高台2017届高三数学下学期第四次模拟试卷文

1、甘肃省高台县2017届高三下学期第四次模拟文科数学一、选择题：共12题1已知集合A=x|3x+x20,B=x|-4x-1，则下列结论正确的为A.AB=x|-4x0=x|x0,B=x|-4x-1，则AB=x|-4xcb2”的充要条件是“ac”C.l是一条直线，,是两个不同的平面，若l，l，则/D.命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”【答案】C【解析】本题主要考查命题的真假判定.若ac，则b=0时ab2=cb2，故B错；由面面平行的判定可得C正确；命题“对任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”，故D错.故选C.4一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0

2、的等差数列an，若a3=8，且a1,a3,a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是A.13，12B.13，13C.12，13D.13，14【答案】B【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查样本的数字特征.设等差数列an的公差为dd0,由a1,a3,a7成等比数列得a1a7=a32,即8-2d8+4d=64,解得d=2，a5=a3+22=12,a6=14, 则此样本的平均数和中位数均为a5+a62=13.故选B.5如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A.2+8B.8+8C.4+8D.6+8【答案】A【解析】本题主要考查三视图和体积.由三视图可知该该几何体是由两个半

3、圆柱和一个长方体组成的简单组合体.其中圆柱的底面半径为1，高为2；长方体的三条棱长分别为4，2，1，. 则该几何体的体积为V=122+421=2+8.故选A.6函数f(x)=2x+1,x13x,x1，则满足f(f(m)=3f(m)的实数m的取值范围是A.(-,0-12B.0,1C.0，+)-12D.1,+)【答案】C【解析】本题主要考查分段函数.当m0时，fm=2m+102x+y-70x0,y0，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是A.14B.13C.17D.19【答案】B【解析】本题主要考查简单的线性规划.作出不等组表示的可行域，如图所示，作直线3x+4y=0，上下平移，当直线平移到过点A

4、3，1时，z=3x+4y取得最小值，为z=33+41=13.故选B.10已知三角形ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为32，则这个三角形的周长为A.15B.18C.21D.24【答案】A【解析】本题主要考查等差数列和余弦定理.设三边长分别为a-2,a,a+2a-2,由最大角的正弦值为32可得最大角为23，由余弦定理得cos23=a-22+a2-a+222aa-2=-12,解得a=5,所以三边长分别为3，5，7，则这个三角形的周长为15.故选A.11以O为中心，F1,F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|MF1|=2|MO|=2|MF2|，则该椭圆的离心率为A.22B.33

5、C.63D.24【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的定义和性质.不妨设F1,F2分别为左右焦点，过点M作x轴的垂线，交x轴于点N,则Nc2,0,设MF1=2MO=2MF2=2，由勾股定理得|MF1|2-|NF1|2=|MF2|2-|NF2|2,解得c=62,由椭圆的定义得2a=MF1+MF2=3, 则该椭圆的离心率为e=ca=63.故选C.12设函数f(x)=|x+2|,x0|log2x|,x0，若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4，且x1x2x3x4，则x3(x1+x2)+1x32x4的取值范围是A.(-3,+)B.(-,3)C.-3,3)D.(-3,3【答案】D【

6、解析】本题主要考查分段函数、方程的根与函数的零点之间的关系.作出函数的图象，如图所示:由图可知，x1+x2=-4，x3x4=1，且1x44，x3x1+x2+1x32x4=-4x4+x4，它在(1,2上是增函数，-41+1x3x1+x2+1x32x4-44+4，即-3x3x1+x2+1x32x43.故选D.二、填空题：共4题13表面积为60的球面上有四点S,A,B,C且ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为3，若平面SAB平面ABC，则棱锥S-ABC体积的最大值为.【答案】27【解析】本题主要考查空间几何体的表面积和体积.由S=4R2=60得球的半径为R=15,设ABC的中心为D,则OD

7、=3,则AD=R2-OD2=23,AB=6,SABC=3462=93,若要使棱锥S-ABC体积的最大，则需S到平面ABC的距离最大，由平面SAB平面ABC，所以S在平面ABC上的射影M在AB上，此时，SM平面ABC，OD平面ABC,所以ODSM, 所以SM=OS2-DM2+OD=15-DM2+3,当DM取得最小值3，即M为AB中点时，SM取得最大值33，则棱锥S-ABC体积的最大值为V=139333=27.故答案为27.14若直线x+ay-1=0与2x-4y+3=0垂直，则二项式(ax2-1x)5的展开式中x的系数为.【答案】-52【解析】本题主要考查二直线垂直的充要条件和二项式定理.若直线x

8、+ay-1=0与2x-4y+3=0垂直，则12+a-4=0,解得a=12.(ax2-1x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r12x25-r-1xr=C5r125-r-1rx10-3r,由10-3r=1得r=3，则二项式(ax2-1x)5的展开式中x的系数为C53125-3-13=-52.故答案为-52.15设x,y,z为正实数，满足x-y+2z=0，则y2xz的最小值是.【答案】8【解析】本题主要考查基本不等式.由x-y+2z=0得y=x+2z，则y2xz=x+2z2xz=xz+4zx+42xz+4zx+4=8.故答案为8.16若数列an是正项数列，且a1+a2+an=n2+3n(nN*)，则

