函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略含解析

1、难点自选函数与导数压轴大题的3 大难点及破解策略1定义在R 上的奇函数f ( x) ，当 x0 时， f ( x) lnx ax 1，若 f ( x) 有 5 个零点，求实数 a 的取值范围解：因为f ( x) 是定义在R 上的奇函数，所以f (0) 0；所以要使f ( x) 在 R 上有 5 个零lnx 1点，只需f ( x) 在 (0 ， ) 上有 2 个零点所以等价于方程 a 在 (0 ， ) 上有 2 x个根所以等价于lnx12 个交点 g(x) lnxy a 与 g( x) x( x0) 的图象有x2，x(0,1)(1 ，)g( x)所以 g( x) 的最大值为g(1) 1.因为 x

2、0时， g( x) ； x时，由洛必达法则可知：lixg( x)lixxlix1 ，mmxmx0所以 0ag(1)，所以 0a0.解： (1) f (x) ex1 ，由 f (0) 0，得 m 1，x mx1x1所以 f (x) ex 1， f (x) ex20，又由 f (0) 0，所以当 x ( 1,0) 时， f (x)0.所以函数 f ( x) 在 ( 1,0) 上单调递减，在(0 ， ) 上单调递增(2) 证明：依题意， f (x) ex 1 . xm001x120，所以函数f (x) 在区令 f (x ) 0，则 exx00，且 f (x) ex m m间( m， ) 上单调递增则

3、当 x ( m，x0) 时， f (x0)0 ，故函数 f ( x) 在 ( m，x0) 上单调递减，在 ( x0， ) 上单调递增所以 f ( x) min f ( x0) ex0 ln( x0 m) 又 x0 满足方程 ex01，x0 m1则 f ( x0) ex0 ln(x0 m) 1 lne x0 x0 11 x0 m mx0mx0 mx0 m1x 0，2xm m 2 m 0(0不等号取等号的条件是不等号取等0x0 mm1，号的条件是 2).m由于不等号、不能同时取等号，故f ( x )0 ，即 f ( x)min0，因此 f ( x)0.0b3已知函数 f ( x) ax x c(

4、a0) 的图象在点 (1 ， f (1)处的切线方程为y x1.(1) 试用 a 表示出 b， c；(2) 若 f ( x) lnx 在 1 ， ) 恒成立，求a 的取值范围解： (1) 1，c12 .b aa1(2) 题设即“ aln x x 1xln x x 1( x1) ，或 ax2 ( x1) 恒成立”1x x212用导数可证函数g( x) 2( x 1) ( x 1) xln x( x1) 是增函数 ( 只需证 g(x) xlnx10( x1) 恒成立，再用导数可证) ，所以 () (1) 0(x1) ，g xgxln x x 1 1 xlnx x 1 1当且仅当 x 1 时 g(

5、x) 0，得x1x2 2.2 1) ，li x mxln x x 11所以若 ax2( x1) 恒成立，则 a2，即 a 的取值范围是1， .2lnxa m( a，mR)在 xe(e 为自然对数4(2019 安徽二校联考 ) 已知函数 f ( x) x的底数 ) 时取得极值，且有两个零点记为x1， x2.(1) 求实数 a 的值，以及实数 m的取值范围；(2) 证明： ln x1ln x22.1xa x xax解： (1) f (x) 1 lnx2x2，由 f (x) 0，得 x ea 1，且当 0x0 ，a 1当 xe时， f (x)0) ， f (x) x2 ，1函数 f ( x) 在 (

6、0 ， e) 上单调递增，在(e ， ) 上单调递减，f (e) e m.又 x0( x0) 时， f ( x) ； x时， f ( x) m， f ( x) 有两个零点x1， x2，1 m0，1故 e解得 0m .e m0，所以实数 m的取值范围为10， e .ln x1 mx，(2) 证明：不妨设x 2，只需证lnx x m xxx1m xxm x2 x112xx 2，12x1 x2x2只需证 m( x x )2 ，即证ln2.x2 x1x1x2即证1 x1x2x2xlnx2，设 t x1，112 1x1则只需证 lnt t.t 1即证 lnt t 0.t 1记 u( t ) lnt t

7、( t 1) ，t 114t 2则u220.() ttt tt 所以 u( t ) 在 (1 ， ) 上单调递增，所以 u( t ) u(1) 0，所以原不等式成立，故 ln x1 ln x22.5(2016 全国卷) 已知函数 f ( x) ( x2)e x a( x 1) 2 有两个零点(1)求 a的取值范围；(2)设 x1， x2 是 f ( x) 的两个零点，证明：x1 x20，则当 x ( ， 1) 时， f (x)0 ，所以 f ( x) 在 ( ， 1) 内单调递减，在(1 ， ) 内单调递增又 f(1) e，f (2) a，取 b 满足 b0 且 b(b1) ab b 0，b 2 ba2故 f ( x) 存在两个零点设 a0 ，因此 f ( x) 在 (1 ， ) 内单调递增又当 x1时， f ( x)0 ，所以 f ( x) 不存在两个零点e若 a1 ，故当 x (1 ， ln( 2a) 时， f (x)0.因此 f ( x) 在 (1 ， ln( 2a) 内单调递减，在(ln( 2a) ， ) 内单调递增又当 x1时， f ( x)0 ，所以 f ( x) 不存在两个零点综上， a 的取值范围为 (0 ， ) (2) 证明：不妨设 x1x2，由 (1) 知， x1 ( ， 1) ，x2 (1