)ULULTUlUTB1MDN面DCiN , B1M/面 DCN;设E(0 ,lultx)，则 ME(1,UUUL4,x),DC1(0,4,8)lult ULUU 由 ME DC11, 4,x) (0,4,8)16 8x易知，当x=2时,uur ULUUME DC1lult0,此时MEuuLurDC1 ,

18、即 ME DC1.DD上存在点由于028，故在DF=2由 知点F与点E重合。rn (x。，y。，Z0)，E,使得 MEL DC,此时 DE=2设面CEM的 一个法向量为uuLU rG E,nuuuEMuuuQ G E (0,uuu4, 6), EM(1,4, 2)r LULU n GE4y0 6z03子0r ULUUn EM X04y0 2z00,即 X02Z0 -4y0令 Z0=2,得 y0=-3 , X0=16ruuuu又 CD丄面 ECM DC1(0,4,8)r uuuun与DC1的夹角就等于二面角的平面角。r uuuucos n, DC1 J162 ( 3)2 22 /412 1617

19、1345.故所求二面角的大小为1arccosV134514.解析】(I)证明：由四边形因为E为BC的中点，ABCD为菱形，/ ABC=60 可得 ABC为正三角形。 所以 AE丄BC。又BC/ AD,因此 AE丄AD。 因为PA丄平面 ABCD , AE 平面ABCD ,所以PA丄AE。 而PA 平面PAD, AD 所以AE丄平面PAD ,又 所以AE丄PD。()由(I)知 AE ,角坐标系，平面PDPAD 且 PA nAD=A, 平面PAD。AP两两垂直，以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直AD，所以A( 0，0，0), B (巧,-1,0), c ( 73 , 1 , 0), D (0, 2, 0),P ( 0，0, 2) , E (73 , 0 ,0)，F所以uuuAELuuur(73,0,0), AF占珈.2 2设平面AEFur的一法向量为mur m 则urmuuuAEuuurAF0,因此取Zi