9、a12+a23+ann+1=.【答案】2n2+6n【解析】本题主要考查数列的递推式和等差数列.令n=1，得a1=4，a1=16.当n2时，a1+a2+an-1=n-12+3n-1，与已知式子相减得an=2n+2，an=4n+12，显然，a1=16也适合此式，an=4n+12，ann+1=4n+4,则a12+a23+ann+1=n8+4n+42=2n2+6n.故答案为2n2+6n.三、解答题：共7题17已知函数f(x)=sin(2x+6)+cos2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，内角A,B,C的对边为a,b,c，已知f(A)=32,a=2,B=3，求ABC的面积.【答案

10、】(1)f(x)=sin(2x+6)+cos2x=sin2xcos6+cos2xsin6+cos2x=32sin2x+32cos2x=3(12sin2x+32cos2x)=3sin(2x+3)令-2+2k2x+32+2k-512+kx+312+k,kZ，f(x)的单调递增区间为：-512+k,12+k,kZ；(2)由f(A)=32,sin(2A+3)=12，又0A23,32A+353，因此2A+3=56，解得：A=4，由正弦定理：asinA=BsinB，得b=6，又由A=4,B=3可得：sinC=6+24，故SABC=12absinC=3+32.【解析】本题主要考查两角和的正弦、函数y=Asi

11、n(x+)的性质、正弦定理、三角形面积.(1)利用两角和的正弦公式化简函数解析式，由函数y=Asin(x+)的单调性可得结论；(2)由f(A)求出A，由三角形内角和定理可得C，利用正弦定理求出b，代入三角形面积公式可得结论.18在三棱住ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2,AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1.(1)证明：CDAB1；(2)若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值.【答案】(1)由题意可知，在RtABD中，tanABD=ADAB=22，在RtABB1中，tanAB1B=ABBB1=22，又因为0ABD,AB1B

12、b0)，则c=2，由e=ca=22，得a=2,a2=4,b2=2，椭圆M的方程为x24+y22=1；(2)当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+m.则由y=kx+mx24+y22=1，消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(2+4k2-m2)0设点A,B,P的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),(x0,y0).四边形OAPB为平行四边形，x0=x1+x2=-4km1+2k2，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，由于点P在椭圆M上，x024+y022=1，从而4k2m2(1+2k2)2+2m2(1

13、+2k2)2=1，化简得2m2=1+2k2，经检验满足式，又点O到直线l的距离为d=|m|1+k2=12+k21+k2=1-12(1+k2)1-12=22，当且仅当k=0时等号成立，当直线l斜率不存在时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而点P的坐标为(-2,0)或(2,0)，直线l的方程为x=1，点O到直线l的距离为1.点O到直线l的距离的最小值为22.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和性质、直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式.(1)由焦点坐标设出椭圆的标准方程、再由离心率和a,b,c的关系可求出参数，则椭圆方程可得；(2)分直线l斜率存在不存在两种情况讨论.设出直线l方程，与椭圆方程

14、联立，消去y，利用韦达定理和点到直线的距离公式求出距离，则结论可得.21已知f(x)=ax2-(b+1)xlnx-b，曲线y=f(x)的点P(e,f(e)处的切线方程为2x+y=0.(1)求f(x)的解析式；(2)研究函数f(x)在区间(0,e4内的零点的个数.【答案】(1)a=1,b=e,fx=x2-e+1xlnx-e；(2)x2-e+1xlnx-e=0x-e+1lnx-ex=0,x(0,e4，设gx=x-e+1lnx-ex,x(0,e4，则g(x)=1-e+1x+ex2=(x-1)(x-e)x2，由g(x)=0得x1=1,x2=e，当x(0,1)时，g(x)0,x(1,e)时，g(x)0，

15、所以g(x)在(0,1)上增，在(1,e)上减，在(e,e4)上增，极大值g(1)=1-e0，极小值g(e)=-20,g(e4)=e44(e+1)-1e3，4(e+1)+1e32.742.5462=36，g(e4)0，g(x)在(0,e4内有唯一零点，因此f(x)在(0,e4内有唯一零点.【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值、函数与方程.(1)求导，利用导数的几何意义求出曲线在点P处的切线方程，根据系数相等求出a,b的值即可；(2)令fx=0，问题转化为求方程根的个数.构造函数gx=x-e+1lnx-ex,x(0,e4,利用导数研究函数的单调性和极值，可得结论.2

16、2已知曲线E的极坐标方程为=4tancos，倾斜角为的直线l过点P(2,2).(1)求曲线E的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设l1,l2是过点P且关于直线x=2对称的两条直线，l1与E交于A,B两点，l2与E交于C,D两点.求证：|PA|:|PD|=|PC|:|PB|.【答案】(1)E:x2=4y(x0),l:x=2+tcosy=2+tsin(t为参数)(2)l1,l2关于直线x=2对称，l1,l2的倾斜角互补，设l1的倾斜角为，则l2的倾斜角为-，把直线l1:x=2+tcosy=2+tsin(t为参数)代入x2=4y并整理得：t2cos2+4(cossin)t-4=0，根据韦达定理，t1t2=-4cos2，即|PA|PB|=4cos2，同理即|PC|PD|=4cos2(-)=4cos2，|PA|PB|=|PC|PD|，即|PA|:|PD|=|PC|:|PB|.【解析】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程的求法及几何意义的应用.(1)切化弦，利用x=cos,y=sin可得曲线E的直角坐标方程；根据直线参数方程的几何意义可得直线l的参数方程；(2)根据l1,l2关于直线x=2对称，可得l1,l2的倾斜角互补，将直线的参数方程代入抛物线的直角方程，利用韦达定理及参数的几何意义求出PAPB